Dalda Çarp,
Dallar Arası
Topla.
Bileşik olayların olasılığının hesaplanmasında ağaç diyagramı kullanımı işlem kolaylığı sağlamaktadır. Birden çok adımı olan bir deneyde her yol bir daldır: dal boyunca ilerlerken olasılıklar çarpılır, aynı sonuca çıkan farklı dallar ise toplanır. Ünitenin ikinci yarısında deneyi gerçekten yapınca ne gördüğümüze — deneysel olasılığa — bakacağız.
Bileşik olayların olasılığının hesaplanmasında ağaç diyagramı kullanımı işlem kolaylığı sağlamaktadır. Bileşik olay, birden çok adımdan oluşan bir deneyin sonucudur: önce bir torbadan, sonra çıkan renge göre başka bir torbadan çekmek gibi. Ağaç, bu adımları dallara ayırarak hiçbir ihtimalin unutulmamasını sağlar.
Her düğüm bir karar ya da adım noktasıdır: hangi torbadan çekiyoruz, hangi renk geldi. Bir düğümden çıkan bütün dalların olasılıkları toplamı 1 olmak zorundadır; olmuyorsa bir dal unutulmuştur.
Dalın üzerine o adımın olasılığı yazılır. İkinci adımın olasılığı birinci adımın sonucuna göre değişebilir; işte o zaman dala yazılan sayı bir koşullu olasılıktır.
Ağacın ucundaki her yaprak bir tam sonuçtur (örneğin “önce yeşil, sonra mavi”). Bütün yaprakların olasılıkları toplamı yine 1 verir — bu, hesabını denetlemenin en hızlı yoludur.
Renkleri hariç özdeş toplar bulunan A torbasında 4 yeşil 5 mavi, B torbasında 6 yeşil 3 mavi, C torbasında 2 yeşil 4 mavi top vardır. A torbasından rastgele bir top çekiliyor; çekilen top yeşil ise B torbasından, çekilen top mavi ise C torbasından bir top çekiliyor. Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı soruluyor. Cevap iki dalın toplamıdır: (4/9)·(6/9) + (5/9)·(2/6) = 8/27 + 5/27 = 13/27.
“Önce şu, sonra şu” diyorsan olasılıklar çarpılır. Bu, bir önceki ünitedeki çarpma kuralının ta kendisidir: P(A ∩ B) = P(A) · P(B / A). Ağaçta ikinci dala yazdığın sayı zaten koşullu olasılıktır.
Aynı sonuca götüren farklı yollar varsa (yeşil hem B’den hem C’den gelebiliyor) bu yolların olasılıkları toplanır. Yollar birbirini dışlar — ikisi aynı anda gerçekleşemez — bu yüzden toplama güvenlidir.
Bir deney çok sayıda tekrarlandığında, bir olayın gözlendiği tekrar sayısının toplam tekrar sayısına oranına deneysel olasılık (gözlenen sıklığa dayalı olasılık) denir. Teorik olasılık masa başında hesaplanır; deneysel olasılık deneyi yapıp saymayı gerektirir. Ders kitabı bu başlıkta yalnız başlığı veriyor; aşağıdaki tanım ve örnekler standart tanımdır.
Deneysel olasılık = olayın gözlendiği tekrar sayısı / toplam tekrar sayısı. Bu oran her zaman 0 ile 1 arasındadır ve deney tekrarlandıkça değişir; teorik olasılık ise deneyden bağımsız, sabit bir sayıdır.
Bazı deneylerde sonuçlar eş olumlu değildir: bir raptiyenin havada atılınca sivri ucu yukarı düşme olasılığı hesapla bulunamaz. Böyle durumlarda tek yol deneyi çok kez tekrarlayıp sıklığa bakmaktır.
Deneme sayısı arttıkça gözlenen sıklık teorik değere yaklaşır. 10 atışta yazı oranı 0,80 çıkabilir; 1000 atışta 0,5’in çevresinde dolaşır. Az denemeyle yapılan tahmin yanıltıcıdır.
İkisi de aynı olayı anlatır ama biri hesapla, öteki gözlemle bulunur. Sınav sorularında hangisinin istendiğini soru kökündeki fiil belli eder: “hesaplayınız” teorik, “gözlenmiştir / denenmiştir” deneysel olasılığa işaret eder.
| Ölçüt | Teorik olasılık | Deneysel olasılık |
|---|---|---|
| Nasıl bulunur? | Sayarak / hesaplayarak | Deneyi tekrarlayıp gözleyerek |
| Payda | s(E) — bütün durum sayısı | Toplam tekrar sayısı |
| Deneyden deneye | Değişmez | Değişir |
| Eş olumlu olmayan durum | Hesaplanamaz | Yine bulunabilir |
| Tekrar arttıkça | Aynı kalır | Teorik değere yaklaşır |
Para hafızasızdır. Geçmiş atışlar bir sonrakini etkilemez; her atışta yazı olasılığı yine 1/2’dir. Uzun vadede oranın 0,5’e yaklaşması, paranın “borcunu ödemesi” demek değil, yeni atışların eski sapmayı seyreltmesi demektir.
Aynı dal üzerinde ilerlerken olasılıkları toplarsan sonuç 1’i bile aşabilir. Kural nettir: dal boyunca çarp, ayrı dalları topla. Sonucun 1’den büyük çıkması bu hatanın en açık işaretidir.
Bir sonucun birden çok yolu varsa aklında bir ağaç kurmuşsun demektir. Aşağıdaki sahnelerde ya dallar çarpılıyor ya da farklı yollar toplanıyor.
Sabah servise ya da otobüse biniyorsun; ikisinde de geç kalma ihtimalin farklı. “Geç kalma” olasılığı iki dalın toplamıdır: servisle geç kalmak + otobüsle geç kalmak.
Önce sandık türü belirleniyor, sonra o sandıktan eşya çıkıyor. Nadir eşya alma olasılığın her sandık türü için ayrı dal; hepsi toplanınca gerçek şansın çıkar.
Önce yiyecek, sonra içecek seçiyorsun. Her ikili bir yapraktır; toplam kaç farklı menü olduğunu dalları çarparak bulursun.
Bir soruyu çözmek için önce doğru yöntemi seçmen, sonra işlemi hatasız yapman gerekir. İkisinin birden olma olasılığı dal boyunca çarpımdır; tek adımda hata yapmak yeter.
Bir kalecinin “penaltı kurtarma oranı” tam olarak deneysel olasılıktır: kurtardığı sayı / karşılaştığı sayı. Sezon ilerledikçe daha güvenilir hâle gelir çünkü tekrar sayısı artar.
10 atışta 7 basket atmak %70 demek değildir; sadece o günkü sıklıktır. 200 atıştan sonra çıkan oran, oyuncunun gerçek başarısına çok daha yakındır — tekrar sayısı güvenilirliği belirler.
Çalma listen karışık modda. “İki şarkı sonra sevdiğin parçanın gelmesi” bir bileşik olaydır; hangi yolların o sonuca çıktığını ağaçla ayırmadan hesaplamak zordur.
“Yağmur ihtimali %60” cümlesi, benzer gün kayıtlarına dayanan bir sıklık ifadesidir. Geçmişteki benzer günlerin yaklaşık %60’ında yağmur gözlenmiştir; bu bir deneysel olasılıktır.
Önce hangi kutudan çekileceği, sonra kutudan hangi ismin çıkacağı belirleniyor. Senin seçilme olasılığın, adının bulunduğu bütün dalların toplamıdır.
40 soruluk test · ağaç diyagramıyla bileşik olay olasılığı, çarpma ve toplama kuralları, deneysel olasılık ve teorik olasılıkla karşılaştırılması
Bileşik olayların olasılığının hesaplanmasında ağaç diyagramı kullanımı işlem kolaylığı sağlamaktadır. Her düğüm bir adım, her dal bir seçenek, her yaprak bir tam sonuçtur.
Dal boyunca ilerlerken olasılıklar çarpılır; aynı sonuca götüren ayrı dallar toplanır. Bir düğümden çıkan dalların toplamı 1, bütün yaprakların toplamı da 1 olmalıdır.
A: 4 yeşil 5 mavi · B: 6 yeşil 3 mavi · C: 2 yeşil 4 mavi. A’dan yeşil gelirse B’den,
mavi gelirse C’den çekiliyor. Çekilenin yeşil olma olasılığı:
(4/9)·(6/9) + (5/9)·(2/6) = 8/27 + 5/27 = 13/27.
Deneysel olasılık = olayın gözlendiği tekrar sayısı / toplam tekrar sayısı. Deneyi yapmadan bulunamaz ve her denemede farklı çıkabilir. (Ders kitabı bu başlıkta yalnız başlığı veriyor.)
Teorik olasılık hesapla bulunur ve değişmez; deneysel olasılık gözlemle bulunur ve tekrar sayısı arttıkça teorik değere yaklaşır. Eş olumlu olmayan deneylerde tek yol deneysel olasılıktır.
Aynı dalda olasılıkları toplamak (sonuç 1’i geçer) ve “üst üste yazı geldi, sıra turada” demek. Her atış öncekilerden bağımsızdır; oran uzun vadede yaklaşır, geçmişi telafi etmez.