Kökleri Diz,
Sağdan Başla
İşareti Oku.
Çarpım ya da bölüm biçiminde verilen bir eşitsizlikte önce bütün kökler sayı doğrusuna dizilir, en sağdaki aralığın işareti baş katsayıların çarpımından bulunur. Sonra sola doğru gidilir. Bu ünitede işaret tablosunu kurmayı, paydanın kökünü neden asla çözüme almadığımızı ve iki eşitsizliğin ortak çözümünü bulmayı öğreneceğiz.
f(x) · g(x) veya f(x) / g(x) şeklinde iki ifadenin çarpımı veya bölümü şeklinde verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken: f(x) = 0 ve g(x) = 0 denklemlerinin kökleri bulunur ve kökler sayı doğrusuna yerleştirilir; f(x) ile g(x) polinom fonksiyonlarının en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpılır, bulunan işaret tablonun en sağındaki aralığın işaretidir; bölüm biçiminde ise g(x) = 0 denkleminin kökleri çözüm kümesine dâhil edilmez.
f(x) = 0 ve g(x) = 0 denklemlerinin kökleri bulunur ve kökler sayı doğrusuna yerleştirilir. Çarpımın ya da bölümün işaret değiştirebileceği tek yerler bu köklerdir; onların dışında ifade işaret değiştiremez.
f(x) ve g(x) polinomlarının en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpılır; bulunan işaret tablonun en sağındaki aralığın işaretidir. Yani x çok büyükken ifadenin işaretini yalnız baş katsayılar belirler.
En sağdan sola doğru ilerlerken tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte değişmez. Tablo bittiğinde istenen yöne (> 0 mı < 0 mı) uyan aralıkları birleştirmek kalır.
(x – 1)(x – 3) < 0 eşitsizliğinde çarpımın negatif olması yeter; bunun için çarpanların işaretleri ters olmalıdır, ikisinin de negatif olması işe yaramaz. Aynı biçimde (x – 1)/(x – 3) < 0 eşitsizliğinde payın negatif olması değil, pay ile paydanın ters işaretli olması gerekir. İşaret tablosu tam olarak bu ayrımı senin yerine yapar.
Tablonun en sağı, x’in çok büyük değerlerine karşılık gelir. Orada her polinomun değerini yalnız en büyük dereceli terimi belirler; alt dereceli terimler yanında sönük kalır. Bu yüzden en sağdaki işaret, baş katsayıların işaretlerinin çarpımıdır — kökleri bilmeye bile gerek yoktur.
| Ölçüt | f(x) · g(x) | f(x) / g(x) |
|---|---|---|
| Sayı doğrusuna dizilen kökler | f’nin ve g’nin kökleri | f’nin ve g’nin kökleri (aynı) |
| En sağdaki aralığın işareti | Baş katsayıların çarpımı | Baş katsayıların çarpımı (aynı) |
| f’nin kökü (eşitlik varsa) | Dahil | Dahil |
| g’nin kökü (eşitlik varsa) | Dahil | Asla dahil değil |
| Sebebi | Çarpım orada gerçekten 0 olur | Payda 0 olursa ifade tanımsızdır |
f(x) / g(x) ifadesinde g(x) = 0 denkleminin kökleri çözüm kümesine dâhil edilmez. Sebebi tek bir cümledir: paydayı sıfır yapan sayı için ifadenin bir değeri yoktur, o nokta fonksiyonun tanım kümesinde bile değildir. Eşitsizlik “≤” bile olsa bu değişmez.
(x – 2) çarpanı bir kez varsa kök tek katlıdır ve o noktada işaret değişir. (x – 2)² gibi iki kez varsa kök çift katlıdır, ifade orada sıfır olur ama işaret değişmez: sağında da solunda da aynı işaret sürer.
(x² – 9)/(x – 3) ifadesi sadeleşip x + 3 olur ama x = 3 hâlâ yasaktır: sadeleştirmeden önceki ifade orada tanımsızdı. Çözüm kümesini yazarken o noktayı içi boş yuvarlakla dışarıda bırak.
İki veya daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sistemindeki tüm eşitsizlikleri sağlayan değerlerin kümesine eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir. İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri, fonksiyonlardan en az birinin 2. dereceden, diğerinin 1 veya 2. dereceden verilmesiyle oluşan sistemlerdir. Bu şekildeki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri, ortak işaret tablosu oluşturulup eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi alınarak bulunur.
x² + 3x – 4 ≥ 0 ve x² – 2x – 3 ≤ 0
sistemi veriliyor.
x² + 3x – 4 = 0 ⇒ (x + 4)(x – 1) = 0 ⇒ x = –4 veya x = 1.
x² – 2x – 3 = 0 ⇒ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇒ x = –1 veya x = 3.
Birinci eşitsizlik (a = 1 > 0, kökler dışında pozitif) ⇒ (–∞, –4] ∪ [1, ∞).
İkinci eşitsizlik (kökler arasında negatif) ⇒ [–1, 3].
Kesişim alınırsa Ç = [1, 3] bulunur.
Sistemler f(x) < 0 ve g(x) > 0, f(x) < 0 ve g(x) ≥ 0, f(x) ≥ 0 ve g(x) ≤ 0 gibi biçimlerde gösteriyor. Süslü parantez içindeki her satır ayrı bir şarttır ve hepsi birden sağlanmalıdır.
Sistemde şartlar “ve” ile bağlıdır, o yüzden kesişim alınır. Tek bir eşitsizliğin çözümü ise çoğu zaman iki ayrı aralığın birleşimi olarak çıkar. İkisini karıştırırsan sistemin çözümü olduğundan çok daha geniş görünür.
İşaret incelemesi, “ne zaman artı ne zaman eksi” sorusunun matematikçesi. Aşağıdaki sahnelerin hepsinde bir işaret değişimi ya da bir ortak aralık var.
“Matematik netim 20’den az olmasın ve yanlışım 10’u geçmesin” dediğinde iki eşitsizlik yazmış olursun. Hedefe uyan deneme sonuçların, iki çözüm kümesinin kesişiminde kalanlardır.
Bir bölümü geçmek için “canın 0’dan büyük ve merminin 0’dan büyük” olması gerekir. İkisinin çarpımını düşünürsen, çarpım pozitifse hâlâ oyundasın demektir; biri sıfırlanınca çarpım da sıfırlanır.
Kulüp kermesinde kâr, satılan adede göre ikinci dereceden bir ifade olur. Kâr > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi zarar etmeden satabileceğin adet aralığıdır; kökler “tam başa baş” noktalarıdır.
Servis yolculuğun 35 dakika. “Listem 25 dakikadan uzun ve 35 dakikadan kısa olsun” şartı bir eşitsizlik sistemidir; uygun şarkı sayıları ortak aralıktaki tam sayılardır.
Fark = bizim skor – rakip skor yazılırsa, farkın işareti kimin önde olduğunu söyler. İşaretin değiştiği anlar, iki takımın eşitlendiği anlardır — yani tablodaki kökler.
“Şarjım %20’nin üstünde olsun” bir eşitsizlik; “ve akşam 8’den önce eve varayım” ikincisi. Gün içinde ikisinin birden sağlandığı saat aralığı, iki çözüm kümesinin ortak parçasıdır.
Harçlığınla “en az bir tost ve en fazla iki içecek” almak istiyorsan iki şartı birden yazarsın. Uygun alışverişler, iki şartın kesiştiği küçük listedir; şartlardan biri bile sağlanmazsa o alışveriş elenir.
Ders sunumun “5 dakikadan kısa olmayacak, 8 dakikayı geçmeyecek”. Bu bir aralıktır: [5, 8]. Slayt sayınla süre arasındaki bağıntıyı yazarsan, kaç slayt hazırlayabileceğin yine bir eşitsizlik sisteminden çıkar.
Lastiğin üstünde “en az 4, en fazla 6 bar” yazar. Pompalarken bu iki şartı birden sağlaman gerekir; tek bir tanesi sağlanırsa yetmez. Sistemin çözümü yine bir ortak aralıktır.
40 soruluk test · çarpım ve bölüm biçimli eşitsizliklerin çözüm kümesi, işaret tablosu kurulumu, paydanın kökü ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri
f(x) · g(x) veya f(x) / g(x) şeklinde verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken f(x) = 0 ve g(x) = 0 denklemlerinin kökleri bulunur ve kökler sayı doğrusuna yerleştirilir. İşaret yalnız bu köklerde değişebilir.
f(x) ve g(x) polinom fonksiyonlarının en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpılır. Bulunan işaret tablonun en sağındaki aralığın işaretidir. Sonra sola gidilir: tek katlı kökte işaret değişir, çift katlıda değişmez.
f(x) / g(x) ifadesinde g(x) = 0 denkleminin kökleri çözüm kümesine dâhil edilmez. Eşitsizlik “≤” ya da “≥” olsa bile bu kural değişmez; o noktada ifade tanımsızdır. Sayı doğrusunda içi boş yuvarlakla gösterilir.
İki veya daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir. Bir eşitsizlik sistemindeki tüm eşitsizlikleri sağlayan değerlerin kümesine eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Bu şekildeki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri, ortak işaret tablosu oluşturulup eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi alınarak bulunur. İkinci dereceden bir bilinmeyenli sistemlerde fonksiyonlardan en az biri 2. dereceden, diğeri 1 veya 2. derecedendir.
(x + 3)(x² + x – 2) ≤ 0 ⇒ Ç = (–∞, –3] ∪ [–2, 1]
x² + 3x – 4 ≥ 0 ve x² – 2x – 3 ≤ 0 ⇒ Ç = [1, 3]
İlkinde çarpımın işareti, ikincisinde iki tablonun kesişimi belirleyici oldu.