İki Denklem,
Kaç Nokta
Ortak?
Bir denklem sisteminin kökleri, sistemi oluşturan bağıntıların grafiklerinin kesim noktalarıdır. Eşitsizlikte ise tek bir nokta değil, bütün bir bölge aranır. Bu ünitede sistemi cebirle çözmeyi, çözümü grafikte görmeyi ve işaret tablosuyla çözüm kümesini yazmayı öğreneceğiz.
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi bulunurken yerine koyma metodu veya yok etme metotları kullanılır. Kökler, sistemi oluşturan bağıntıların grafiklerinin kesim noktalarıdır. Yani cebirle bulduğun her (x, y) ikilisi, grafikte iki eğrinin buluştuğu bir noktadır; kaç nokta varsa çözüm kümesi o kadar elemanlıdır.
Denklemlerden birinden bir bilinmeyen yalnız bırakılır ve öbür denklemde yerine konur. Böylece tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Doğrusal bir denklem varsa (x + y = 5 gibi) yalnız bırakmak kolay olduğu için bu yol tercih edilir.
Denklemler uygun sayılarla çarpılıp taraf tarafa toplanır ya da çıkarılır; bilinmeyenlerden biri yok olur. İki denklemde de x² ve y² gibi aynı terimler varsa (x² + y² = 25 ve x² – y² = 7 gibi) en hızlı yol budur.
Şu sistem verilsin: x² + y² – xy – 16 = 0 ve x² + y = 9. Verilen yorum aynen şöyledir: “x² + y² – xy – 16 = 0 denkleminin grafiği ile x² + y = 9 denkleminin grafiği dört farklı noktada kesiştiğinden çözüm kümesi dört elemanlıdır.” Kesişim tezgâhındaki son düğme tam olarak bu sistemi çizer: birinci denklemin grafiği eğik duran bir elips, ikincisininki kolları aşağı bakan bir paraboldür ve dört noktada buluşurlar. Bu örnekte köklerin tam sayı çıkmaması önemli değil; soru “kaç elemanlı?” diye soruyorsa grafiği düşünmek yeterlidir.
İşaret tablosu için dört durum ayrılır: kök payda olabilir ya da paydada, ve tek katlı olabilir ya da çift katlı. Her durumun kendi gösterimi ve kendi “çözüm kümesine dahil / dahil değil” kararı vardır.
| Kökün yeri | Katı | Kökte işaret | Çözüm kümesine dahil mi? |
|---|---|---|---|
| Payda (üstte) | Tek kat | Değişir | Eşitsizlik ≥ ya da ≤ ise dahildir |
| Payda (üstte) | Çift kat | Değişmez | Eşitsizlik ≥ ya da ≤ ise dahildir |
| Paydada (altta) | Tek kat | Değişir | Asla dahil değildir |
| Paydada (altta) | Çift kat | Değişmez | Asla dahil değildir |
Bu dört başlık ve “çözüm kümesine dahil / dahil değil” ayrımı geçerlidir; tablodaki kurallar bu başlıkların karşılığıdır. Paydayı sıfır yapan değer için ifade tanımsızdır; tanımsız bir yer çözüm olamaz, bu yüzden eşitsizlik “≥” bile olsa paydanın kökü daima dışarıda bırakılır.
(x – 2)(x – 5) ifadesinde x = 2 ve x = 5 tek katlıdır; sayı doğrusunda her ikisinde de işaret döner. Ama (x – 2)²(x – 5) ifadesinde x = 2 çift katlıdır: o noktada ifade sıfır olur ama işaret aynı kalır, çünkü kare daima negatif olmayan bir değerdir. Sınavda en çok yapılan hata, bütün kökleri tek katlı sanıp işaretleri sırayla “+ – + –” diye yazmaktır. Önce her kökün kaç kat olduğuna bak.
ax² + bx + c ifadesinin işareti üç duruma ayrılır. f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0 ve f(x) ≤ 0 eşitsizliklerine ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir ve verilen eşitsizliği sağlayan x gerçek sayılarının kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
Kökler x₁ ve x₂ olmak üzere ifade, köklerin dışında a ile aynı işaretli, köklerin arasında ters işaretlidir. Sıralama: aynı — ters — aynı.
x₁ = x₂ olduğu nokta dışında ifade her yerde a ile aynı işaretlidir. O tek noktada değer sıfırdır; parabol x eksenine teğettir.
Gerçek kök olmadığı için işaret hiç değişmez: ifade bütün gerçek sayılarda a ile aynı işaretlidir. Parabol x eksenine hiç dokunmaz.
Mantığı tek cümlede: Δ < 0 ise ifade hiç işaret değiştirmez, o hâlde işareti tamamen a belirler. Sürekli pozitif olması isteniyorsa a pozitif, sürekli negatif olması isteniyorsa a negatif olmalıdır. Bu iki şart “m’nin hangi değerleri için ifade daima pozitiftir?” tipindeki soruların tamamının anahtarıdır.
Ders kitabında iki şart art arda şöyle yazılmış: “(a) ∀x ∈ ℝ için ax² + bx + c > 0 ise a > 0 ve Δ < 0 olmalıdır. (b) ∀x ∈ ℝ için ax² + bx + c < 0 ise a > 0 ve Δ < 0 olmalıdır.” İkinci maddede a’nın işareti a < 0 olmalıdır; birinci maddeden kopyalanmış görünüyor. Tek örnekle görülür: f(x) = –x² – 1 ifadesi bütün gerçek sayılarda negatiftir ve burada a = –1 < 0’dır. a > 0 olsaydı kollar yukarı bakardı ve ifade büyük x değerlerinde mutlaka pozitif olurdu. Sayfada doğru hâli kullanıldı. Aynı sayfanın kendi işaret tablosu da bunu destekliyor: Δ < 0 iken ifade “a ile aynı işaretlidir”.
Bir eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin kendi çözüm kümesi bulunur, sonra bunların kesişimi alınır. Tek bilinmeyenli sistemde sonuç sayı doğrusu üzerinde bir aralık, iki bilinmeyenli sistemde ise düzlemde bir bölgedir.
| Denklem sistemi | Eşitsizlik sistemi | |
|---|---|---|
| Aranan | İki eğrinin kesim noktaları | İki şartı birlikte sağlayan bütün noktalar |
| Çözüm kümesi | Sonlu sayıda (x, y) ikilisi | Bir aralık ya da düzlemde bir bölge |
| Grafikteki karşılığı | Nokta | Taranmış alan |
| Sınır çizgisi | Zaten noktadır | “<, >” ise kesikli (dahil değil), “≤, ≥” ise düz (dahil) |
| Yöntem | Yerine koyma / yok etme | Her eşitsizliği ayrı çöz, kesişimi al |
y ≥ x² – 4 sisteminde parabolün üstündeki bölge ve parabolün kendisi çözümdür; sınır düz çizgiyle çizilir. y > x² – 4 olsaydı parabolün üstü çözüm olur ama parabolün üzerindeki noktalar çözüme girmezdi; sınır kesikli çizilirdi. Aynı ayrım sayı doğrusunda dolu ve içi boş nokta ile gösterilir.
Bir sistemde eşitsizlikler “ve” ile bağlıdır: çözüm kümelerinin kesişimi alınır, sonuç daralır. “x < –2 veya x > 2” gibi bir ifadede ise birleşim alınır, sonuç genişler. x² – 4 > 0 eşitsizliğinin çözümü ikinci türdendir: (–∞, –2) ∪ (2, ∞). İki aralığı “–2 < x > 2” gibi tek bir zincire yazmak yanlıştır.
“İki koşulu birden sağlayan durumlar” diye düşündüğün her şey aslında bir eşitsizlik sistemidir. “Tam olarak ne zaman eşit oluyor?” diye sorduğun her şey ise bir denklem sistemi.
Sen sabit hızla koşuyorsun, arkadaşın hızlanarak. Aldığınız yolların grafikleri bir doğru ve bir paraboldür. Kesiştikleri an tam olarak yan yana geldiğiniz andır — yani denklem sisteminin kökü.
İki farklı paketin aylık maliyeti kullanım miktarına göre değişir. Grafiklerin kesiştiği nokta iki paketin eşitlendiği yerdir; o noktadan sonra hangisinin altta kaldığına bakarak seçim yaparsın. Bu bir eşitsizlik sorusudur.
Attığın merminin yüksekliği bir parabol, duvarın tepesi bir doğrudur. Merminin duvarı aşması için parabolün doğrunun üstünde kalması, yani bir eşitsizliğin sağlanması gerekir. Sağlanmıyorsa Δ < 0 çıkar ve mermi hiç geçemez.
“Netim 25’ten fazla ve 40’tan az olsun” dediğinde iki eşitsizliği birden yazmış olursun. Çözüm kümesi kesişimdir: (25, 40) aralığı. Biri bile sağlanmazsa o net hedefin dışındadır.
Kermeste kâr genellikle satılan sayının ikinci dereceden bir fonksiyonudur. Kâr > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, zarar etmeden satabileceğin adet aralığını verir; kökler ise “tam başa baş” noktalarıdır.
İki takımın sayı grafiği çizilse, kesiştikleri anlar beraberlik anlarıdır. Bir takımın önde olduğu süre ise iki eğri arasındaki farkın pozitif olduğu aralıktır — bu da bir işaret incelemesidir.
Otobüs yolculuğun 40 dakika. “Listem 30 dakikadan uzun ve 40 dakikadan kısa olsun” şartı iki eşitsizliktir; uygun şarkı sayısı bu ortak aralıkta kalan tam sayılardır.
Okul bahçesinde dikdörtgen bir alan çevireceksin: çevre en fazla 40 m ve alan en az 75 m² olsun. İki şart birlikte yazılınca ikinci dereceden bir eşitsizlik sistemi çıkar; uygun kenar uzunlukları bir aralık oluşturur.
Bir fotoğrafın hem enine hem boyuna sığması gerekir: iki eşitsizlik birden. Sığdığı ölçüler düzlemde taranmış bir bölge oluşturur — bölge tarayıcıdaki gibi. Bölge boşsa hiçbir ölçü uymuyor demektir.
50 soruluk test · ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri, yerine koyma ve yok etme, işaret tablosu gösterimleri, işaret incelemesi ve eşitsizlik sistemlerinin ortak çözümü
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi bulunurken yerine koyma metodu veya yok etme metotları kullanılır. Kökler, sistemi oluşturan bağıntıların grafiklerinin kesim noktalarıdır. Kaç kesim noktası varsa çözüm kümesi o kadar elemanlıdır.
Kök payda ya da paydada olabilir; tek kat ya da çift kat olabilir. Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlıda değişmez. Paydayı sıfır yapan kök çözüm kümesine hiçbir zaman dahil değildir.
ax² + bx + c ifadesi x₁ ve x₂ köklerinin dışında a ile aynı işaretli, kökler arasında ters işaretlidir.
Δ = 0: x₁ = x₂ noktası dışında ifade her yerde a ile aynı işaretlidir.
Δ < 0: gerçek kök yoktur, ifade bütün ℝ’de a ile aynı işaretlidir.
∀x ∈ ℝ için ax² + bx + c > 0 ise a > 0 ve Δ < 0 olmalıdır.
∀x ∈ ℝ için ax² + bx + c < 0 ise a < 0 ve Δ < 0 olmalıdır.
(Ders kitabında ikinci maddede a > 0 yazılmış; doğrusu a < 0’dır.)
Verilen eşitsizliği sağlayan x gerçek sayılarının kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözümü ayrı bulunur, sonra kesişim alınır. Sonuç tek bilinmeyenlide bir aralık, iki bilinmeyenlide düzlemde bir bölgedir.