Her üçgende
çözüm var
Pisagor yalnız dik üçgende çalışır; kosinüs teoremi her üçgende çalışır. a² = b² + c² – 2·b·c·cosA eşitliği, Pisagor’a bir düzeltme terimi eklenmiş hâlidir. Sinüs teoremi ise kenarlarla karşı açıların sinüslerini tek bir orana bağlar. Bu ünitede iki teoremin nereden geldiğini ve hangisinin ne zaman işe yaradığını göreceğiz.
ABC üçgeninde a² = b² + c² – 2·b·c·cosA, b² = a² + c² – 2·a·c·cosB ve c² = a² + b² – 2·a·b·cosC eşitlikleri sağlanır. Üç eşitlik aynı kalıptır: karşısındaki kenarın karesi = diğer iki kenarın kareleri toplamı – 2 · (o iki kenarın çarpımı) · (aradaki açının kosinüsü). Hangi kenarı arıyorsan onun karşısındaki açıyı kullanırsın.
a² = b² + c² – 2·b·c·cosα eşitliğinde cosα yalnız bırakıldığında cosα = (b² + c² – a²) / (2·b·c) elde edilir. Yani üç kenarı bilinen bir üçgende bütün açılar hesaplanabilir.
A = 90° olduğunda cos 90° = 0 olur ve eşitlik a² = b² + c² hâline iner. Kosinüs teoremi, Pisagor bağıntısının bütün üçgenlere genişletilmiş hâlidir. (Bu çıkarım ders kitabında yazmıyor, formülün doğrudan sonucudur.)
a kenarını hesaplarken kullanılan açı a’nın karşısındaki A açısıdır, B ya da C değil. Yanlış açıyla yazılan kosinüs teoremi sayısal olarak da tutmaz; formülün içindeki iki kenar hep açının kollarıdır.
Verilen ABC üçgeninde [AC] ⊥ [BH] olacak şekilde [BH] çizilir. |BH| = h olsun. Böylece üçgen iki dik üçgene ayrılır; her birine Pisagor uygulanıp h² yalnız bırakılır ve iki ifade eşitlenir. Kalan tek iş, x uzunluğunu kosinüs cinsinden yazmaktır.
c² = x² + h² ⇒ h² = c² – x² ve a² = (b – x)² + h² ⇒ h² = a² – (b – x)² olduğundan a² – (b – x)² = c² – x² yazılır. Açılıp sadeleştirilince a² – b² + 2bx – x² = c² – x², yani a² = c² + b² – 2bx elde edilir.
AHB dik üçgeninde cosA = x / c olduğundan c · cosA = x bulunur. Bu, a² = c² + b² – 2bx eşitliğinde yerine yazıldığında a² = b² + c² – 2·b·c·cosA çıkar. İspat biter.
ABC üçgeninde a / sinA = b / sinB = c / sinC eşitliği sağlanır. Her kenar, karşısındaki açının sinüsüne bölündüğünde aynı sayıyı verir. Üçgenin biçimi ne olursa olsun bu üç oran birbirine eşit kalır; bu yüzden bir kenar ve iki açı biliniyorsa kalan kenarlar tek adımda bulunur.
AHB dik üçgeninde sinB = h / c ⇒ c · sinB = h olduğundan A(ABC) = a · h / 2 = (a · c · sinB) / 2 yazılır. Benzer şekilde alan (a · b · sinC) / 2 ve (c · b · sinA) / 2 biçiminde de yazılabilir.
Alan bağıntıları birbirine eşitlenip her taraf a · b · c ifadesine bölündüğünde sinB / b = sinC / c = sinA / a bulunur, bu da ters çevrilerek a / sinA = b / sinB = c / sinC sinüs teoremini verir.
Bu ortak oran, üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir: a / sinA = 2R. Ders kitabı bu eşitliği vermiyor; sınavda oran sorulduğunda işe yaradığı için eklendi.
İki teorem birbirinin rakibi değil, tamamlayıcısıdır. Elindeki bilgi iki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar ise kosinüs teoremi; bir kenar ile karşısındaki açı ikilisi elindeyse sinüs teoremi tek adımda sonuç verir.
sinA = 1/2 denklemi 30° için de 150° için de sağlanır. Bu yüzden sinüs teoremiyle açı bulurken üçgenin dar mı geniş mi olduğuna ayrıca bakılmalıdır. Kosinüs teoreminde böyle bir belirsizlik yoktur: kosinüs 0-180° arasında her açı için farklı bir değer verir, işaret bile açının dar mı geniş mi olduğunu söyler.
İki teoremin ortak işi şu: gidip ölçemediğin bir kenarı ya da açıyı, ölçebildiklerinden hesaplamak.
Sen kaleden 30 m, arkadaşın 25 m uzakta ve aranızdaki açı 40° ise pasın kaç metre gideceğini kosinüs teoremi verir: iki kenar ve aradaki açı tam olarak bu formülün girdisidir.
Derenin karşısındaki ağaca gitmeden uzaklığını bulmak için kıyıda bilinen uzunlukta bir taban seçip iki uçtan açı ölçersin; gerisi sinüs teoremidir.
Üç kenarını adımlayarak ölçtüğün üçgen bir alanın köşe açılarını cosA = (b² + c² – a²) / (2·b·c) ile bulursun. Ölçü aletine gerek yok.
Telefon, baz istasyonlarına olan uzaklıklarından ve aralarındaki açılardan yerini hesaplar. Kullandığı matematik üçgen çözmenin ta kendisidir.
Ev–okul–kütüphane üçgeninde iki mesafeyi ve aradaki açıyı biliyorsan üçüncü kenarı hesaplayıp hangi rotanın kısa olduğunu gitmeden bulabilirsin.
Marangoz iki eğik kirişin uzunluğunu ve tepe açısını bilir, aradaki bağlantı çıtasını keser. Ölçtüğü şey a² = b² + c² – 2bc·cosA ile bulunan kenardır.
İpin uzunluğunu ve yerle yaptığı açıyı biliyorsan uçurtmanın yüksekliğini bulursun. İki kişi iki ayrı noktadan açı ölçerse sinüs teoremi ile ip uzunluğuna bile gerek kalmaz.
Oyun motoru iki karakterin merkeze olan uzaklıklarını ve aralarındaki açıyı biliyorsa çarpışıp çarpışmayacaklarını kosinüs teoremiyle tek satırda hesaplar.
Direğin boyu ve gerginin yerle yaptığı açı belliyse ipin kaç metre olacağı hesaplanır. Açı büyüdükçe ip kısalır — kosinüsün azalan olması burada doğrudan görünür.
40 soruluk test · kosinüs teoreminin üç yazılışı ve ispatı, açı çekme, sinüs teoremi ve alan üzerinden ispatı, verilen bilgiye göre teorem seçimi
a² = b² + c² – 2·b·c·cosA, b² = a² + c² – 2·a·c·cosB ve c² = a² + b² – 2·a·b·cosC. Aranan kenarın karşısındaki açı kullanılır; formüldeki iki kenar o açının kollarıdır.
cosα = (b² + c² – a²) / (2 · b · c) eşitliği, üç kenarı bilinen bir üçgenin bütün açılarını verir. Kosinüsün işareti açının dar mı geniş mi olduğunu da söyler.
[BH] dikmesi çizilir, c² = x² + h² ve a² = (b – x)² + h² yazılıp h² eşitlenir; a² = c² + b² – 2bx bulunur. cosA = x / c olduğundan x yerine c · cosA konur.
a / sinA = b / sinB = c / sinC. İspatı alan bağıntılarından gelir: alan hem (a·c·sinB)/2, hem (a·b·sinC)/2, hem de (c·b·sinA)/2 olarak yazılıp a·b·c’ye bölünür.
İki kenar + aradaki açı ya da üç kenar → kosinüs teoremi. Bir kenar ve karşısındaki açı çifti elde varsa → sinüs teoremi.
Kosinüs teoreminde açı ile karşı kenarı karıştırma; sinüs teoremiyle açı bulurken sinüsün iki açı için aynı değeri verdiğini unutma (30° ve 150°).