Önce işaret,
sonra fonksiyon
90°’den büyük her açının trigonometrik değeri, bir dar açının değeri cinsinden yazılabilir. Kural iki adımdan ibaret: açının bulunduğu bölgeye bakıp işareti yaz, sonra kalıba göre fonksiyonu ya olduğu gibi bırak ya da eşine çevir. Bu ünitede iki kalıbın hangisinin fonksiyonu değiştirdiğini, hangisinin değiştirmediğini tek çizim üzerinde göreceğiz.
I. bölgede cos α, sin α, tan α ve cot α değerlerinin dördü de pozitiftir. II. bölgede cos α negatif, sin α pozitif, tan α ve cot α negatiftir. III. bölgede cos α ve sin α negatif, tan α ve cot α pozitiftir. IV. bölgede cos α pozitif, sin α negatif, tan α ve cot α negatiftir. Bu tabloyu ezberlemeye gerek yok: birim çemberde kosinüs apsis (x), sinüs ordinat (y) olduğu için işaretleri bölgenin hangi çeyrekte olduğundan okunur; tanjant ile kotanjant ise bu ikisinin oranı olduğundan x ile y aynı işaretliyse pozitif, ters işaretliyse negatif çıkar.
sin α, P noktasının y koordinatıdır. Çemberin üst yarısında (I. ve II. bölge) y pozitif olduğu için sinüs pozitif; alt yarısında (III. ve IV. bölge) negatiftir. Kosekant da sinüsün tersi olduğu için aynı işareti taşır.
cos α, P noktasının x koordinatıdır. Çemberin sağ yarısında (I. ve IV. bölge) pozitif, sol yarısında (II. ve III. bölge) negatiftir. Sekant kosinüsün tersi olduğu için işareti kosinüsle aynıdır.
III. bölgede sinüs de kosinüs de negatiftir, ama tanjant pozitiftir — çünkü iki negatif sayının oranı pozitiftir. “Üçüncü bölgede her şey negatif” demek en sık yapılan hatadır.
90°’den büyük açıların trigonometrik değerleri bulunurken 0° < α < 90° için β = π ∓ α ve β = 2π ∓ α şeklindeki ifadelerde önce açının bulunduğu bölge için trigonometrik fonksiyonun işareti yazılır, daha sonra trigonometrik fonksiyon değiştirilmeden α türünden yazılır. Yani bu kalıpta sinüs sinüs kalır, tanjant tanjant kalır; değişen tek şey baştaki işarettir.
sin(π – θ) = sin θ · cos(π – θ) = –cos θ · tan(π – θ) = –tan θ · cot(π – θ) = –cot θ
cos(π + α) = –cos α · sin(π + α) = –sin α ·
tan(π + α) = tan α · cot(π + α) = cot α
π – α ikinci bölgeye, π + α üçüncü bölgeye düşer; işaretler oradan gelir.
sin(2π – θ) = –sin θ · cos(2π – θ) = cos θ · tan(2π – θ) = –tan θ · cot(2π – θ) = –cot θ
2π – α dördüncü bölgeye düşer. 2π + α ise tam bir tur ekleyip aynı yere döndüğü için bütün değerler α’nınkiyle aynı kalır: sin(2π + α) = sin α.
cos(π – α) = –cos α eşitliğindeki eksi, değerin işaretine aittir; açının kendisi hâlâ pozitiftir. Bu yüzden π – α yazımında eksiyi parantezin içine taşımak ya da –α’yı ayrı bir açı sanmak yanlıştır: önce hangi bölgede olduğuna bak, işareti oradan al.
β = π/2 ∓ α ve β = 3π/2 ∓ α şeklindeki ifadelerde önce açının bulunduğu bölge için trigonometrik fonksiyonun işareti yazılır, daha sonra trigonometrik fonksiyon değiştirilerek α türünden yazılır. Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki değişim cos ↔ sin, tan ↔ cot ve sec ↔ cosec olacak şekilde yapılır. Sebebi çizimde görünür: bu kalıplarda açı y ekseninden ölçülür, dik üçgende karşı kenarla komşu kenar yer değiştirir — bu yüzden sinüs kosinüse döner.
sin(π/2 + α) = cos α · cos(π/2 + α) = –sin α · tan(π/2 + α) = –cot α · cot(π/2 + α) = –tan α
π/2 – α ise birinci bölgededir, dolayısıyla dört değer de pozitif kalır: sin(π/2 – α) = cos α, cos(π/2 – α) = sin α, tan(π/2 – α) = cot α, cot(π/2 – α) = tan α. Bu, tümler açıların bilinen eşitliğidir.
sin(3π/2 – α) = –cos α · cos(3π/2 – α) = –sin α · tan(3π/2 – α) = cot α · cot(3π/2 – α) = tan α
sin(3π/2 + α) = –cos α · cos(3π/2 + α) = sin α ·
tan(3π/2 + α) = –cot α · cot(3π/2 + α) = –tan α
3π/2 – α üçüncü, 3π/2 + α dördüncü bölgededir.
α < θ olmak üzere sin α < sin θ ve cos α > cos θ olur; ayrıca tan α < tan θ ve cot α > cot θ olur. Yani birinci bölgede açı büyüdükçe sinüs ve tanjant artar, kosinüs ve kotanjant azalır. Çizimde de görünen şey bu: açı büyürken P noktası yukarı çıkar (ordinat artar), aynı anda sola kayar (apsis azalır).
Birinci bölgede sinüs ve tanjant artar. Sinüs 0’dan 1’e yükselir; tanjant ise 0’dan başlayıp 90°’ye yaklaşırken sınırsız büyür, 90°’de tanımsız olur.
Birinci bölgede kosinüs ve kotanjant azalır. Kosinüs 1’den 0’a iner; kotanjant 0°’ye yaklaşırken sınırsız büyür, 90°’de 0 olur.
Bu sıralama kuralları dar açılar için verilmiştir. Örneğin 170° ile 100° karşılaştırılırken doğrudan uygulanamaz; önce iki açı da dar açı cinsinden yazılmalı, sonra işaretler hesaba katılmalıdır.
İşaret sadece bir eksi değil; “hangi yöne” sorusunun cevabıdır. Aşağıdaki sahnelerin hepsinde aynı iki adım var: önce bölge, sonra dar açı.
Karakteri 210° yönünde yürüttüğünde yatay hız cos 210° = –cos 30° olur. Eksi işareti karakterin sola gittiğini söyler; büyüklüğü ise 30°’lik dar açıdan gelir.
Sahada 120° dönüp koştuğunda ileri bileşenin cos 120° = –sin 30° çıkar. Yani aslında geriye doğru ilerliyorsun; antrenörün “ters yöne kaçıyorsun” demesinin matematiği bu.
Telefonun ekran döndürme sensörü açıyı 0-360° arasında okur. Uygulama, açının hangi bölgede olduğuna bakıp ekranı hangi yöne çevireceğine karar verir — tam olarak bölgeden işaret okuma işi.
Salıncak ileri giderken konum pozitif, geri gelirken negatiftir. Aynı yükseklik iki ayrı işaretle geçilir: değerin büyüklüğü aynı, yönü ters — sin(π – α) = sin α ile sin(π + α) = –sin α ayrımının ta kendisi.
Güneş sabah bir yanda, öğleden sonra öbür yanda. Gölgenin yönü işaret değiştirir ama uzunluğu dar açının kotanjantından okunur. Yön ve büyüklük ayrı sorulardır.
Kumandada 300° yönü seçtiğinde dron sağa-aşağı gider: cos 300° = cos 60° pozitif (sağ), sin 300° = –sin 60° negatif (aşağı). İki işaret birlikte yönü verir.
Kaykay rampalarından biri 25°, diğeri 40° ise hangisi daha dik? Açı büyüdükçe tanjant büyüdüğü için 40°’lik rampa daha diktir — sıralama kuralı doğrudan işe yarar.
İki hoparlör aynı sesi π kadar kaymış çalarsa biri +, öbürü – değer üretir ve ses zayıflar. sin(π + α) = –sin α eşitliği, “ters fazda çalıyor” cümlesinin formülüdür.
400 metrelik pistte turu tamamlayıp aynı noktaya döndüğünde açına 360° eklenmiş olur ama konumun hiç değişmez: sin(2π + α) = sin α. Tam turlar değeri etkilemez.
40 soruluk test · dört bölgede işaretler, π ve π/2 kalıplarının ayrımı, geniş açıları dar açı cinsinden yazma, dar açılarda sıralama kuralları
I. bölgede dördü de pozitiftir. II. bölgede sin pozitif, cos-tan-cot negatiftir. III. bölgede cos ve sin negatif, tan ve cot pozitiftir. IV. bölgede cos pozitif, sin-tan-cot negatiftir. Kaynağı basit: kosinüs apsis, sinüs ordinat, tanjant ile kotanjant bu ikisinin oranıdır.
Önce açının bulunduğu bölge için işaret yazılır, sonra fonksiyon değiştirilmeden α türünden yazılır. sin(π – θ) = sin θ, cos(π + α) = –cos α, tan(π + α) = tan α, cos(2π – θ) = cos θ.
Önce işaret yazılır, sonra fonksiyon değiştirilerek α türünden yazılır; değişim cos ↔ sin, tan ↔ cot, sec ↔ cosec biçimindedir. sin(π/2 + α) = cos α, tan(π/2 + α) = –cot α, cos(3π/2 + α) = sin α.
α < θ iken sin α < sin θ, cos α > cos θ, tan α < tan θ ve cot α > cot θ olur. Dar açıda sinüs ve tanjant artan, kosinüs ve kotanjant azalandır.
1) Açıyı π ya da π/2 türünden yaz. 2) Bölgeye bakıp işareti koy, kalıba bakıp fonksiyonu bırak ya da eşine çevir. Örnek: cot 240° = cot(180° + 60°) = cot 60°, tan 300° = tan(360° – 60°) = –tan 60°.
III. bölgede tanjantı negatif sanmak; π/2 kalıbında fonksiyonu değiştirmeyi unutmak; sıralama kurallarını geniş açılara uygulamak. Üçü de aynı ilaçla çözülür: önce bölgeyi belirle.