Altı Fonksiyon,
Tek Çember
Birim çember üzerindeki P noktasının koordinatları P(cos α, sin α)’dır. Sinüs ordinat, kosinüs apsis; tanjant ve kotanjant kendi eksenlerinde okunan uzunluklar; sekant ve kosekant ise kosinüs ile sinüsün çarpmaya göre tersleri. Bu ünitede altı fonksiyonun da aynı çizimin neresinde durduğunu göreceğiz.
Birim çember üzerindeki P(a, b) noktasını merkeze birleştiren doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olsun. P noktasından x eksenine indirilen dikmenin x eksenini kestiği nokta A olmak üzere; sinüs değeri karşı dik kenarın hipotenüse oranı olduğundan sin α = |PA| / |OP| = b / 1 = b, kosinüs değeri komşu dik kenarın hipotenüse oranı olduğundan cos α = |AO| / |OP| = a / 1 = a olur. Yani P(a, b) ⇒ P(cos α, sin α). P noktası birim çember üzerinde olduğundan a² + b² = 1 sağlanır; buradan cos²α + sin²α = 1 elde edilir.
∀α ∈ ℝ için cos: ℝ → [–1, 1] olduğundan –1 ≤ cos α ≤ 1; sin: ℝ → [–1, 1] olduğundan –1 ≤ sin α ≤ 1 aralığında değerler alır. Sebebi basit: birim çemberin hiçbir noktası eksenlerden 1 birimden fazla uzaklaşamaz.
cos²α + sin²α = 1 eşitliği, P noktasının birim çember üzerinde olmasının başka bir yazılışıdır. Bu yüzden açı ne olursa olsun geçerlidir; hiçbir açıda bozulmaz.
sin²α gösterimi önce sinüs alınıp sonra karesi alınır anlamına gelir; sin(α²) ile karıştırılmamalıdır. İkisi bambaşka sayılardır ve özdeşlikte kullanılan hep birincisidir.
x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olan [OP ışını tanjant eksenini B noktasında, kotanjant eksenini C noktasında kesmektedir. Buna göre B(1, tan α) ⇒ |AB| = tan α ve C(cot α, 1) ⇒ |CD| = cot α olur. Tanjant fonksiyonu f: ℝ – {x | x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ} → ℝ, f(x) = tan x; kotanjant fonksiyonu f: ℝ – {x | x = kπ, k ∈ ℤ} → ℝ, f(x) = cot x biçiminde tanımlanır. Ayrıca tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α ve buradan tan α · cot α = 1 elde edilir.
tan α = sin α / cos α olduğundan cos α = 0 olan açılarda tanımsızdır: π/2, 3π/2 … yani x = π/2 + kπ. Çizimde bu açılarda kol tanjant eksenine paraleldir, hiç kesmez.
cot α = cos α / sin α olduğundan sin α = 0 olan açılarda tanımsızdır: 0, π, 2π … yani x = kπ. O açılarda kol kotanjant eksenine paraleldir.
Birim çember üzerindeki P noktasını merkeze birleştiren doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α ve d doğrusu P noktasında birim çembere teğet olmak üzere, OPR ile OAP üçgenlerinin benzerliğinden OP / OA = OR / OP yazılır: 1 / cos α = sec α / 1 ⇒ sec α = 1 / cos α. Benzer biçimde OPN ile OBP üçgenlerinin benzerliğinden cosec α = 1 / sin α bulunur. Sekant fonksiyonunun tanım kümesi ℝ – {x | x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ}, kosekantınki ℝ – {x | x = kπ, k ∈ ℤ}; ikisinin de görüntü kümesi ℝ – (–1, 1)’dir.
|cos α| ≤ 1 olduğu için 1 / cos α mutlak değerce her zaman 1’den küçük olamaz. Yani sec α ya 1’den büyük eşit ya –1’den küçük eşittir; arada hiçbir değer alamaz. Aynı gerekçe kosekant için de geçerlidir.
Adları benzediği için karışıyor: sec = 1 / cos ve cosec = 1 / sin; tanjantın çarpmaya göre tersi ise kotanjanttır. Baştaki “ko-” hecesi hangi fonksiyonun tersini aldığını değil, hangisiyle eşlendiğini gösterir.
Sinüs ve kosinüs noktanın koordinatları; tanjant ve kotanjant kendi eksenlerinde okunan uzunluklar; sekant ve kosekant ise ilk ikisinin çarpmaya göre tersleri. Hepsi tek bir birim çemberden okunur.
| Fonksiyon | Çemberdeki karşılığı | Tanımsız olduğu açılar | Görüntü kümesi |
|---|---|---|---|
| sin α | P noktasının ordinatı (b) | Yok | [–1, 1] |
| cos α | P noktasının apsisi (a) | Yok | [–1, 1] |
| tan α | Tanjant ekseninde B(1, tan α) | x = π/2 + kπ | ℝ |
| cot α | Kotanjant ekseninde C(cot α, 1) | x = kπ | ℝ |
| sec α | 1 / cos α | x = π/2 + kπ | ℝ – (–1, 1) |
| cosec α | 1 / sin α | x = kπ | ℝ – (–1, 1) |
sin ↔ cosec, cos ↔ sec, tan ↔ cot. Her çiftin çarpımı 1’dir ve aynı açılarda tanımsız olurlar (biri sıfırlanınca ötekinin paydası sıfırlanır).
“Trigonometrik değer –1 ile 1 arasındadır” cümlesi yalnız sinüs ve kosinüs için doğrudur. Tanjant ve kotanjant bütün gerçek sayıları alır; sekant ve kosekant ise tam tersine (–1, 1) aralığındaki hiçbir değeri alamaz.
Trigonometrik fonksiyonlar yalnız üçgen sorularında değil; dönen, salınan, tekrar eden her şeyin arkasında var.
Okulun engelli rampasının eğimi, yüksekliğin yatay uzunluğa oranıdır — yani tanjant. Eğim yüzdesi arttıkça açı büyür; %100 eğim 45°’ye karşılık gelir.
Öğlen gölgeler kısa, akşam uzundur. Boy sabitken gölge boyu cot α ile değişir; güneş ufka yaklaşırken (α küçülürken) gölge hızla uzar ve α = 0 olsa tanımsız olurdu.
Salıncağın ileri geri hareketi bir sinüs eğrisidir: aynı hareket belli bir süre sonra tekrarlar. Yüksekliğin zamana göre grafiğini çizersen tepeler ve çukurlar –1 ile 1 arasında kalır.
Kulaklığındaki her ses, sinüs dalgalarının toplamıdır. Sesin yüksekliği dalganın boyuna, notanın inceliği saniyedeki tekrar sayısına bağlıdır.
Bir karakteri α açısıyla ilerletmek için yatay hız cos α, düşey hız sin α ile çarpılır. Oyun motorları tam olarak birim çemberin koordinatlarını kullanır.
Topu α açısıyla attığında hızın yatay bileşeni cos α, düşey bileşeni sin α ile bulunur. Açı büyüdükçe top daha dik gider; menzil ise iki bileşenin birlikte belirlediği bir şeydir.
Kar yağan bölgelerde çatılar dik yapılır. Ustanın “şu kadar eğim” dediği şey tanjant değeridir; yükseklik ile yatay mesafenin oranı.
Panele düşen ışık miktarı, ışının panelle yaptığı açının kosinüsüyle orantılıdır. Açı 0’a yaklaştıkça kosinüs 1’e gider ve verim en yüksek olur.
Gündüz süresi yıl boyunca inip çıkar ve her yıl aynı deseni tekrarlar. Böyle tekrarlayan büyüklükler sinüs benzeri fonksiyonlarla modellenir.
40 soruluk test · birim çemberde sinüs ve kosinüs, tanjant ve kotanjant eksenleri, sekant ve kosekantın benzerlikle türetilmesi, altı fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri
sin α = |PA| / |OP| = b ve cos α = |AO| / |OP| = a olduğundan P(a, b) ⇒ P(cos α, sin α)’dır. Sinüs noktanın ordinatı, kosinüs apsisidir.
P birim çember üzerinde olduğundan a² + b² = 1, yani cos²α + sin²α = 1 olur. Ayrıca –1 ≤ cos α ≤ 1 ve –1 ≤ sin α ≤ 1; ikisinin de görüntü kümesi [–1, 1]’dir.
[OP ışını tanjant eksenini B(1, tan α), kotanjant eksenini C(cot α, 1) noktasında keser. Tanım kümeleri sırasıyla ℝ – {x | x = π/2 + kπ} ve ℝ – {x | x = kπ}’dir.
tan α = sin α / cos α · cot α = cos α / sin α · tan α · cot α = 1. İki fonksiyon birbirinin çarpmaya göre tersidir; bu yüzden biri sıfır olduğunda öteki tanımsızdır.
Benzerlikten sec α = 1 / cos α ve cosec α = 1 / sin α bulunur. Sekantın tanım kümesi ℝ – {x | x = π/2 + kπ}, kosekantınki ℝ – {x | x = kπ}’dir.
Sekant ve kosekantın görüntü kümesi ℝ – (–1, 1)’dir. |cos α| ≤ 1 olduğu için tersleri mutlak değerce 1’in altına inemez. Tanjant ve kotanjant ise bütün gerçek sayıları alır.