Açının Bir de
Yönü
Var.
Kenarlarından biri başlangıç, diğeri bitiş kenarı olarak belirlenmiş açıya yönlü açı denir. Saat yönünün tersine dönersen pozitif, saat yönünde dönersen negatif. Bu ünitede açıyı dereceyle, dakika-saniyeyle ve radyanla ölçmeyi; kaç tur atılırsa atılsın geriye kalan esas ölçüyü bulmayı ve her şeyin üzerine kurulduğu birim çemberi göreceğiz.
Kenarlarından biri başlangıç, diğeri bitiş kenarı olarak belirlenmiş açıya yönlü açı denir. Bir açı, kenarlarının yazılış sırasına göre iki farklı biçimde yönlendirilebilir. Pozitif yönlü açı başlangıç kenarı üzerinden başlanarak (BOA) biçiminde, negatif yönlü açı ise yine başlangıç kenarı üzerinden başlanarak (AOB) biçiminde gösterilir. Saatin dönme yönü açılar için negatif yön, saatin dönme yönünün tersi açılar için pozitif yöndür.
Saatin dönme yönünün tersi. Analitik düzlemde x ekseninin pozitif tarafından yukarı doğru dönmektir. Gösterim: (BOA) — başlangıç kenarı üzerinden başlanır.
Saatin dönme yönü. Aynı iki kenar arasında kalan açı, ters yönden dolaşıldığı için negatif işaretle yazılır. Gösterim: (AOB).
60°’lik bir açının kenarları, –300°’lik yönlü açının da kenarlarıdır: biri kısa yoldan, öteki uzun yoldan dolaşır. Yönlü açıda “kenarlar nerede” değil, hangi yönden ve kaç tur dönüldüğü de bilgi taşır.
Bir çemberin çevresinin 360 eş parçaya ayrılması ile elde edilen bir parçaya 1 derecelik yay ve bu yayı gören merkez açıya 1 derecelik açı denir. Bu açının ölçüsü 1° şeklinde gösterilir. Dakika ve saniye derecenin alt birimleridir. 1 derecenin 1/60’ine 1 dakika denir ve 1′ ile gösterilir: 1° = 60′. 1 dakikanın 1/60’ine 1 saniye denir ve 1″ ile gösterilir: 1′ = 60″.
Saniye cinsinden verilen değer 60’a bölünerek dakikaya çevrilirken kalan saniye, bulunan bölüm 60’a bölünerek dereceye çevrilirken kalan dakikaya eşittir. Yani iki kez 60’a bölersin: ilk kalan saniye, ikinci kalan dakika, son bölüm derecedir.
Derecenin ondalık kısmı onluk değil altmışlık sisteme çevrilir: 0,5° = 30′, 0,25° = 15′. “1,45°” ile “1°45′” aynı sayı değildir; ikincisi 1,75°’dir. Sınavda en sık yapılan hata budur.
Bir çemberin yarıçapı uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere D / 360 = R / 2π ⇒ D / 180 = R / π olur. Kolay yol da şudur: radyandan dereceye geçerken π yerine 180° yazılabilir; dereceden radyana geçerken verilen açı π/180 ile çarpılıp sadeleştirilebilir.
| Derece | Radyan | Çemberin kaçta kaçı |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | 1/12 tur |
| 45° | π/4 | 1/8 tur |
| 60° | π/3 | 1/6 tur |
| 90° | π/2 | 1/4 tur |
| 180° | π | yarım tur |
| 270° | 3π/2 | 3/4 tur |
| 360° | 2π | tam tur |
“2 radyan” yazılırken bir simge kullanılmaz; yalnız 2 yazılır. Bu yüzden “sin 2” ifadesindeki 2 radyandır, 2 derece değildir — ikisi bambaşka açılardır (2 radyan ≈ 114,6°). Birim yazılmamışsa açı radyandır.
Bir tam çember yayını gören merkez açının ölçüsü 360°’dir. k ∈ ℤ ve 0 < α < 360° olmak üzere ölçüsü α + k · 360° olan bir açının esas ölçüsü α derecedir. k ∈ ℤ ve 0 < α < 2π olmak üzere ölçüsü α + k · 2π olan bir açının esas ölçüsü α radyandır. Yani kaç tur atılırsa atılsın, bitiş kenarının nereye baktığını belirleyen tek şey kalandır.
Açıyı 360’a böl, kalan esas ölçüdür. 1170° = 3 · 360° + 90° olduğundan esas ölçü 90°’dir: üç tam tur atıp 90° daha dönmüşsün demektir, bitiş kenarı yukarıyı gösterir.
Bölmeden çıkan kalan negatifse esas ölçü o değildir; 360° eklenerek 0 ile 360 arasına taşınır. –50° için esas ölçü 310°, –400° için 320°’dir. Esas ölçü hiçbir zaman negatif olmaz.
Tanım: Analitik düzlemde merkezi orijinde bulunan ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. POH dik üçgeninde Pisagor bağıntısından x² + y² = 1 eşitliği elde edilir. Birim çember üzerindeki her nokta x² + y² = 1 bağıntısını sağlar. Bir sonraki ünitede göreceğimiz bütün trigonometrik değerler bu çemberin üzerindeki noktaların koordinatlarıdır.
P(1/√2 , a) noktası birim çember üzerinde olduğuna göre a’nın
alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
(1/√2)² + a² = 1 ⇒ 1/2 + a² = 1 ⇒ a² = 1 – 1/2 = 1/2 ⇒ a = 1/√2 veya a = –1/√2.
Çarpım: (1/√2) · (–1/√2) = –1/2.
Not: 1/√2 ile √2/2 aynı sayıdır (paydası
rasyonelleştirilmiş hâli). Sonuç –1/2’dir.
Bir nokta için x² + y² hesaplanır: sonuç 1 ise çember üzerinde, 1’den küçükse içinde, büyükse dışındadır. Bu tek satırlık denetim, verilen noktanın birim çemberde olup olmadığını hemen söyler.
a² = 1/2 denkleminin çözümü iki tanedir: pozitif ve negatif kök. Yalnız birini yazarsan “değerler çarpımı” tipi sorularda sonucu bulamazsın. Karekök alırken ± işaretini unutma.
Yön, tur ve kalan… Aşağıdaki sahnelerin hepsi aslında yönlü açı ya da esas ölçü hesabıdır.
Akrep 12 saatte tam tur atar, yelkovan 1 saatte. Saatin dönme yönü matematikte negatif yön sayılır; açı sorularında çizim yaparken ilk dikkat edeceğin şey budur.
Kaykay ve snowboard hareketlerinin adı dönme açısıdır: “360” bir tam tur, “540” bir buçuk tur. 540°’nin esas ölçüsü 180°’dir — yani sporcu ters yöne bakarak iner.
Karakteri sağa çevirmek pozitif, sola çevirmek negatif açıdır. Oyun motoru açıyı radyan tutar; ekrandaki 90°, kodda π/2 olarak yazılır.
Pedalı 5 tur çevirdiğinde 1800° dönmüş olursun ama pedal başladığı yerdedir: esas ölçü 0°. Konumu belirleyen toplam açı değil, kalandır.
Coğrafyada yön açıları derece, dakika, saniye ile verilir: 39°55′30″ gibi. Bu gösterim tam olarak bu ünitedeki altmışlık alt birimlerdir.
8 dilim pizzada bir dilimin merkez açısı 360° / 8 = 45°, yani π/4 radyandır. Dilim sayısı arttıkça açı küçülür; bu, çemberi eş parçalara ayırmanın ta kendisidir.
Dönme dolapta 2,5 tur sonra kabinin nerede olduğunu bulmak için 900°’nin esas ölçüsüne bakarsın: 180°, yani tam karşı taraftasın.
“İki tur döndü” demek 720° demektir. Yönü de söylemek gerekir: sağa mı sola mı? Yönlü açı tam olarak bu iki bilgiyi birden taşır.
Ekranı yatay yapmak için telefonu 90° çevirirsin. Aynı görüntüyü –270° dönerek de elde edersin: iki yönlü açının esas ölçüsü aynıdır.
40 soruluk test · yönlü açılar ve dönme yönü, derece-dakika-saniye, radyan ve birim çevirme, esas ölçü, birim çember ve x² + y² = 1 bağıntısı
Kenarlarından biri başlangıç, diğeri bitiş kenarı olarak belirlenmiş açıya yönlü açı denir. Pozitif yönlü açı (BOA), negatif yönlü açı (AOB) biçiminde gösterilir. Saatin dönme yönü negatif, tersi pozitif yöndür.
Bir çemberin çevresinin 360 eş parçaya ayrılması ile elde edilen bir parçaya 1 derecelik yay, bu yayı gören merkez açıya 1 derecelik açı denir. 1° = 60′ ve 1′ = 60″; dakika ve saniye derecenin alt birimleridir.
Bir çemberin yarıçapı uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Derece D, radyan R olmak üzere D / 360 = R / 2π ⇒ D / 180 = R / π. 1 radyan ≈ 57,3°’dir.
Radyandan dereceye geçerken π yerine 180° yazılabilir; dereceden radyana geçerken verilen açı π/180 ile çarpılarak sadeleştirilebilir. Saniye 60’a bölünüp dakikaya, dakika 60’a bölünüp dereceye çevrilir.
k ∈ ℤ ve 0 < α < 360° olmak üzere ölçüsü α + k · 360° olan bir açının esas ölçüsü α derecedir. Radyanda ise 0 < α < 2π olmak üzere α + k · 2π açısının esas ölçüsü α radyandır. Esas ölçü negatif olmaz.
Analitik düzlemde merkezi orijinde bulunan ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Birim çember üzerindeki her nokta x² + y² = 1 bağıntısını sağlar. Örnekte P(1/√2, a) için a = ±1/√2 ve değerler çarpımı –1/2 bulunur.