Bir Bilgi
Örnek Uzayı
Küçültür.
B olayının gerçekleşmiş olması hâlinde A olayının gerçekleşme olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir. “Seçilen öğrencinin erkek olduğu biliniyor” dendiği anda artık bütün sınıf değil, yalnız erkekler arasından seçim yapılıyor demektir. Bu ünitede paydanın nasıl küçüldüğünü ve iki olayın birbirini etkileyip etkilemediğini nasıl anlayacağımızı göreceğiz.
E eş olumlu örnek uzayında A ve B iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması hâlinde A olayının gerçekleşme olasılığına A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) ile gösterilir. P(B) > 0 olmak üzere P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B) olur. “B gerçekleşti” bilgisi, artık B’nin dışındaki bütün sonuçları elemek demektir.
P(A / B) okunuşu “B verildiğinde A’nın olasılığı”dır. Eğik çizginin sağındaki olay bilinen, solundaki olay sorulan olaydır. Sıra karışırsa bambaşka bir sayı çıkar.
Payda P(B) olduğu için B’nin olasılığı sıfır olamaz. Zaten hiç gerçekleşmeyecek bir olayın gerçekleştiğini varsaymak anlamlı değildir; koşul olarak verilen olayın mümkün olması gerekir.
İkisinin de payı aynıdır: P(A ∩ B). Farkı yaratan paydadır. Bir sınıfta “erkek olduğu bilinen birinin 10. sınıf olma olasılığı” ile “10. sınıf olduğu bilinen birinin erkek olma olasılığı” genellikle farklı çıkar.
P(A / B) hesaplanırken P(A ∩ B) ve P(B) hesaplanıp oranlanmasının yerine s(A ∩ B) / s(B) hesaplanması yeterlidir. Sebebi sadeleşmedir: iki olasılığın da paydasında s(E) vardır, bölme yapılınca s(E) gider ve geriye eleman sayılarının oranı kalır.
İngilizce kulübündeki 38 kişilik grupta 10. sınıflardan 10 kız ve 8 erkek, 11. sınıflardan
6 kız ve 14 erkek vardır. Gruptan rastgele bir öğrenci kulüp başkanı seçiliyor.
Seçilen öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre 10. sınıf öğrencisi
olma olasılığı soruluyor.
Uzun yol: P(A ∩ B) = 8/38 = 4/19 ve P(B) = 22/38 = 11/19 bulunur, oranlanır:
(4/19) ÷ (11/19) = 4/11.
Kısa yol: s(A ∩ B) / s(B) = 8 / 22 = 4/11.
P(A ∩ B) = P(B) · P(A / B) şeklindeki eşitliğe olasılıkta çarpma kuralı denir. Bu, koşullu olasılık formülünün paydasının karşıya atılmış hâlidir. “Önce B olsun, sonra B olmuşken A olsun” diye okunur; arka arkaya gerçekleşen olaylarda tam olarak bu sırayla çalışırız.
P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B) ile P(A ∩ B) = P(B) · P(A / B) aynı eşitliktir. Soruda kesişim isteniyorsa çarpma biçimini, koşullu olasılık isteniyorsa bölme biçimini kullan.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) eşitliği yalnız bağımsız olaylarda geçerlidir. Olaylar birbirini etkiliyorsa ikinci çarpan P(B) değil, P(A / B) olmak zorundadır.
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A ile B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. A ile B bağımsız olaylar olduğunda herhangi bir koşul altında birbirlerini etkilemezler. Bu durumda P(A / B) = P(A) olur. Koşullu olasılık formülünde yerine yazılırsa P(A ∩ B) = P(A) · P(B) elde edilir. A ile B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkiliyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.
| Ölçüt | Bağımsız olaylar | Bağımlı olaylar |
|---|---|---|
| Tanım | Biri diğerini etkilemez | Biri diğerini etkiler |
| Koşullu olasılık | P(A / B) = P(A) | P(A / B) ≠ P(A) |
| Kesişim | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | P(A ∩ B) = P(B) · P(A / B) |
| Torbadan iki top | Geri koyarak çekme | Geri koymadan çekme |
| Zar ve para | Zarın sonucu paranınkini etkilemez | Aynı desteden art arda kart çekmek |
“A ya da B” için P(A ∩ B′) + P(B ∩ A′) ifadesini veriyor. Bu ifade, ikisinden yalnız birinin gerçekleşmesi olasılığıdır: ya A olur B olmaz, ya B olur A olmaz. İkisinin birden gerçekleştiği durum bu toplamın dışında kalır.
Ayrık olaylarda A ∩ B = ∅’dir: biri olursa öteki kesinlikle olmaz — yani birbirlerini en güçlü biçimde etkilerler. Bu yüzden olasılıkları sıfır olmayan ayrık iki olay bağımsız olamaz. İki kavram birbirinin yerine kullanılamaz.
Elimize yeni bir bilgi geçtiğinde tahminimizi güncelleriz. Koşullu olasılık, bu güncellemenin matematikçesidir.
Sınıftan rastgele biri seçilecek. “Seçilen kişi basketbol takımında” bilgisi gelince artık bütün sınıf değil, yalnız takımdakiler arasından seçim yapıyorsun demektir; payda küçülür.
Telefonda bildirim geldi. “Bildirimin bir grup sohbetinden geldiğini biliyorum” dersen, gönderenin arkadaşın olma olasılığı değişir. Bilgi, örnek uzayı daraltır.
İki zar atıldığında birinin sonucu ötekini etkilemez: bağımsız olaylardır. Ama “toplam 8 geldi” bilgisi verilirse ilk zarın 6 olma olasılığı değişir — çünkü koşul iki zarı birbirine bağlar.
Kantinde son iki tost kaldı. Önündeki kişi tost alırsa senin alabilme olasılığın düşer: bağımlı olay. Sınırlı bir stoktan çekmek, torbadan geri koymadan top çekmenin ta kendisidir.
Sınıf çekilişinde isimler kutudan geri konmadan çekiliyorsa her çekimde olasılığın değişir. İsim yazılıp geri atılıyorsa her tur aynı olasılıkla başlar; ikinci durumda çekimler bağımsızdır.
Uygulama sana dizi öneriyor. “Son üç dizim komedi” bilgisi, önerilecek dizinin komedi olma olasılığını yükseltir. Öneri sistemleri tam olarak koşullu olasılıkla çalışır.
Takımının kazanma olasılığı, “ilk golü attık” bilgisiyle güncellenir. Maç öncesi tahminle maç içi tahmin farklıdır çünkü ikincisi koşulludur.
Kalemin çantanda ya da dolabında. Çantaya bakıp bulamadığında dolapta olma olasılığı yükselir: bir olasılık elendiği için kalanların payı büyür.
Sunum sırası için kâğıt çekiyorsunuz. Senden önce çekilen kâğıtlar geri konmadığı için senin “ilk sıra” çekme olasılığın her çekimden sonra değişir; bu çekimler bağımlıdır.
40 soruluk test · koşullu olasılık tanımı ve formülü, s(A∩B)/s(B) kısa yolu, olasılıkta çarpma kuralı, bağımsız ve bağımlı olaylar
B olayının gerçekleşmiş olması hâlinde A olayının gerçekleşme olasılığına A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) ile gösterilir. P(B) > 0 olmak üzere P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B).
P(A / B) hesaplanırken iki olasılığı oranlamak yerine s(A ∩ B) / s(B) hesaplanması yeterlidir. Bölme sırasında s(E) sadeleşir; geriye eleman sayılarının oranı kalır.
P(A ∩ B) = P(B) · P(A / B) şeklindeki eşitliğe olasılıkta çarpma kuralı denir. Arka arkaya gerçekleşen olaylarda “önce B, sonra B olmuşken A” diye okunur.
Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Bu durumda P(A / B) = P(A) ve buradan P(A ∩ B) = P(A) · P(B) olur.
Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkiliyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir. Torbadan geri koymadan çekmek, desteden art arda kart çekmek bu gruba girer; ikinci adımın olasılığı ilk adımın sonucuna göre değişir.
38 kişilik kulüpte 10. sınıf 10 kız + 8 erkek, 11. sınıf 6 kız + 14 erkektir. Erkek olduğu bilinen bir öğrencinin 10. sınıf olma olasılığı 8/22 = 4/11. Uzun yolda (4/19) ÷ (11/19) yine 4/11 verir.