Tek Grafik,
Sekiz Farklı
Görüntü
Elinde y = f(x) grafiği varsa, y = –f(x), y = f(–x), y = f(x – 3) + 2 ya da y = 2·f(x) grafiklerini yeniden hesap yapmadan çizebilirsin. Bu ünitede fonksiyonun kuralına dokunmadan grafiğini aynalama, kaydırma, gerdirme ve büzme kurallarını öğreneceğiz. Sınavda “şeklin grafiği verilmiştir” diyen soruların anahtarı burada.
Bir fonksiyonun grafiği ya y eksenine göre ya orijine göre simetrik olabilir, ya da hiçbirine. Bu üç durumu ayırmak için tek yapılacak şey x yerine –x yazmaktır. Çıkan ifade fonksiyonun kendisiyse çift, tam tersiyse tektir.
f(x) çift fonksiyon ise:
• f(–x) = f(x)’tir.
• f(x) fonksiyonunda tek dereceli terim yoktur.
• f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) tek fonksiyon ise:
• f(–x) = –f(x)’tir.
• f(x) fonksiyonunda çift dereceli terim yoktur.
• f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
| Fonksiyon | Terimlerin dereceleri | Sonuç | Grafiğin simetrisi |
|---|---|---|---|
| f(x) = x⁴ – 3x² + 5 | 4, 2, 0 — hepsi çift | Çift fonksiyon | y eksenine göre |
| f(x) = x⁵ – 4x³ + x | 5, 3, 1 — hepsi tek | Tek fonksiyon | Orijine göre |
| f(x) = x² + x | 2 çift, 1 tek — karışık | Ne çift ne tek | Simetri yok |
| f(x) = x³ + 1 | 3 tek, 0 çift — karışık | Ne çift ne tek | Simetri yok |
Sabit terim aslında c · x⁰ demektir ve 0 çift sayı olduğu için sabit terim çift derecelidir. Bu yüzden f(x) = x³ + 1 tek fonksiyon değildir: içinde çift dereceli bir terim (sabit 1) vardır. Aynı sebeple bir tek fonksiyonun grafiği orijinden geçmek zorundadır: f(–0) = –f(0) eşitliği ancak f(0) = 0 iken sağlanır.
Buradaki “tek” ve “çift”, fonksiyonun aldığı değerlerle ilgili değil, terimlerin dereceleriyle ilgilidir. f(x) = x² fonksiyonu çift fonksiyondur, ama f(3) = 9 gibi tek sayı değerleri alır. İkinci tuzak: bir fonksiyon hem çift hem tek olabilir — yalnız f(x) = 0 sabit fonksiyonu bu ikisini birlikte sağlar. Üçüncüsü: çoğu fonksiyon ne çift ne tektir; “çift değilse tektir” diye bir kural yoktur.
Üç simetri tek tek verilir: y = f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği y = –f(x), y eksenine göre simetriği y = f(–x), orijine göre simetriği y = –f(–x) fonksiyonudur. Eksinin fonksiyonun önünde mi, içinde mi, ikisinde de mi olduğuna bak — hangi eksene aynalandığı buradan çıkar.
| Simetri | Yeni fonksiyon | (x, y) noktası nereye gider? | Ne değişir? |
|---|---|---|---|
| x eksenine göre | y = –f(x) | (x, y) → (x, –y) | Apsis aynı, ordinatın işareti döner |
| y eksenine göre | y = f(–x) | (x, y) → (–x, y) | Ordinat aynı, apsisin işareti döner |
| Orijine göre | y = –f(–x) | (x, y) → (–x, –y) | İkisinin de işareti döner |
Orijine göre simetri aslında iki işlemin arka arkaya yapılmasıdır: önce y eksenine göre aynala (f(–x)), sonra x eksenine göre aynala (–f(–x)). Sırayı değiştirmek sonucu değiştirmez.
Bir fonksiyonun y eksenine göre simetriği kendisiyle çakışıyorsa, yani f(–x) = f(x) ise o fonksiyon çifttir. Orijine göre simetriği kendisiyle çakışıyorsa, yani –f(–x) = f(x) ise — buradan f(–x) = –f(x) çıkar — o fonksiyon tektir. Yani 01. bölümdeki iki tanım, bu bölümdeki iki simetrinin “sabit kalma” hâlidir.
f(x) = x² + 2x olsun. –f(x) = –x² – 2x (bütün ifadenin işareti döner), ama f(–x) = x² – 2x (yalnız x’lerin yerine –x yazılır, çift kuvvetler işaret değiştirmez). İkisi apayrı grafiklerdir: ilki x ekseninin, ikincisi y ekseninin öbür yanındadır.
Dört öteleme vardır: k ∈ ℝ⁺ olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun y ekseni boyunca k birim yukarı ötelenmesi ile y = f(x) + k, k birim aşağı ötelenmesi ile y = f(x) – k; x ekseni boyunca k birim sağa ötelenmesi ile y = f(x – k), k birim sola ötelenmesi ile y = f(x + k) fonksiyonu oluşur.
Dikey ötelemede işaret sezgiyle uyuşur: f(x) + 3 grafiği 3 birim yukarı taşır. Ama yatayda tersi olur: f(x – 3) grafiği 3 birim sağa, f(x + 3) ise 3 birim sola taşır. Sebebi şu: f(x – 3) fonksiyonunun x = 5’teki değeri f(2)’dir; yani eski grafikte 2’de olan yükseklik yeni grafikte 5’e gelmiştir — 3 birim sağa. Laboratuvarda yatay kaydırağı sağa çekip yazılan kuralda eksinin çıktığını gör.
y = f(x – a) + k yazılışı, grafiği önce a birim yatay (a > 0 ise sağa), sonra k birim dikey (k > 0 ise yukarı) taşır. Grafiğin şekli hiç değişmez; yalnız yeri değişir. Bu yüzden ötelenmiş grafiğin tepe noktası, kökleri ve kesişimleri de aynı miktarda kayar: eski tepe T(r, m) ise yeni tepe T(r + a, m + k) olur. Parabolde daha önce gördüğün f(x) = a(x – r)² + k biçimi tam olarak budur: y = x² parabolü r birim yatay, k birim dikey ötelenmiştir.
Fonksiyonun önündeki katsayı grafiği dikey (y yönünde), x’in yanındaki katsayı ise yatay (x yönünde) değiştirir. İkisinin etkisi birbirinin tersidir; en kolay ayırt etme yolu hangi noktaların yerinde kaldığına bakmaktır.
| Yazılış | k’nın değeri | Ne olur? | Yerinde kalan noktalar |
|---|---|---|---|
| y = k · f(x) | k > 1 | Dikey olarak gerilir (x ekseninden uzaklaşır) | x eksenini kestiği noktalar (kökler) |
| y = k · f(x) | 0 < k < 1 | Dikey olarak büzülür (x eksenine yaklaşır) | x eksenini kestiği noktalar (kökler) |
| y = f(k · x) | k > 1 | y eksenine doğru yatay olarak daralır | y eksenini kestiği nokta |
| y = f(k · x) | 0 < k < 1 | y ekseninden yatay olarak açılır | y eksenini kestiği nokta |
Son iki satır verildiği hâliyle yazılmıştır: k > 1 ⇒ y = f(kx), grafiğin y eksenine doğru yatay olarak daraltılmasıyla oluşur; 0 < k < 1 ⇒ y = f(kx), grafiğin y ekseninden yatay olarak açılmasıyla oluşur.
Dikey değişim için “0 < k < 1 ⇒ açılma (gerilme)”, “k > 1 ⇒ sıkışma (büzülme)” yazıyor. Bu iki madde yer değiştirmiş; sayfada doğrusu kullanıldı. Tek bir nokta ile denetlenebilir: f(x) = x² ve k = 2 alalım. x = 1 için f(1) = 1, 2 · f(1) = 2 olur — nokta x ekseninden uzaklaşmıştır, yani k > 1 gerilme (açılma) yapar. k = 0,5 alınırsa 0,5 · f(1) = 0,5 çıkar; nokta x eksenine yaklaşmıştır, yani 0 < k < 1 büzülme yapar. Aynı sayfanın yatay maddeleri (f(kx)) ise doğrudur ve tabloda olduğu gibi durur. Tezgâhta k kaydırağını 1’in üstüne çıkarıp eğrinin ne yaptığına bak.
f(x₀) = 0 ise k · f(x₀) = 0’dır: dikey germede kökler hiç kımıldamaz, yalnız aradaki yükseklikler k katına çıkar. Yatayda ise f(k · 0) = f(0): y eksenini kestiği nokta yerinde kalır, kökler ise 1/k katına iner. Bir soruda “grafiğin hangi noktası değişmemiş?” diye soruluyorsa cevap doğrudan dönüşümün türünü söyler.
f(x) = x² için 2 · f(x) = 2x² ama f(2x) = (2x)² = 4x². İkisi farklı fonksiyonlardır. Parantezin dışındaki katsayı çıktıyı, içindeki katsayı ise girdiyi çarpar. Aynı tuzak öteleme ile germe karıştırıldığında da çıkar: f(x) + 2 grafiği taşır, 2 · f(x) ise gerdirir.
Öteleme bir şeyi olduğu gibi taşımak, germe onu bir yönde uzatmak, simetri ise aynaya tutmaktır. Telefonundaki her ekran, her oyun, her grafik bu üç işlemi kullanır.
Fotoğrafı parmakla sağa sürüklediğinde şekli hiç değişmez, yalnız yeri değişir. Bu bir ötelemedir: her noktanın apsisi aynı miktarda artar, yani grafik f(x – k) hâline gelir.
Fotoğrafın alt kenarından tutup aşağı çekersen görüntü uzar, insanlar incecik görünür. Bu dikey germedir (k · f(x), k > 1). İki parmakla köşeden büyütmek ise iki yönde birden ölçekler, oran bozulmaz.
Ön kamerada yazılı tişörtün tersten görünür. Kamera görüntüyü y eksenine göre aynalar: her nokta (x, y) → (–x, y) olur, yani f(–x). Yükseklikler aynı kalır, sağ-sol yer değiştirir.
Yağmurdan sonra su birikintisinde binaların ters görüntüsü çıkar. Su yüzeyi x ekseni gibidir; görüntü –f(x)’tir. Apsisler aynı, yükseklikler ters işaretli.
Oyunun ses çubuğunu yarıya indirdiğinde ses dalgasının şekli aynı kalır, yükseklikleri yarıya iner: 0,5 · f(x). Sesin sıfır olduğu anlar (kökler) hiç kaymaz — sadece yüksek yerler alçalır.
Videoyu 2× hızda izlersen aynı olaylar yarı sürede olur: zaman ekseni sıkışır. Bu f(2x) dönüşümüdür — yatay daralma. 0,5× yavaş oynatmak ise f(0,5x), yani yatay açılmadır.
Deneme netlerini gösteren grafiğe herkese +5 net eklenirse eğrinin şekli hiç değişmez, tamamı 5 birim yukarı çıkar: f(x) + 5. Kimin daha iyi olduğu değişmez, çünkü öteleme sıralamayı bozmaz.
Kelebeğin iki kanadı bir eksene göre simetriktir; bu çift fonksiyon davranışıdır. Bir oyun kartının 180° döndürüldüğünde aynı görünmesi ise orijine göre simetridir, yani tek fonksiyon davranışı.
Yurt dışındaki arkadaşınla yazışırken onun saati seninkinden sabit bir miktar geridedir. Gün içindeki bütün olaylar aynı miktarda kayar: f(x – k). Olayların sırası ve arasındaki süreler hiç değişmez.
50 soruluk test · çift ve tek fonksiyonlar, x/y eksenine ve orijine göre simetri, yatay ve dikey öteleme, germe ve büzülme
f(–x) = f(x)’tir · fonksiyonda tek dereceli terim yoktur · grafiği y eksenine göre simetriktir. Örnek: f(x) = x⁴ – 3x² + 5.
f(–x) = –f(x)’tir · fonksiyonda çift dereceli terim yoktur · grafiği orijine göre simetriktir. Sabit terim çift dereceli sayıldığı için tek fonksiyonda sabit terim bulunmaz; grafik orijinden geçer.
y = f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği y = –f(x), y eksenine göre simetriği y = f(–x), orijine göre simetriği y = –f(–x) fonksiyonudur. Nokta karşılıkları: (x, –y) · (–x, y) · (–x, –y).
k ∈ ℝ⁺ olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun y ekseni boyunca k birim yukarı ötelenmesi ile y = f(x) + k, k birim aşağı ötelenmesi ile y = f(x) – k fonksiyonu oluşur.
x ekseni boyunca k birim sağa ötelenmesi ile y = f(x – k), k birim sola ötelenmesi ile y = f(x + k) fonksiyonu oluşur. Yatayda işaret sezginin tersidir: eksi sağa, artı sola taşır.
y = k · f(x): k > 1 dikey gerilme, 0 < k < 1 dikey büzülme;
kökler yerinde kalır.
y = f(k · x): k > 1 ⇒ grafik y eksenine doğru yatay olarak
daralır, 0 < k < 1 ⇒ y ekseninden yatay olarak açılır; y eksenini kestiği nokta yerinde kalır.