Üç Bilgi Yeter,
Parabol
Bulunur
Tepe noktası ile bir nokta, iki kök ile bir nokta ya da herhangi üç nokta — bunlardan biri verildiğinde parabolün denklemi tek bir şekilde yazılır. Sonra aynı düzleme bir doğru koyup kaç noktada kesiştiklerine bakacak, en sonunda “en fazla alan”, “en yüksek gelir” tipi soruları tepe noktasıyla çözeceğiz.
Bir parabolü belirlemek için üç bilinmeyen (a, b, c) bulunmalıdır. Verilen bilgiler ne kadar “hazır”sa o kadar az işlem yaparsın: tepe noktası ya da kökler verilmişse iki bilinmeyen zaten bilinir hâle gelir, geriye sadece a kalır.
Parabolün tepe noktası T(r, k) ve geçtiği bir A noktasının koordinatları verildiğinde f(x) = a · (x – r)² + k fonksiyonunun tepe noktasının koordinatları verildiğinden, A noktasının koordinatları yerine yazılarak a değeri bulunur ve parabolün denklemi yazılır.
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar x₁ ve x₂ ile geçtiği A noktasının koordinatları verildiğinde f(x) = a · (x – x₁) · (x – x₂) fonksiyonunda A noktasının koordinatları yerine yazılarak a değeri bulunur ve parabolün denklemi yazılır.
Tepe noktası ve x eksenini kestiği noktalar dışında geçtiği herhangi üç nokta verildiğinde, verilen noktalar fonksiyonu sağlayacağı için fonksiyonda yerine yazılarak üç bilinmeyenli üç denklem elde edilir; yok etme veya yerine koyma metodu kullanılarak fonksiyonun denklemi bulunur.
| Verilen | Kullanılacak biçim | Kalan bilinmeyen | Kaç nokta gerekir? |
|---|---|---|---|
| Tepe noktası T(r, k) | a(x – r)² + k | yalnız a | 1 ek nokta |
| Kökler x₁, x₂ | a(x – x₁)(x – x₂) | yalnız a | 1 ek nokta |
| Rastgele noktalar | ax² + bx + c | a, b, c | 3 nokta |
Ders kitabında geçmeyen ama doğrudan bu tablodan çıkan bir kontrol: bir parabolü belirlemek için her zaman üç bağımsız bilgi gerekir. Tepe noktası aslında iki bilgi (r ve k) taşıdığı için yanına tek bir nokta yeter; iki kök de iki bilgidir, yine tek nokta yeter.
f(x) = a(x – r)² + k biçiminde parantezin içindeki sayı tepe noktasının apsisinin ters işaretlisi gibi görünür. f(x) = 2(x + 3)² – 1 parabolünün tepe noktası (3, –1) değil, (–3, –1)’dir; çünkü x + 3 = x – (–3) demektir. Aynı şekilde f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) biçiminde f(x) = 2(x + 1)(x – 4) parabolünün kökleri –1 ve 4’tür.
f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusu verilmiş olsun. (x, y) noktası parabol ve doğrunun ortak noktası ise nokta her iki denklemi sağlamalıdır. Bu yüzden iki denklem eşitlenir ve elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantına bakılır.
Bu denklemin diskriminantı Δ = (b – m)² – 4a(c – n)’dir. Dikkat: parabolün kendi diskriminantı değil, eşitlemeden çıkan yeni denklemin diskriminantı kullanılır.
Parabol ile doğru kesişmez. Ortak noktaları yoktur; doğru parabolün tamamen bir tarafında kalır.
Parabol ile doğru yalnız bir noktada kesişir. Doğru parabole teğettir. Teğetlik sorularının anahtar şartı budur.
Parabol ile doğru farklı iki noktada kesişir. Kesim noktalarının apsisleri, eşitlemeden çıkan denklemin iki köküdür.
Bir parabolün dışındaki bir doğruya en yakın noktasını bulmak için verilen doğruya paralel ve parabole teğet bir doğru çizilerek çizilen doğru ile parabolün ortak noktalarının koordinatları bulunur.
Uygulaması şu sırayla olur: (1) verilen doğrunun eğimi m okunur; (2) y = mx + n biçiminde aynı eğimli bir doğru yazılır; (3) parabole teğet olması için Δ = 0 yazılıp n bulunur; (4) o denklemin tek kökü, aranan en yakın noktanın apsisidir. Kaydırakta m’yi sabit tutup n’yi oynatırsan teğetliğin tam olarak tek bir n değerinde sağlandığını görürsün.
Çok sorulan iki durum tek satırlık sonuçlara iner. İkisinde de bakılan şey parabolün kendi denkleminin diskriminantıdır.
f(x) = ax² + bx + c parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik ise ax² + bx + c = 0 denklemi için Δ = –1 olur.
Nedeni kısaca şu: orijinden geçen teğet y = mx biçimindedir. Teğetlik şartı ax² + (b – m)x + c = 0 denkleminin diskriminantının sıfır olmasıdır; bu, m için ikinci dereceden bir denklem verir. İki teğetin dik olması m₁ · m₂ = –1 demektir ve bu koşul sadeleştirildiğinde b² – 4ac = –1 çıkar.
f(x) = ax² + bx + c parabolüne, parabolün x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler birbirine dik ise ax² + bx + c = 0 denklemi için Δ = 1 olur.
Bu durumda teğetler köklerin bulunduğu noktalarda parabole değer. İki teğetin eğimleri çarpımı –1 yapıldığında sonuç yine tek bir sayıya iner: b² – 4ac = 1. İki sonucun tek farkı işarettir; karıştırmamak için “orijin → –1, kökler → +1” diye tut.
Bu ünitede iki ayrı diskriminant kullanılıyor ve karıştırılması çok kolay:
1) Parabol-doğru kesişiminde bakılan Δ, eşitlemeden çıkan
ax² + (b – m)x + (c – n) = 0 denkleminin diskriminantıdır; doğrunun
m ve n değerlerine bağlıdır.
2) Dik teğet sonuçlarında bakılan Δ ise parabolün kendi denkleminin,
yani ax² + bx + c = 0’ın diskriminantıdır; doğruyla ilgisi yoktur.
f(x) = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) ise r = –b/2a ve k = f(r)’dir. Modelleme sorularında aranan “en büyük değer” ya da “en küçük değer” her zaman k, bunun hangi x’te alındığı ise r’dir.
f(x) = ax² + bx + c parabolünde a > 0 ise en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Maliyet, süre, malzeme gibi “en aza indirilecek” büyüklükler böyle modellenir. Asma köprülerin ana direkleri arasındaki halatlar a > 0 olan parabollere örnektir.
f(x) = ax² + bx + c parabolünde a < 0 ise en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Alan, gelir, yükseklik gibi “en çoğa çıkarılacak” büyüklükler böyle modellenir. Su kemerlerinin ayakları a < 0 olan parabollere örnektir. Parabollerin günlük hayatta birçok kullanım alanı vardır.
“En fazla ne kadar?” diye soran her problemin arkasında genellikle bir tepe noktası vardır. Aşağıdaki dokuz sahnede de yaptığın şey aynı: fonksiyonu kur, a’nın işaretine bak, r ve k’yı bul.
40 metre telle dikdörtgen bir bostan çevireceksin. Bir kenar x ise diğeri 20 – x olur, alan A(x) = x(20 – x) = –x² + 20x. a = –1 < 0 olduğundan en büyük alan tepe noktasındadır: r = 10, k = 100. Yani kare yapmak en avantajlısı.
Bilet 20 TL iken 200 kişi geliyor; her 1 TL zamda 5 kişi azalıyor. Zam miktarı x ise gelir G(x) = (20 + x)(200 – 5x) = –5x² + 100x + 4000. a = –5 < 0 olduğundan en yüksek gelir r = –100/(2·(–5)) = 10’da, yani bilet 30 TL iken elde edilir: G(10) = 4500 TL.
Basketbol topunun yüksekliği h(t) = –5t² + 8t + 2 gibi bir fonksiyonla modellenir. Topun en yükseğe çıktığı an t = –8/(2·(–5)) = 0,8 sn; yere düştüğü an ise fonksiyonun pozitif köküdür.
Bir asma köprünün halatının fotoğrafına iki direk ucu ile en alçak nokta düşer. Bu tepe noktası + bir nokta durumudur: f(x) = a(x – r)² + k yazıp direk ucunu yerine koyarak a bulunur, halatın denklemi çıkar.
Açılı atış oyunlarında merminin yörüngesi paraboldür; hedefin bulunduğu yatay çizgi ise bir doğru. Vurup vuramayacağını Δ belirler: Δ > 0 ise iki noktada kesişir, Δ = 0 ise tam sıyırır (teğet), Δ < 0 ise mermi hedefe hiç ulaşmaz.
Rampanın kesiti a > 0 olan bir paraboldür; en alçak nokta tepe noktasıdır. Rampanın iki ucunun yüksekliği eşitse en dip nokta tam ortadadır, çünkü simetri ekseni iki uca eşit uzaklıktadır.
Su tabancasından çıkan suyun izlediği yol parabolüdür. “Su en fazla kaç metre uzağa gidiyor?” sorusu kökler arasındaki uzaklığı, “en yükseğe ne kadar çıkıyor?” sorusu ise tepe noktasının ordinatını sorar.
Kulüp afişini az bastırırsan birim maliyet yüksek, çok bastırırsan elinde kalır. Toplam maliyet a > 0 olan bir parabolle modellenirse en ucuz baskı adedi tepe noktasının apsisidir.
İki elin arasında sarkan ip a > 0 olan bir parabole benzer. Elini yukarı kaldırdıkça tepe noktası yer değiştirir ama kolların açıklığı (yani a) değişmediği sürece eğrinin şekli aynı kalır.
42 soruluk test · tepe noktası/kökler/üç noktadan parabol denklemi yazma, parabol ile doğrunun durumları, dik teğet sonuçları ve ikinci dereceden fonksiyonlarla modelleme
Tepe noktası T(r, k) ve geçtiği bir A noktası verilirse f(x) = a(x – r)² + k yazılır; A’nın koordinatları yerine konarak a bulunur ve denklem tamamlanır.
x eksenini kestiği noktalar x₁, x₂ ve geçtiği bir A noktası verilirse f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) yazılır; A’nın koordinatları yerine konarak a bulunur.
Tepe noktası ve kökler dışında herhangi üç nokta verilirse noktalar f(x) = ax² + bx + c’de yerine yazılır; üç bilinmeyenli üç denklem yok etme ya da yerine koyma metoduyla çözülür.
İki denklem eşitlenir: ax² + (b – m)x + (c – n) = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ olmak üzere Δ < 0 kesişmez, Δ = 0 yalnız bir noktada kesişir (teğet), Δ > 0 farklı iki noktada kesişir.
Parabolün dışındaki bir doğruya en yakın noktası için, o doğruya paralel ve parabole teğet bir doğru çizilip ortak noktanın koordinatları bulunur. Parabole orijinden çizilen teğetler dik ise ax² + bx + c = 0 için Δ = –1; parabolün x eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetler dik ise Δ = 1 olur.
Tepe noktası T(r, k) için r = –b/2a ve k = f(r). a > 0 ise en küçük değer, a < 0 ise en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır. Asma köprü halatları a > 0, su kemeri ayakları a < 0 olan parabollere örnektir.