Üç Katsayı,
Bir Eğri
Parabol
a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax² + bx + c şeklindeki fonksiyona ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon, grafiğine parabol denir. a kolların yönünü, b ile a birlikte tepe noktasını, c ise y eksenini kestiği noktayı belirler. Bu ünitede üç katsayıdan grafiğin tamamını çıkarmayı öğreneceğiz.
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere gerçek sayılar kümesinde tanımlı, f(x) = ax² + bx + c şeklindeki fonksiyona ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir. f = {(x, y): y = ax² + bx + c} kümesinin elemanları olan (x, y) ikililerine analitik düzlemde karşılık gelen noktaların oluşturduğu grafiğe parabol denir.
a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğrudur. Parabolün en küçük değeri vardır, en büyük değeri yoktur. Bardak gibi düşün: içine su konabilir.
a < 0 ise grafiğin kolları aşağı doğrudur. Parabolün en büyük değeri vardır, en küçük değeri yoktur. Havaya atılan topun yörüngesi böyledir.
İpucu: f(x) = ax² parabolünün kolları, |a| arttıkça birbirine yaklaşır. Yani parabol daralır, dikleşir. |a| küçüldükçe kollar açılır, parabol yayvanlaşır.
Tanımın en kritik şartı a ≠ 0’dır. a = 0 konursa fonksiyon f(x) = bx + c hâline gelir; bu bir doğrusal fonksiyondur, grafiği parabol değil doğrudur. “m parametresi için f(x) = (m – 3)x² + 2x + 1 ikinci dereceden fonksiyondur” diyen sorularda ilk yazılacak şart m – 3 ≠ 0, yani m ≠ 3’tür. Laboratuvarda a kaydırağını 0’a getir: eğri düzleşip doğruya dönüşüyor.
Bir parabolün artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçtiği noktasına tepe noktası denir. Tepe noktasının koordinatları T(r, k) olarak isimlendirilir ve x = r doğrusuna parabolün simetri ekseni denir.
Sınavda en pratik yol: önce r = –b/2a hesaplanır, sonra bu değer fonksiyonda yerine yazılıp k = f(r) bulunur. İkinci formülü ezberlemek şart değil; ama hazır sonucu (4ac – b²)/4a biçimindedir.
Parabolün en büyük ya da en küçük değeri k’dir. a > 0 ise k en küçük (minimum) değerdir; a < 0 ise k en büyük (maksimum) değerdir. Hangisi olduğu tamamen a’nın işaretine bakılarak söylenir.
f: ℝ → ℝ tanımlı bir parabolün görüntü kümesi tepe noktasının ordinatından başlar: a > 0 için [k, ∞), a < 0 için (–∞, k]. “En büyük ya da en küçük değer k’dir” denmesi bu sonucun sebebidir; aralık gösterimi bunun doğrudan yazılışıdır.
Parabol, x = r düşey doğrusuna göre simetriktir. Bunun iki pratik sonucu vardır: (1) simetri ekseninden eşit uzaklıktaki iki x değerinde fonksiyon aynı değeri alır, yani f(r – d) = f(r + d); (2) parabolün x eksenini kestiği iki nokta varsa tepe noktasının apsisi bu iki kökün tam ortasıdır: r = (x₁ + x₂)/2. Üstteki kaydırakla d’yi değiştirdiğinde iki noktanın ordinatının hep eşit kaldığını görebilirsin.
a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Kaç kök olduğuna tek bir sayı karar verir: diskriminant.
Kökler bu iki formülle bulunur. Kökler birbirinden yalnız karekökün işaretiyle ayrılır; bu yüzden ikisinin ortalaması –b/2a, yani tepe noktasının apsisidir.
Denklemin gerçek kökü yoktur ve parabol x eksenini kesmez. Parabol tamamen eksenin üstünde (a > 0) ya da tamamen altında (a < 0) kalır.
Denklemin eşit iki kökü vardır ve parabol x eksenine teğettir. Teğet olduğu nokta aynı zamanda tepe noktasıdır: T(–b/2a, 0).
Denklemin iki farklı reel kökü vardır ve parabol x eksenini iki noktada keser. İki kesim noktasının ortası simetri eksenidir.
| Bağıntı | Değeri | Nereden geliyor? |
|---|---|---|
| Kökler toplamı x₁ + x₂ | –b/a | İki kök formülü toplanınca karekökler sadeleşir. |
| Kökler çarpımı x₁ · x₂ | c/a | İki kök formülü çarpılınca iki kare farkı çıkar. |
| Tepe noktasının apsisi r | (x₁ + x₂)/2 = –b/2a | Kökler simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğu için. |
Bu üç satır kök formüllerinden ve simetri özelliğinden doğrudan çıkar; kökleri hesaplamadan tepe noktasını bulmak için çok işe yarar.
Δ < 0 iken denklemin gerçek kökü yoktur; parabol x eksenini kesmez. Bu, fonksiyonun tanımsız olduğu anlamına gelmez — fonksiyon her x için bir değer üretmeye devam eder, sadece o değerlerin hiçbiri sıfır değildir. İkinci tuzak: parabol y eksenini her hâlükârda keser, çünkü x = 0 için f(0) = c her zaman tanımlıdır.
f(x) = ax² + bx + c ifadesi iki farklı biçime dönüştürülür. Hangi bilgilerin elinde olduğuna göre hangisini kullanacağın değişir; üçü de aynı parabolü anlatır.
c doğrudan y kesişimini verir. Tepe noktası için r = –b/2a hesaplanır.
Tepe noktası T(r, k) ise parabol bu biçimde yazılır. Tepe noktası çıplak gözle okunur; işaretlere dikkat: (x – r)² içindeki r’nin işareti terstir.
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise parabol bu biçimde yazılır. Kökler çıplak gözle okunur.
Dönüşüm adım adım şöyle yapılır. a parantezine alıp tam kareye tamamlıyoruz:
Kök biçimi ise kökler toplamı ve çarpımından çıkar: x₁ + x₂ = –b/a ve x₁ · x₂ = c/a konursa f(x) = a · (x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂) = a(x – x₁)(x – x₂) elde edilir.
| Elimizdeki bilgi | Kullanılacak biçim | İlk adım |
|---|---|---|
| a, b, c katsayıları | Genel biçim | c ile y kesişimini yaz, r = –b/2a hesapla |
| Tepe noktası T(r, k) | f(x) = a(x – r)² + k | r ve k’yı yerine koy, a’yı bilinmeyen bırak |
| Kökler x₁ ve x₂ | f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) | Kökleri yerine koy, a’yı bilinmeyen bırak |
Havaya atılan her şey, akan her su fışkırtısı, gerilen her halat parabol çizer. Tepe noktası da hep aynı soruyu cevaplar: “en yüksek/en düşük ne zaman ve ne kadar?”
Topun yüksekliği zamanın ikinci dereceden fonksiyonudur ve a < 0’dır. Topun en yüksek noktaya çıktığı an tepe noktasının apsisi, o yükseklik ise ordinatıdır. Yere düştüğü an ise fonksiyonun köküdür.
Asma köprülerin ana direkleri arasındaki halatlar a > 0 olan parabollere örnektir. Halatın en aşağı sarktığı yer tepe noktası, yani minimum değerin alındığı noktadır.
Su kemerlerinin ayakları a < 0 olan parabollere örnektir. Kemerin en tepesi maksimum değerdir; ayakların yere değdiği iki nokta ise köklerdir.
Çeşmeden fışkıran su kolları aşağı bakan bir parabol çizer. Fışkırma açısını değiştirince tepe noktası yatayda kayar (b değişir); basıncı artırınca su daha yükseğe çıkar.
Çanak antenin ve el fenerinin aynası parabol kesitlidir. |a| büyüdükçe kollar birbirine yaklaşır, çanak derinleşir; küçüldükçe yayvanlaşır. Laboratuvarda a kaydırağını oynatınca aynı şeyi görürsün.
Açılı atış yapılan mobil oyunlarda mermi parabol izler. Nişan alırken aslında parabolün kökünü hedefin apsisine eşitlemeye çalışırsın.
Elindeki tel uzunluğu sabitken dikdörtgen bir alan çevirirsen, alan bir kenarın ikinci dereceden fonksiyonudur ve a < 0’dır. En büyük alan tepe noktasında çıkar.
Okul kermesinde bileti pahalı yaparsan az satarsın, ucuz yaparsan geliri düşer. Gelir = fiyat × satış çarpımı ikinci dereceden çıkar ve en yüksek gelir tepe noktasındadır.
İki direk arasına gerilmiş bir ip ya da salıncağın zinciri aşağı sarkar: a > 0 olan parabol. İki ucun yüksekliği eşitse en alçak nokta tam ortadadır — çünkü simetri ekseni iki uca eşit uzaklıktadır.
44 soruluk test · ikinci dereceden fonksiyon, kolların yönü, tepe noktası ve simetri ekseni, görüntü kümesi, diskriminant ve parabolün grafik çizimi
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ olmak üzere f(x) = ax² + bx + c fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon, grafiğine parabol denir.
a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise kollar aşağı doğrudur. |a| arttıkça kollar birbirine yaklaşır (parabol daralır).
Parabolün artanlıktan azalanlığa (ya da tersine) geçtiği noktaya tepe noktası denir: T(r, k). r = –b/2a, k = f(r) = (4ac – b²)/4a. x = r doğrusu simetri eksenidir. Parabolün en büyük ya da en küçük değeri k’dir; görüntü kümesi a > 0 için [k, ∞), a < 0 için (–∞, k]’dir.
x eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Δ = b² – 4ac olmak üzere x₁ = (–b + √Δ)/2a ve x₂ = (–b – √Δ)/2a. Kökler toplamı –b/a, çarpımı c/a’dır.
Δ < 0: gerçek kök yok, parabol x eksenini kesmez.
Δ = 0: eşit iki kök, parabol x eksenine teğettir.
Δ > 0: iki farklı reel kök, parabol x eksenini iki noktada keser.
Genel: f(x) = ax² + bx + c · Tepe noktası biçimi: f(x) = a(x – r)² + k · Kök biçimi: f(x) = a(x – x₁)(x – x₂). Parabol y eksenini her zaman (0, c) noktasında keser.