Kendini
tekrar eden şekil
Periyot, aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük aralıktır. Sinüs ve kosinüs 2π’de, tanjant ve kotanjant π’de başa döner. Grafiklerini bir kez çizdiğinde geri kalan her şey aynı parçanın kopyasıdır. Sonda da tersine bakacağız: değeri bilinen bir trigonometrik fonksiyondan açıya dönmek.
f(x) fonksiyonunun tanım kümesindeki her x elemanı için f(x) = f(x + T) eşitliğini sağlayan T ∈ ℝ⁺ varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, en küçük T sayısına bu fonksiyonun periyodu denir. Periyot (T) aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük aralıktır. “En küçük” sözcüğü tanımın kalbidir: sinüs için 2π de, 4π de, 6π da eşitliği sağlar; ama periyot bunların en küçüğü olan 2π’dir.
1) T pozitif bir gerçek sayı olmalı. 2) Eşitlik tanım kümesindeki her x için sağlanmalı. Bir tek x değerinde tutması yetmez; grafiğin tamamı T kadar kaydırıldığında kendisiyle çakışmalıdır.
f(x) = f(x + T) eşitliğini sağlayan sonsuz sayıda T bulunabilir; bunların en küçüğü periyottur. Sinüs için 2π, 4π, 6π hepsi eşitliği sağlar ama periyot 2π’dir.
sin x fonksiyonu π kadar kaydırıldığında bazı x’lerde aynı değeri verir gibi görünür (sin 0 = sin π = 0) ama her x için sağlamaz: sin(π/2) = 1 iken sin(3π/2) = –1’dir. Bu yüzden π, sinüsün periyodu değildir.
Birim çemberdeki α açısına 2π’nin katları eklendiğinde sinüs ve kosinüs değerleri değişmez: k ∈ ℤ olmak üzere sin α = sin(α + 2k · π) ve cos α = cos(α + 2k · π). Buna göre sin x ve cos x fonksiyonlarının periyodu 2π’dir. Birim çemberdeki α açısına π’nin katları eklendiğinde tanjant ve kotanjant değerleri değişmez: tan α = tan(α + k · π) ve cot α = cot(α + k · π). Buna göre tan x ve cot x fonksiyonlarının periyodu π’dir.
Sinüs noktanın ordinatı, kosinüs apsisidir. Nokta çemberde tam bir tur atmadan aynı yere dönemez; yarım turda karşı tarafa geçer ve koordinatların işareti değişir. Tam tur 2π olduğu için periyot da 2π’dir.
Tanjant sinüsün kosinüse oranıdır. Yarım tur atıldığında hem sinüs hem kosinüs işaret değiştirir, oran ise aynı kalır. Bu yüzden tanjant ve kotanjant için yarım tur, yani π yeterlidir.
a, b, c ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere sin(ax + b) + c ve cos(ax + b) + c fonksiyonlarının periyodu 2π / |a| olur. tan(ax + b) + c ve cot(ax + b) + c fonksiyonlarının periyodu ise π / |a| olur. Dikkat edilecek nokta şu: b ve c periyodu hiç değiştirmez. b grafiği sağa-sola, c ise yukarı-aşağı kaydırır; tekrar aralığını yalnız x’in katsayısı belirler.
a = 3 olduğundan periyot 2π / 3’tür. Grafik aynı deseni normalden üç kat sık tekrarlar: 0 ile 2π arasına üç tam dalga sığar.
Tanjant için kural π / |a| olduğundan periyot π / 2’dir. İçerideki +1 ve dışarıdaki –5 sonucu hiç etkilemez.
a = –2 için periyot 2π / 2 = π’dir, negatif bir sayı değil. Periyot pozitif bir uzunluk olduğundan a’nın mutlak değeri alınır. (Ders kitabı a ≠ 0 diyor; mutlak değer vurgusu eklendi.)
f: ℝ → [–1, 1], f(x) = sin x fonksiyonunun grafiği {(x, sin x) : x ∈ ℝ} kümesine analitik düzlemde karşılık gelen noktalar kümesidir; aynı biçimde f(x) = cos x için de görüntü kümesi [–1, 1]’dir. Tanjant fonksiyonu ℝ – {(2k + 1) · π/2} kümesinde, kotanjant fonksiyonu ise ℝ – {k · π} kümesinde tanımlıdır ve ikisinin de görüntü kümesi ℝ’dir. Sinüs orijinden başlar, kosinüs tepeden; tanjant ve kotanjant ise tanımsız oldukları noktalarda kopar.
x = –2π, –3π/2, –π, –π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π için sin x sırasıyla 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0 değerlerini; cos x ise 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 1 değerlerini alır. İki tablo birbirinin çeyrek periyot kaymış hâlidir.
Tanjant, (2k + 1) · π/2 noktalarında; kotanjant ise k · π noktalarında tanımsızdır. Grafik bu noktalarda düşey doğrulara sonsuza kadar yaklaşır ama onlara hiç değmez. Her iki fonksiyonun da görüntü kümesi bütün gerçek sayılardır.
Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesi [–π/2, π/2] ve değer kümesi [–1, 1] olarak alınır. O hâlde f: [–π/2, π/2] → [–1, 1], y = f(x) = sin x fonksiyonu bire bir ve örtendir. f⁻¹: [–1, 1] → [–π/2, π/2], f⁻¹(x) = arcsin x fonksiyonuna sinüs fonksiyonunun ters fonksiyonu denir: y = arcsin x ⇔ x = sin y. Tanım kümesini kısıtlamanın sebebi basit: sinüs bütün ℝ üzerinde bire bir değildir, aynı değeri sonsuz kez alır; tersinin tek bir açı vermesi için bir aralık seçilir.
f⁻¹: [–1, 1] → [–π/2, π/2], f⁻¹(x) = arcsin x. y = arcsin x ⇔ x = sin y. Tanım kümesi [–1, 1] olduğu için arcsin 2 gibi bir değer yoktur.
Kosinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesi [0, π] ve değer kümesi [–1, 1] alınır; f⁻¹: [–1, 1] → [0, π], f⁻¹(x) = arccos x. y = arccos x ⇔ x = cos y.
Tanjant fonksiyonunun bire bir ve örten olabilmesi için tanım kümesi (–π/2, π/2) alınır; f⁻¹: ℝ → (–π/2, π/2), f⁻¹(x) = arctan x. y = arctan x ⇔ x = tan y. Tanjantın görüntü kümesi ℝ olduğu için arctan her gerçek sayı için tanımlıdır.
f⁻¹ gösterimindeki –1 üssü ters fonksiyonu anlatır, çarpmaya göre tersi değil. sin x’in çarpmaya göre tersi cosec x’tir; arcsin x ise bir açı verir. arcsin(1/2) = π/6 iken cosec(π/6) = 2’dir — iki bambaşka sayı.
Periyot, “ne kadar sonra aynı şey oluyor” sorusunun cevabıdır. Aşağıdaki sahnelerin hepsinde bir tekrar aralığı var.
Haftalık ders programın 7 günde bir tekrar eder; periyodu 7 gündür. 14 gün de tekrar eder ama periyot en küçüğüdür — tam olarak matematiksel tanımdaki gibi.
Bir nota ne kadar “ince” ise ses dalgası o kadar sık tekrar eder. Sık tekrar demek küçük periyot, yani sin(ax) içindeki a’nın büyük olması demektir.
Salıncak aynı noktaya aynı yönde dönene kadar geçen süre periyottur. Yükseklik-zaman grafiği sinüs eğrisine benzer ve her tur aynı şekli tekrarlar.
120 Hz ekran, saniyede 120 kez yenilenir; periyodu 1/120 saniyedir. Frekans arttıkça periyot küçülür — a büyüdükçe 2π/|a| küçülmesi ile aynı ilişki.
Kaykay rampasının yüksekliği ile uzunluğunun oranını biliyorsan açıyı arctan verir. Değerden açıya dönmek tam olarak ters fonksiyonun işidir.
Gündüz süresi yıl boyunca uzayıp kısalır ve her yıl aynı deseni tekrarlar. Periyodu 365 gündür; sinüs benzeri bir fonksiyonla modellenir.
Bir düğmenin parlaklığı yavaşça artıp azalıyorsa arkasında c + sin(ax) biçiminde bir fonksiyon vardır: c ortalama parlaklık, a hızdır.
Dönme dolapta yüksekliğin zamana göre grafiği bir kosinüs eğrisidir. Dolap hızlanırsa grafiğin şekli değişmez, yalnız sıklaşır: periyot küçülür.
Boyun ve gölgenin uzunluğu belliyse güneşin açısını hesap makinesindeki arctan tuşu verir. Makinedeki “tan⁻¹” yazısı, çarpmaya göre ters değil ters fonksiyon demektir.
40 soruluk test · periyodun tanımı, sin-cos için 2π ve tan-cot için π, sin(ax+b)+c biçiminde periyot hesabı, dört grafiğin tanım ve görüntü kümeleri, arcsin-arccos-arctan
Tanım kümesindeki her x için f(x) = f(x + T) eşitliğini sağlayan T ∈ ℝ⁺ varsa f periyodiktir; en küçük T periyottur. Periyot, aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük aralıktır.
sin(α + 2kπ) = sin α ve cos(α + 2kπ) = cos α olduğundan sin x ile cos x’in periyodu 2π; tan(α + kπ) = tan α ve cot(α + kπ) = cot α olduğundan tan x ile cot x’in periyodu π’dir.
sin(ax + b) + c ve cos(ax + b) + c için periyot 2π / |a|, tan(ax + b) + c ve cot(ax + b) + c için π / |a|’dır (a ≠ 0). b ve c periyodu değiştirmez; yalnız grafiği kaydırır.
sin x ve cos x için görüntü kümesi [–1, 1]’dir. tan x, ℝ – {(2k + 1)·π/2} kümesinde; cot x, ℝ – {k · π} kümesinde tanımlıdır ve ikisinin de görüntü kümesi ℝ’dir.
arcsin: [–1, 1] → [–π/2, π/2] · arccos: [–1, 1] → [0, π] · arctan: ℝ → (–π/2, π/2). Her biri, ilgili fonksiyon bire bir ve örten olacak şekilde kısıtlandıktan sonra tanımlanır.
Periyodu “bir tekrar” sanıp en küçüğünü aramamak; b ya da c’nin periyodu değiştirdiğini sanmak; arcsin x ile 1/sin x’i karıştırmak. Üçü de tanımın kendisine dönülünce çözülür.