İki açıyı
birleştirmek
cos(α + β), cos α ile cos β’nin toplamı değildir. İki açının toplamının trigonometrik değeri, dört ayrı çarpımın toplanmasıyla bulunur: cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β. Bu ünitede dört formülün nereden geldiğini ve 75° gibi “tablo dışı” açıları nasıl hesaplattığını göreceğiz.
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β kosinüs toplam formülüdür. Bu eşitlikte β yerine –β yazıldığında cos(–β) = cos β ve sin(–β) = –sin β olduğundan cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β kosinüs fark formülü elde edilir. Dikkat edilecek nokta: toplamda eksi, farkta artı çıkar. Kosinüs formülünde işaret soldakinin tersidir; sinüste ise aynısıdır.
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
İki kosinüsün çarpımından iki sinüsün çarpımı çıkarılır. Formülde dört terim vardır ama
sonuç tek sayıdır.
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Toplam formülünde β yerine –β yazmak yeterlidir: kosinüs çift, sinüs tek fonksiyon gibi
davrandığı için yalnız ikinci terimin işareti döner.
α = 60°, β = 30° alalım: cos 90° = 0 iken cos 60° + cos 30° = 1/2 + √3/2 ≈ 1,37’dir. Trigonometrik fonksiyonlar toplamı toplama dağıtmaz. Canvas’taki üçüncü çubuk tam olarak bu yanlışı gösteriyor.
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β formülünde α yerine π/2 – α yazıldığında cos(π/2 – α) = sin α ve sin(π/2 – α) = cos α olduğundan sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β sinüs fark formülü elde edilir. Bu eşitlikte β yerine –β yazıldığında ise sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sinüs toplam formülü elde edilir. Sinüs formülünde soldaki işaret sağa aynen geçer: toplamda artı, farkta eksi.
Tepe açısı α + β olan üçgende A köşesine göre kosinüs teoremi uygulanır: (x + y)² = b² + c² – 2·b·c·cos(α + β). Tepe noktasından tabana inen dikme h, tabanı x ve y parçalarına ayırır.
h = c · cos α, x = c · sin α, h = b · cos β ve y = b · sin β olduğundan 2·b·c·cos(α + β) = 2h² – 2xy elde edilir. Her iki taraf 2·b·c’ye bölündüğünde cos(α + β) = (h/c)·(h/b) – (x/c)·(y/b), yani cos α · cos β – sin α · sin β çıkar.
tan(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β) yazılıp pay ve payda cos α · cos β ifadesine bölündüğünde tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α · tan β) tanjant toplam formülü elde edilir. Bu formülde β yerine –β yazıldığında tan(α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α · tan β) tanjant fark formülü bulunur. Aynı yol kotanjant için de izlenir; orada bölme sin α · sin β ile yapılır.
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α · tan β)
tan(α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α · tan β)
Payda tanjantların çarpımı vardır; paydadaki işaret paydakinin tersidir.
cot(α + β) = (cot α · cot β – 1) / (cot α + cot β)
cot(α – β) = (cot α · cot β + 1) / (cot β – cot α)
Kotanjantta çarpım payda değil paydadır; yapı tanjantın ters çevrilmiş hâlidir.
α = β = 45° için tan α · tan β = 1 olur ve tanjant toplam formülünün paydası sıfırlanır. Bu bir hata değil, doğru sonucun kendisidir: tan 90° tanımsızdır. Formül, tanımsızlığı payda sıfırlanarak haber verir. (Bu yorum ders kitabında yazmıyor, formülün doğrudan sonucudur.)
Elimizde 30°, 45° ve 60°’nin değerleri var. Toplam-fark formülleri bu üç açıyı toplayıp çıkararak 15°, 75°, 105° gibi açıların tam değerini verir — hesap makinesine gerek kalmadan, kök içinde kesin sonuçla.
75° = 45° + 30° yazılır:
sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30° =
(√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) =
(√6 + √2) / 4
15° = 45° – 30° yazılır:
cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30° =
(√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) =
(√6 + √2) / 4
Yani cos 15° = sin 75°; ikisi tümler açıdır.
tan 75° = (tan 45° + tan 30°) / (1 – tan 45°·tan 30°) =
(1 + √3/3) / (1 – √3/3) =
2 + √3
Toplam-fark formüllerinin işi şu: peş peşe yapılan iki dönüşün ya da üst üste binen iki dalganın sonucunu tek ifadeyle yazmak.
Karakteri önce 30°, sonra 45° döndürdüğünde toplam yön 75° olur. Oyun motoru yeni yönün kosinüsünü cos 30°·cos 45° – sin 30°·sin 45° ile hesaplar; açıyı yeniden ölçmez.
Aynı notayı çalan iki hoparlörün sesleri üst üste binerken toplam-fark formülleri devreye girer. Aralarındaki faz farkı sesin büyümesine ya da sönmesine karar verir.
30°’lik rampanın altına 15°’lik bir kama koyarsan eğim 45° olur. Yeni eğimin tanjantını tan(30° + 15°) formülü verir — iki tanjantı toplamak yanlış olurdu.
Bir fotoğrafı parmakla çevirirken uygulama her karede noktaları yeni açıya taşır. Kullandığı dönüşüm satırları tam olarak sinüs ve kosinüs toplam formülleridir.
İki kolun arasındaki açı, ikisinin ayrı ayrı döndüğü açıların farkıdır. Aradaki açının kosinüsü fark formülüyle tek adımda yazılır.
Top önce bir yöne, sonra başka bir yöne gidiyorsa toplam yer değiştirmenin yönü iki açının birleşimidir. Açılar toplanır, değerleri toplanmaz.
Panel gün içinde belli açılarla döner. Yeni konumdaki verim cos(α + β) ile hesaplanır; ikinci dönüşün etkisi birincisiyle çarpım hâlinde girer.
Peş peşe iki yarım dönüş bir tam dönüş eder. Açıların toplanması sezgiseldir; sinüs değerlerinin toplanmaması ise tam da bu ünitenin konusu.
İki sokak arasındaki dönüş açılarını bilen uygulama, varış yönünü tek hesapla bulur. Her dönüşü ayrı ayrı çizmek yerine açıları birleştirir.
40 soruluk test · sekiz toplam-fark formülü, kosinüs teoreminden ispat, tanjant ve kotanjant formüllerinin türetilmesi, 15° ve 75° gibi açıların tam değerleri
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
İşaret soldakinin tersidir.
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
İşaret soldakiyle aynıdır.
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α · tan β)
tan(α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α · tan β)
cot(α + β) = (cot α · cot β – 1) / (cot α + cot β)
cot(α – β) = (cot α · cot β + 1) / (cot β – cot α)
Kosinüs toplam formülü kosinüs teoreminden gelir; β yerine –β yazınca fark formülü çıkar. α yerine π/2 – α yazılınca sinüs formülleri, sinüsü kosinüse bölünce de tanjant formülleri elde edilir.
cos(α + β), cos α + cos β değildir. Tanjant formülünde payda sıfırlanıyorsa sonuç tanımsızdır — hata değil, doğru cevabın kendisi (tan 90°).