Aynı formül,
β yerine α
İki kat açı formüllerinin hepsi, bir önceki ünitenin toplam formüllerinde β yerine α yazılarak elde edilir. sin 2α = 2 · sin α · cos α tek satırda çıkar; kosinüsün ise üç ayrı yüzü vardır ve soruda elinde ne varsa ona göre seçilir. Bu ünitede üç yüzün neden aynı sayı olduğunu göreceğiz.
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β şeklinde bilinen sinüs toplam formülünde β yerine α yazılsın. Buna göre sin(α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α ⇒ sin 2α = 2 · sin α · cos α şeklinde sinüs iki kat açı formülü elde edilir. Aynı iki terim toplandığı için sonuçta 2 çarpanı ortaya çıkar. Formülün tersten okunuşu da en az kendisi kadar işe yarar: sin α · cos α gördüğün yere (1/2)·sin 2α yazabilirsin.
sin(α + α) = sin α·cos α + cos α·sin α = 2·sin α·cos α
İki terim birbirinin aynısı olduğu için toplamları, birinin iki katıdır.
Soruda 2·sin 15°·cos 15° görürsen bu sin 30° = 1/2’dir. İki kat açı formülleri en çok bu yönde, yani sadeleştirme için kullanılır.
α = 30° için sin 60° = √3/2 ≈ 0,87 iken 2·sin 30° = 1’dir. Açının iki katı, değerin iki katı demek değildir. Formülde kosinüs çarpanı bulunmasının sebebi tam olarak budur.
Kosinüs toplam formülünde β yerine α yazıldığında cos 2α = cos²α – sin²α elde edilir. sin²α + cos²α = 1 eşitliğinden cos²α = 1 – sin²α ve sin²α = 1 – cos²α olduğundan, bunlar yerine konulduğunda cos 2α = 1 – 2sin²α ve cos 2α = 2cos²α – 1 eşitlikleri bulunur. Üçü de aynı sayıyı verir; hangisini seçeceğine elinde hangi değerin bulunduğu karar verir. Yalnız sinüs biliniyorsa 1 – 2sin²α, yalnız kosinüs biliniyorsa 2cos²α – 1 en kısa yoldur.
Doğrudan toplam formülünden gelen hâli. İki kare farkı olduğu için çarpanlara ayrılabilir: cos 2α = (cos α – sin α)·(cos α + sin α).
İçinde yalnız sinüs var. cos 2α = (1 – √2·sin α)·(1 + √2·sin α) biçiminde de yazılabilir; bu çarpanlara ayırma da geçerlidir.
İçinde yalnız kosinüs var. Çarpanlara ayrılmış hâli cos 2α = (√2·cos α – 1)·(√2·cos α + 1)’dir.
tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α · tan β) formülünde β yerine α yazıldığında tan 2α = 2·tan α / (1 – tan²α) elde edilir. Kotanjant toplam formülünde de β yerine α yazıldığında cot 2α = (cot²α – 1) / (2·cot α) bulunur. Tanjant formülünün paydasında iki kare farkı vardır: tan 2α = 2·tan α / [(1 – tan α)·(1 + tan α)]. Aynı biçimde cot 2α = (cot α – 1)·(cot α + 1) / (2·cot α) yazılabilir.
tan 2α ifadesi doğrudan sin 2α / cos 2α olarak da yazılabilir. Pay ve payda cos²α’ya bölündüğünde (2·sin α·cos α) / (cos²α – sin²α) ifadesi yine 2·tan α / (1 – tan²α) hâline gelir. Bu ikinci yol da geçerlidir.
α = 45° iken tan α = 1 olur ve payda 1 – 1 = 0 çıkar. Bu bir hesap hatası değildir: 2α = 90° ve tan 90° gerçekten tanımsızdır. Formül, tanımsızlığı paydayı sıfırlayarak haber verir.
Herhangi bir α açısı için (sin α + cos α)² = sin²α + 2·sin α·cos α + cos²α açılımının sağlandığı bilinmektedir. Burada sin²α + cos²α = 1 ve sin 2α = 2·sin α·cos α olduğundan (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α eşitliği elde edilir. Benzer şekilde (sin α – cos α)² = 1 – sin 2α eşitliği sağlanır. İki eşitlik birlikte şunu söyler: bu iki karenin toplamı her açı için tam olarak 2’dir — sin 2α terimleri birbirini götürür.
cos 2α = (cos α – sin α)·(cos α + sin α)
cos 2α = (1 – √2·sin α)·(1 + √2·sin α)
cos 2α = (√2·cos α – 1)·(√2·cos α + 1)
Üçü de kosinüsün üç yazılışına iki kare farkı uygulanarak bulunur.
tan 2α = 2·tan α / [(1 – tan α)·(1 + tan α)]
cot 2α = (cot α – 1)·(cot α + 1) / (2·cot α)
Paydadaki (ya da paydaki) ifade yine bir iki kare farkıdır.
(sin α + cos α)² + (sin α – cos α)² = (1 + sin 2α) + (1 – sin 2α) = 2. Bu toplam konu özetinde ayrıca yazmıyor; iki eşitliğin doğrudan sonucudur ve sınavda hızlı denetim sağlar.
İki kat açı formülleri, aynı şeyin iki katına çıktığı her yerde karşına çıkar: menzil, dönüş, yansıma, ışık.
Bir topun havada gittiği yatay mesafe sin 2α ile orantılıdır. sin 2α en büyük değerini 2α = 90°, yani α = 45°’de aldığı için en uzun atış 45° ile yapılır.
sin 60° = sin 120° olduğu için 30° ve 60° ile atılan top aynı uzaklığa düşer. Sadece biri daha yüksekten, öbürü daha düz gider — sahada gördüğün şeyin formülü budur.
Top bantla α açısı yaparak çarpıp yine α ile ayrılır; giriş yönü ile çıkış yönü arasındaki açı 2α’dır. Toplam sapmayı hesaplamak iki kat açı işidir.
90°’lik iki dönüş bir 180 eder. Yeni yönün kosinüsünü hesaplamak için cos 2α’nın üç yazılışından en uygunu seçilir.
Bir teli tam ortasından bastırırsan frekans iki katına çıkar ve bir oktav tiz ses duyarsın. Dalganın açısı iki katına çıktığında sesin de karakteri değişir.
İki aynayı aralarında α açısı olacak şekilde koyarsan görüntün 2α kadar döner. Kuaförde arkanı gösteren ayna tam olarak bu ilkeyle çalışır.
Bir nesneyi her karede aynı açı kadar döndüren kod, iki kare sonraki konumu 2·sin α·cos α gibi ifadelerle hesaplar — açıyı yeniden ölçmek yerine formülü kullanır.
İki eğik çatı yüzeyinin arasındaki açı, tek yüzeyin eğiminin iki katıdır. Ustanın “tepe açısı” dediği şey bu 2α’dır.
Su yüzeyine α açısıyla gelen ışık, aynı açıyla ayrılır; gözüne ulaşan ışının yönü gelen ışınla 2α açısı yapar. Parlamanın nerede göründüğünü bu belirler.
40 soruluk test · sin 2α = 2·sinα·cosα, cos 2α’nın üç yazılışı, tanjant ve kotanjant iki kat açı formülleri, (sinα ± cosα)² açılımları ve iki kare farkı çarpanları
sin 2α = 2 · sin α · cos α
cos 2α = cos²α – sin²α
cos 2α = 1 – 2sin²α
cos 2α = 2cos²α – 1
Toplam formüllerinde β yerine α yazılır. Kosinüsün öteki iki yüzü, sin²α + cos²α = 1 eşitliğinden gelen cos²α = 1 – sin²α ve sin²α = 1 – cos²α yerine konarak bulunur.
tan 2α = 2·tan α / (1 – tan²α)
cot 2α = (cot²α – 1) / (2·cot α)
Paydadaki iki kare farkı açılınca
tan 2α = 2·tan α / [(1 – tan α)(1 + tan α)] yazılır.
(sin α + cos α)² = 1 + sin 2α ve (sin α – cos α)² = 1 – sin 2α. İkisinin toplamı her α için 2’dir.
cos 2α = (cos α – sin α)(cos α + sin α) =
(1 – √2·sin α)(1 + √2·sin α) = (√2·cos α – 1)(√2·cos α + 1)
Üçü de iki kare farkı açılımıdır.
sin 2α, 2·sin α değildir (α = 30° için 0,87 ile 1). tan 2α formülünde payda sıfırlanıyorsa sonuç tanımsızdır: α = 45° iken 2α = 90°’dir.