İki Noktayı
Birleştiren
Doğrunun Eğimi
Bir f fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun grafiğini (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarında kesen doğrunun eğimidir. Bu ünitede grafiği okumayı, fonksiyonun eksenleri nerede kestiğini, nerede artıp nerede azaldığını ve bu değişimin hızını ölçmeyi göreceğiz.
İki değişken arasında doğrusal bir ilişki varsa bu ilişki, a ve b gerçek sayılar olmak üzere, y = ax + b doğrusal fonksiyonu veya bu fonksiyonun grafiği ile ifade edilir. Doğrunun bütün karakteri tek bir sayıda toplanır: eğim.
d doğrusunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olmak üzere α açısının tanjant değeri doğrunun eğimine eşittir. Dik üçgende bir açının tanjant değeri karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına eşit olduğundan doğrunun eğimi şudur:
Yani y’deki değişim bölü x’teki değişim. Doğru üzerinde hangi iki noktayı seçersen seç bu oran aynı çıkar.
A(x₀, y₀) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi y – y₀ = m · (x – x₀) formülü ile bulunur.
Örnek: eğimi 3 olan ve A(2, 1) noktasından geçen doğru → y – 1 = 3(x – 2) → y = 3x – 5. Sabit terim –5, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
| Eğim | Doğrunun görünümü | Fonksiyon | α açısı |
|---|---|---|---|
| m > 0 | Soldan sağa yukarı gider | Artan | Dar açı (0° < α < 90°) |
| m < 0 | Soldan sağa aşağı iner | Azalan | Geniş açı (90° < α < 180°) |
| m = 0 | x eksenine paralel yatay doğru | Sabit | α = 0° |
Ders kitabında geçmeyen ama kesin doğru olan iki ek: paralel iki doğrunun eğimleri eşittir (m₁ = m₂), dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı –1’dir (m₁ · m₂ = –1). Üçüncü ünitede teğetlerin dikliğini incelerken bu kural işimize yarayacak.
Aralarında doğru veya ters orantı bulunan çoklukların ortak çözümleri yapılırken doğrusal fonksiyonlar kullanılır. Birbirleriyle ilişkili değişkenler arasındaki gelir gider dengesi, bir aracın deposunda kalan yakıt miktarı, aldığı yol, bir ürünün alış ve satış fiyatı arasındaki ilişki gibi modellemelerin yorumlanmasında doğrusal fonksiyonlar kullanılır.
Fonksiyon bir dönüştürücü olarak tanımlanır: matematikte fonksiyon, tıpkı günlük hayatta gözlemlenen olay ve sonuçlar gibi bilimsel bir kurala göre girdi ve çıktılardan oluşan bir dönüştürücüdür. 4 · 7 işlemi istendiğinde zihinde 28 sayısının belirmesi de beynin bir fonksiyonudur.
Bir grafiğe bakarken iki ayrı soruya cevap ararız: fonksiyon hangi x değerleri için tanımlı (tanım kümesi) ve hangi y değerlerini alıyor (görüntü kümesi). Birincisi grafiğin x eksenine, ikincisi y eksenine düşen gölgesidir.
Grafiğin x ekseni üzerindeki izdüşümü. Yani grafiğin en soldaki noktasının apsisinden en sağdaki noktasının apsisine kadar olan aralık.
Grafiğin y ekseni üzerindeki izdüşümü. En alçak noktanın ordinatından en yüksek noktanın ordinatına kadar.
Grafiğin ucundaki içi dolu nokta o değerin kümeye dâhil olduğunu (kapalı uç), içi boş nokta dâhil olmadığını (açık uç) gösterir.
Grafikte iki nokta türü her zaman ilk aranan yerdir: fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar (kökler) ve y eksenini kestiği nokta. İkisi de tek bir yerine koyma ile bulunur.
y = f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar, y = 0 için f(x) = 0 denkleminin kökleridir.
y = f(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği noktalar, x = 0 için y = f(0) denklemini sağlayan y değerleridir. Polinom fonksiyonlarında sabit terim, fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatına eşittir. İkinci dereceden fonksiyonlar y eksenini mutlaka bir noktada keser: f(x) = ax² + bx + c için bu nokta (0, c) noktasıdır.
f: ℝ → ℝ, y = f(x) fonksiyonu verilsin.
Fonksiyon bazı aralıklarda pozitif, bazılarında negatif olabilir. O zaman kural aynıdır ama aralık aralık okunur: grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda fonksiyon pozitif, altında kaldığı aralıklarda negatiftir. Sınır noktaları köklerdir; orada f(x) = 0’dır.
Kök bulmak için y’ye sıfır verilir, y kesişimi için x’e sıfır verilir. Bir fonksiyonun kökü hiç olmayabilir ya da birden çok olabilir; buna karşılık ℝ’de tanımlı bir fonksiyonun y eksenini kestiği nokta en fazla bir tanedir — çünkü x = 0 için tek bir f(0) değeri vardır. f(x) = x² + 1 fonksiyonunun kökü yoktur ama y eksenini (0, 1) noktasında keser.
f: [a, b] → ℝ olacak şekilde f(x) fonksiyonu tanımlanıyor. [a, b] aralığında ∀x₁, x₂ için x₁ < x₂ iken fonksiyonun görüntülerine bakılır: büyüyorsa artan, küçülüyorsa azalan, değişmiyorsa sabittir.
f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f(x) fonksiyonu artandır. Grafik soldan sağa yukarı doğru gider.
f(x₁) > f(x₂) oluyorsa f(x) fonksiyonu azalandır. Grafik soldan sağa aşağı iner.
f(x₁) = f(x₂) oluyorsa f(x) fonksiyonu sabittir. Grafik yatay bir doğru parçasıdır.
f: [a, b] → ℝ olacak şekilde f(x) fonksiyonu verilsin.
Kısacası minimum, fonksiyonun aldığı en küçük değer; maksimum ise en büyük değerdir. Nokta ile değer karıştırılmamalı: minimum nokta bir ikilidir (n, f(n)); minimum değer ise tek bir sayıdır, f(n).
Bir f fonksiyonunun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun grafiğini (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarında kesen doğrunun eğimidir. Bu doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olmak üzere α açısının tanjant değeri doğrunun eğimine eşittir; dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı olduğundan formül şu hâle gelir.
Payda fonksiyonun uçlardaki değerlerinin farkı, paydada ise x’lerin farkı vardır. Bu, tam olarak (a, f(a)) ile (b, f(b)) noktalarından geçen doğrunun eğim formülüdür.
Artan fonksiyonların ortalama değişim hızı pozitiftir.
Azalan fonksiyonların ortalama değişim hızı negatiftir.
Ortalama değişim hızı sıfır çıkıyorsa, o aralığın iki ucunda fonksiyonun değeri aynıdır:
f(a) = f(b). Bu, fonksiyonun aralık boyunca hiç değişmediği anlamına gelmez; sadece
baştan sona net değişimin sıfır olduğu anlamına gelir.
f(x) = ax + b şeklindeki doğrusal fonksiyonların eğimi a olduğundan herhangi bir tanım aralığı için ortalama değişim hızı a’dır. Yani hangi [a, b] aralığını seçersen seç sonuç değişmez. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda ise seçilen aralığa göre değişir — kiriş tezgâhında kaydırakları oynatınca bu fark hemen görünür.
Sabah %100 ile çıktın, akşam 8’de %20 kaldı. 12 saatte 80 puan düşüş → ortalama değişim hızı (20 – 100)/12 ≈ –6,7 puan/saat. İşaret negatif, çünkü şarj azalıyor. Arada oyun oynadığın saatlerde daha hızlı düşmüş olabilir; ortalama bunu gizler.
1. denemede 42 net, 6. denemede 72 net. Deneme başına ortalama değişim (72 – 42)/(6 – 1) = 6 net. Grafikte 1. ve 6. noktaları birleştiren kirişin eğimi bu. Arada düştüğün bir deneme olsa bile bu sayı değişmez.
Yol-zaman grafiğinde ortalama değişim hızı doğrudan ortalama hızdır. 9 km’yi 30 dakikada gidersen 18 km/sa. Trafikte durduğun anlar grafikte yatay parça (sabit), orada anlık hız sıfırdır ama ortalama yine 18 çıkar.
Fotoğrafçılık kulübünde 150 TL kayıt + ay başına 40 TL ödeme: y = 40x + 150. Eğim 40 (aylık artış), sabit terim 150 grafiğin y eksenini kestiği nokta. Bu doğrusal bir model olduğu için ortalama değişim hızı her aralıkta 40.
20 GB’lık paketten kalan miktar y = 20 – 0,8x (x: gün) ise eğim –0,8, yani günde 0,8 GB azalıyor. Paketin bitiş günü fonksiyonun kökü: 20 – 0,8x = 0 → x = 25. Kök burada “ne zaman biter” sorusunun cevabıdır.
Basketbol maçında “skor farkı” fonksiyonunun kökleri beraberlik anlarıdır. Fark grafiğinin x ekseninin üstünde olduğu dakikalarda senin takımın önde (pozitif), altında olduğu dakikalarda geride (negatif).
Telefondaki koşu uygulaması sana yükselti grafiği çizer. Yokuş yukarı kısımlar artan, iniş kısımları azalan, düzlükler sabit aralıklardır. Parkurun en yüksek noktası maksimum, en çukur yeri minimum noktadır.
Haftalık uyku süreni günlere göre çizersen, tanım kümesi 7 günlük aralık, görüntü kümesi uyuduğun en az ile en çok saat arasıdır. “En çok uyuduğun gün” maksimum noktanın apsisi, “kaç saat uyuduğun” ise ordinatı.
Sevdiğin şarkının haftalık dinlenme grafiği çıkışta artan, zirvede maksimum, sonra azalandır. “Şarkı en çok ne zaman dinlendi?” sorusu maksimum noktayı, “ilk ayda haftada kaç bin dinlenme arttı?” sorusu ise ortalama değişim hızını sorar.
42 soruluk test · doğrusal fonksiyon ve eğim, grafikten tanım-görüntü kümesi okuma, eksenleri kestiği noktalar, artan-azalan aralıklar ve ortalama değişim hızı
İki değişken arasında doğrusal ilişki varsa bu ilişki y = ax + b ile ifade edilir. Eğim m = tanα = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁); A(x₀, y₀)’dan geçen ve eğimi m olan doğru y – y₀ = m(x – x₀). m > 0 artan, m < 0 azalan, m = 0 sabit.
x eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin kökleridir; y eksenini kestiği nokta x = 0 için y = f(0). Polinomlarda sabit terim = y kesişiminin ordinatı. İkinci dereceden fonksiyonlar y eksenini mutlaka keser: (0, c).
f(x) > 0 olan aralıklarda grafik x ekseninin üstünde, f(x) < 0 olan aralıklarda altında kalır. İşaretin değiştiği sınır noktalar köklerdir.
x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise artan, f(x₁) > f(x₂) ise azalan, f(x₁) = f(x₂) ise sabit.
Her x için f(x) ≥ f(n) ise (n, f(n)) minimum nokta, f(n) minimum değer; her x için f(x) ≤ f(m) ise (m, f(m)) maksimum nokta, f(m) maksimum değer.
[a, b] aralığında [f(b) – f(a)] / (b – a); grafiği (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarında kesen doğrunun eğimidir. Artan fonksiyonda pozitif, azalan fonksiyonda negatiftir. f(x) = ax + b için her aralıkta a’dır.