Uç nokta
dâhil mi,
değil mi?
Köşeli parantez "içeride", normal parantez "dışarıda" demek. Tek bir işaretin değişmesi kümeyi değiştiriyor. Sonra eşitsizliklere geçip ne zaman yön değiştirdiklerini göreceğiz — negatifle çarpmak işin bütün yönünü çeviriyor.
Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık adı verilir. Aralıklar, verilen kümeye uç noktalarının dâhil edilip edilmemesine bağlı olarak adlandırılır. Aralık gösterimi [a, b], (a, b), [a, b), (a, b] ifadeleri kullanılarak yapılır. Bu gösterimlerdeki a ve b gerçek sayıları birer uç noktadır.
Uç noktaların aralığa dâhil edildiği kümelere kapalı aralık denir. A = {x | a ≤ x ≤ b ve a, b, x ∈ ℝ} kümesi bir kapalı aralık belirtir ve [a, b] ile ifade edilir.
Uç noktaların aralığa dâhil edilmediği kümelere açık aralık denir. A = {x | a < x < b ve a, b, x ∈ ℝ} kümesi (a, b) ile ifade edilir.
Uç noktalardan birinin dâhil edilmediği a < x ≤ b veya a ≤ x < b şeklinde ifade edilen kümelere yarı açık (yarı kapalı) aralık denir.
Bir aralığın iki ucu da sonlu olmak zorunda değil. Sonsuz bir sayı olmadığı için sonsuz tarafı her zaman açık parantezle yazılır — sonsuz kümeye dâhil edilemez.
a ∈ ℝ olmak üzere (a, ∞) a'dan büyük tüm gerçek sayıların kümesidir; (–∞, a) ise a'dan küçük tüm gerçek sayıların kümesidir. Uç nokta dâhil ediliyorsa köşeli parantez kullanılır: [a, ∞) ve (–∞, a].
ℝ'nin kendisi de aralıktır ve (–∞, ∞) biçiminde gösterilir. Yani sayı doğrusunun tamamı da bir aralıktır.
Bir aralıktaki uç noktalardan biri kapalı, diğeri sonsuz ise bu aralık ışın olarak adlandırılır. Örneğin [3, ∞) bir ışındır: 3 dâhildir ve sağa doğru sınırsızca uzar. (3, ∞) ise ışın değildir, çünkü uç noktası kapalı değildir.
DİKKAT: Aralıkların kesişim, birleşim ve fark işlemleri yapılırken; aralıkları aynı sayı doğrusu üzerinde göstermek kolaylık sağlayacaktır. Aşağıdaki kaydıraklarla iki aralığı oynatıp üç işlemin sonucunu aynı anda izleyebilirsin.
Soru: A = {x | –4 ≤ x < 6, x ∈ ℝ} ve B = {x | 2 < x ≤ 8, x ∈ ℝ} olmak üzere A ∪ B, A ∩ B ve A / B kümelerini aralık biçiminde ifade ediniz.
Uç noktaların açık ya da kapalı olmasına dikkat et: A'da –4 dâhil olduğu için birleşimde de köşeli parantez var; B'de 2 dâhil olmadığı için kesişimde 2 açık kaldı ve farkta 2 A'da bulunduğundan kapalı yazıldı.
>, ≥, <, ≤ gibi sembollerin kullanıldığı ifadelere eşitsizlik denir. a ve b gerçek sayılar olmak üzere a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b şeklindeki ifadeler birer basit eşitsizliktir.
a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere aşağıdaki biçimlerdeki eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler adı verilir:
–2x < 6 eşitsizliğini çözerken her iki tarafı –2'ye bölersen x > –3 olur, x < –3 değil. Sağlaması kolay: x = 0 alırsan –2 · 0 = 0 < 6 doğrudur ve 0 > –3 aralığındadır. Aynı tuzak beşinci özellikte de var: 2 < 5 iken 1/2 > 1/5'tir, çünkü pozitif sayılardan oluşan eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir.
"50 ve üzeri geçer" ile "50'nin üzeri geçer" aynı şey değil. Birincisi [50, 100], ikincisi (50, 100]. Tam 50 alan öğrenci için bu tek parantez farkı sınıfta kalıp kalmamayı belirliyor — uç noktanın dâhil olması budur.
"13 yaş ve üstü" etiketi [13, ∞) aralığıdır — bir ucu kapalı, diğeri sonsuz. Bir aralıktaki uç noktalardan biri kapalı, diğeri sonsuz ise bu aralık ışın olarak adlandırılır.
Müzik kulübü 15.00-17.00, tiyatro kulübü 16.00-18.00 arasında toplanıyor. İkisine de yetişebileceğin saatler kesişimdir: (16, 17). İkisinden birine gidebileceğin toplam zaman ise birleşim: [15, 18].
Cebinde 200 TL var, harcaman 200'ü geçmemeli: x ≤ 200 yani (–∞, 200]. Ayrıca en az 50 TL yol parası ayırman gerekiyorsa harcayabileceğin miktar [0, 150] aralığına iner — iki koşulun kesişimi.
Şarj %20'nin altına düşerse güç tasarrufu açılıyor: [0, 20). %20'de tam olarak açılmıyorsa uç nokta dâhil değil, açık parantez. Uygulamanın "20'nin altında" mı "20 ve altında" mı dediği tam olarak bu ayrım.
Aynı pizzayı 2 kişi paylaşırsan 1/2, 5 kişi paylaşırsan 1/5 alırsın. 2 < 5 olmasına rağmen 1/2 > 1/5. Pozitif sayılardan oluşan eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir — kalabalık arttıkça pay küçülür.
Arkadaşına 30 TL, kardeşine 50 TL borçlusun. –50 < –30 olduğu için kardeşine olan borcun "daha küçük" bir sayıdır ama miktarı büyüktür. Negatif sayılarda sıralamanın sezgiye ters gelmesinin sebebi bu.
"150 TL üzeri alışverişte geçerli" kuponu (150, ∞) aralığını tanımlar. Tam 150 TL harcarsan kupon çalışmaz. Mağaza "150 TL ve üzeri" yazsaydı [150, ∞) olurdu ve kupon geçerdi.
Antrenör "nabzın 120 ile 150 arasında kalsın" diyor: [120, 150]. Saat 118 gösterirse aralığın dışındasın; 150'yi geçersen de öyle. Aralık, "kabul edilebilir bölge"yi tarif etmenin en kısa yolu.
30 sorudan oluşan bu test ile "Aralık Kavramı ve Basit Eşitsizlikler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık adı verilir. Aralıklar, verilen kümeye uç noktalarının dâhil edilip edilmemesine bağlı olarak adlandırılır. Gösterimde a ve b birer uç noktadır.
Uç noktaların aralığa dâhil edildiği kümelere kapalı aralık denir: A = {x | a ≤ x ≤ b}. Uç noktaların dâhil edilmediği kümelere açık aralık denir: A = {x | a < x < b}.
Uç noktalardan birinin dâhil edilmediği a < x ≤ b veya a ≤ x < b şeklindeki kümelere yarı açık (yarı kapalı) aralık denir. Bir aralıktaki uç noktalardan biri kapalı, diğeri sonsuz ise bu aralık ışın olarak adlandırılır.
a ∈ ℝ olmak üzere (a, ∞) a'dan büyük, (–∞, a) a'dan küçük tüm gerçek sayıların kümesidir. ℝ'nin kendisi de aralıktır ve (–∞, ∞) ile gösterilir. Sonsuz tarafı her zaman açık yazılır.
Aralıkların kesişim, birleşim ve fark işlemleri yapılırken aralıkları aynı sayı doğrusu üzerinde göstermek kolaylık sağlar. A = [–4, 6) ve B = (2, 8] için A ∪ B = [–4, 8], A ∩ B = (2, 6), A / B = [–4, 2] olur.
>, ≥, <, ≤ gibi sembollerin kullanıldığı ifadelere eşitsizlik denir. a ve b gerçek sayılar olmak üzere a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b şeklindeki ifadeler birer basit eşitsizliktir.
Her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarıldığında yön değişmez. Her iki taraf pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse yön değişmez. Yönü aynı olan eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir: a < b ve c < d iken a + c < b + d olur.
Her iki taraf negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Pozitif sayılardan oluşan eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi alındığında da yön değişir: 0 < a < b iken 1/a > 1/b olur. Zıt işaretli sayılarda ise yön değişmez: a < 0 < b iken 1/a < 1/b.
a ve b pozitif ve x pozitif tam sayı olmak üzere 0 < a < b iken a^x < b^x olur. a ve b negatif ve x pozitif tam sayı olduğunda a < b < 0 için x tek ise a^x < b^x, x çift ise a^x > b^x olur. Ayrıca ax + b < 0 biçimindeki eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.