Her sayının
bir kimliği
var
360'ı 23 · 32 · 51 diye yazdığın anda sayının bütün sırları açılıyor: kaç böleni var, başka bir sayıyla en büyük ortak böleni ne, en küçük ortak katı ne. Bu ünitede tek bir gösterimden dört ayrı soruyu çözeceğiz.
A bir tam sayı; x, y, z asal sayı ve a, b, c doğal sayı olmak üzere A tam sayısının A = xa · yb · zc şeklinde ifade edilmesine asal çarpanlarına ayırma denir. A sayısının asal çarpanlarına ayrılmasında bölme algoritmasından yararlanılır.
A = xa · yb · zc şeklindeki gösterimde x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır. Yani aynı asal iki kez yazılmaz; onun yerine üssü büyütülür. 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 değil, 360 = 23 · 32 · 51.
360 sayısı en küçük asaldan başlanarak sırayla bölünür; bölünebildiği sürece aynı asalla devam edilir:
Asal çarpan gösterimini bulduysan bölen sayısını saymaya gerek yok — doğrudan üslerden hesaplanır. A = xa · yb · zc sayısının pozitif bölenlerinin sayısı (a+1) · (b+1) · (c+1) olur.
A = xa · yb · zc sayısının;
Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı = 0'dır. Her pozitif bölenin bir de negatif eşi olduğu için toplam sıfırlanır. Ayrıca A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –(x + y + z) olur.
"Tam sayı bölenlerinin toplamı –(x + y + z)" sanma. O toplam sıfırdır. –(x + y + z) olan şey asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamıdır: bütün bölenlerin toplamı 0 iken, listeden pozitif asalları (x, y, z) çıkarınca geriye –(x + y + z) kalır. Sınavda bu iki ifade sürekli karıştırılır.
Sıfırdan farklı bir x tam sayısı bir a tam sayısını kalansız bölüyor ise x sayısı a sayısının bir bölenidir. Sıfırdan farklı bir a tam sayısı bir x tam sayısına kalansız bölünüyor ise a sayısı x sayısının bir katıdır. EBOB ve EKOK bu iki kavram üzerine kurulur.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. Kısaca "EBOB" ile ifade edilir.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir. Kısaca "EKOK" ile ifade edilir.
Birbirinden farklı iki sayının ortak bölenleri aynı zamanda bu iki sayının EBOB'unun da bölenleri olduğundan; bu iki sayının tüm ortak bölenlerini bulmak için sayıların EBOB'unun bölenlerini bulmak yeterlidir. Ayrıca bir kesrin pay ve paydası bu iki sayının EBOB'una bölünerek kesrin en sade hâli elde edilir.
Birbirinden farklı iki sayının ortak katları aynı zamanda bu iki sayının EKOK'unun da katları olduğundan; bu iki sayının tüm ortak katlarını bulmak için sayıların EKOK'unun katlarını bulmak yeterlidir. Ayrıca kesirli sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken paydalar EKOK'larında eşitlenerek işlem yapılabilir.
a ve b sayma sayılarının çarpımı bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayı olmak üzere EBOB(a, b) = 1 ve EKOK(a, b) = a · b olur.
a ve b pozitif tam sayılarından biri diğerinin tam katı ise EBOB bu sayılardan küçük olana, EKOK ise büyük olana eşittir.
Panonun boyutları 120 cm × 90 cm. Üzerine hiç boşluk kalmadan eş kare fotoğraflar yapıştıracaksın ve kareler en büyük olsun istiyorsun. Bir bütünü eş büyüklükte en büyük parçalara ayırma sorusu → EBOB(120, 90) = 30. Yani 30 cm'lik kareler, 4 × 3 = 12 fotoğraf.
Müzik kulübü 6 günde bir, tiyatro kulübü 8 günde bir toplanıyor. İkisine de üyesin ve aynı gün çakışacaklar mı diye merak ediyorsun. Ortak kat sorusu → EKOK(6, 8) = 24. Her 24 günde bir aynı güne düşüyorlar.
Telefonda 45 rock, 60 pop şarkın var. İkisini de eş büyüklükte, olabildiğince kalabalık alt listelere bölmek istiyorsun — ama bir listede tür karışmasın. EBOB(45, 60) = 15 → 15'erlik listeler: 3 rock listesi, 4 pop listesi.
Okul servisi durağa 12 dakikada bir, belediye otobüsü 18 dakikada bir uğruyor. Sabah 07.00'de ikisi birlikte kalktıysa bir daha ne zaman aynı anda gelirler? EKOK(12, 18) = 36 → 07.36. Periyodik durum içeren problemlerde EKOK kullanılır.
18 TL'lik tostun 24 TL'ye oranını sadeleştirmek istiyorsun. Pay ve paydayı EBOB(18, 24) = 6'ya bölersen 18/24 = 3/4 olur. Bir kesrin pay ve paydası bu iki sayının EBOB'una bölünerek kesrin en sade hâli elde edilir — kuralın tam kendisi.
Basketbol antrenmanında şut çalışmasını 4 dakikada, pas çalışmasını 6 dakikada bir tekrar ediyorsun. İkisinin aynı dakikaya denk geldiği ilk an EKOK(4, 6) = 12. dakika. Antrenör "12 dakikalık tur" diyorsa aslında EKOK hesabı yapmıştır.
36 kurabiye ve 48 çikolatan var. Herkese eşit sayıda ve iki çeşitten de düşecek şekilde en çok kaç kişiye ikram edebilirsin? EBOB(36, 48) = 12 kişi; kişi başı 3 kurabiye, 4 çikolata.
Elinde 20 cm × 30 cm'lik eş karolar var; bunları döndürmeden birleştirip en küçük kareyi yapmak istiyorsun. Küçük parçaları birleştirip büyük bir parça elde etme sorusu → EKOK(20, 30) = 60 cm'lik kare, 3 × 2 = 6 karo.
Bir oyunun eşya kodu 72 farklı biçimde dizilebiliyorsa ve kod 2a · 3b biçiminde üretiliyorsa, 72 = 23 · 32 olduğundan pozitif bölen sayısı (3+1)(2+1) = 12'dir. Asal çarpan gösterimi, "kaç seçenek var" sorularının kestirme yolu.
30 sorudan oluşan bu test ile "Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
A bir tam sayı; x, y, z asal sayı ve a, b, c doğal sayı olmak üzere A tam sayısının bu şekilde ifade edilmesine asal çarpanlarına ayırma denir. Gösterimde x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır. Ayırmada bölme algoritmasından yararlanılır.
Asal bölenleri {x, y, z}. Pozitif bölenlerinin sayısı (a+1)(b+1)(c+1); negatif bölenlerinin sayısı da aynı; tam sayı bölenlerinin sayısı 2·(a+1)(b+1)(c+1). Tam sayı bölenlerinin toplamı 0'dır.
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –(x + y + z) dir. Tüm tam sayı bölenlerinin toplamı 0 olduğu için, listeden pozitif asallar çıkarılınca geriye bu değer kalır.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğü. Sayılar asal çarpanlarına ayrılır; tabanı aynı olan asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımı EBOB'a eşittir. İki sayının tüm ortak bölenleri, EBOB'un bölenleridir.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğü. Tabanı aynı olmayan asal çarpanlar ile tabanı aynı olanlardan üssü büyük olanların çarpımı EKOK'a eşittir. İki sayının tüm ortak katları, EKOK'un katlarıdır.
1) a ve b sayma sayılarının çarpımı EBOB ile EKOK'un çarpımına eşittir. 2) a ve b aralarında asalsa EBOB(a,b) = 1 ve EKOK(a,b) = a·b olur. 3) Biri diğerinin tam katı ise EBOB küçük olana, EKOK büyük olana eşittir.