Yön değil,
uzaklık
Mutlak değer "kaç adım uzakta" sorusunun cevabıdır; sağa mı sola mı gittiğini umursamaz. Bu yüzden |x| = 5 denkleminin iki çözümü var. Bir de sinsi tarafı var: bulduğun her kök denklemi sağlamayabilir.
Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin sıfır noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. x gerçek sayısının mutlak değeri |x| ile gösterilir. – 4 sayısının mutlak değeri 4'tür, 4 sayısının mutlak değeri de 4'tür: |–4| = 4 ve |4| = 4 olur.
Sayı doğrusu üzerinde a ile b gerçek sayılarının birbirine uzaklığı |a – b| ile gösterilir. Sıfıra olan uzaklık bunun özel hâlidir: |a| = |a – 0|.
x < 0 iken |x| = –x yazılır ve bu ifade pozitiftir. Örneğin x = –6 için –x = 6 olur. Önündeki eksi işareti sayıyı negatif yapmaz, işaretini tersine çevirir. Aynı mantıkla b < 0 iken |5b| = –5b ifadesi de pozitif bir sayıdır.
Çarpma ve bölme mutlak değerle sorunsuz anlaşıyor; toplama ise anlaşmıyor. Beşinci özellik tam olarak bunu söylüyor ve sınavda en çok bu sorulur.
x, y ∈ ℝ olmak üzere çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerleri çarpımı olarak yazılabilir.
x, y ∈ ℝ ve y ≠ 0 olmak koşuluyla bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümü olarak yazılabilir.
x ∈ ℝ olmak üzere |x| = |–x| olur. Uzaklık yönden bağımsız olduğu için bir sayı ile ters işaretlisinin mutlak değeri aynıdır.
x ∈ ℤ⁺ ve n ∈ ℤ⁺ için |xⁿ| = |x|ⁿ olur.
İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.
Çift dereceli köklü sayılarda kök değeri hem pozitif hem negatif olabileceğinden √(x²) = |x| olarak gösterilmelidir. Doğrudan x yazmak hatalıdır.
Mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değere kritik nokta denir. Birden fazla mutlak değer içeren ifadelerde en küçük değer, kritik noktalardan birinde alınır.
PDF'teki örnek: x ∈ ℝ için |x + 3| + |x| + |2x – 4| ifadesinin en küçük değerini bulunuz.
Çözüm: Kritik noktalardan bazıları için verilen ifade en küçük değeri alır. Verilen ifadenin kritik noktaları –3, 0 ve 2'dir.
Soru: x < 0 olmak üzere |–4x| – |–3x – x| işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: Önce ikinci mutlak değerin içi sadeleştirilir: –3x – x = –4x. Yani iki mutlak değerin içi de aynı: –4x. x negatif olduğu için –4x pozitiftir; mutlak değer içindeki ifade 0'dan büyük olduğunda mutlak değeri kendisine eşit olur.
Aynı ifadenin kendisinden çıkarılması olduğu için sonuç, x'in değerinden bağımsız olarak 0'dır.
Mutlak değerli bir denklem genelde iki ayrı denkleme ayrılır. Ama bulduğun her kök gerçek çözüm olmayabilir — bu yüzden sağlama zorunludur.
Soru: x ∈ ℝ olmak üzere |2x – 9| = –4x + 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Bir değişken hem mutlak değerin içinde hem de dışında kullanıldığı için bulunan değerler ilk denklemde yerine yazılır:
x = 2 değeri yanlış bir eşitlik verdiği için çözüm kümesine alınamaz. ÇK = {–3} olur.
Bir tek işaret bütün resmi değiştiriyor: ≤ aradaki bölgeyi, ≥ ise iki uçtaki bölgeleri veriyor. Aşağıdaki kaydırakla ikisini yan yana görebilirsin.
Bu dört satır birbirine çok benziyor ama sonuçları bambaşka. |x| < 0 ise ÇK = ∅ (mutlak değer negatif olamaz), |x| ≤ 0 ise ÇK = {0} (yalnız sıfır uyar), |x| ≥ 0 ise ÇK = ℝ (her sayı uyar), |x| > 0 ise ÇK = ℝ – {0} (sıfır hariç her sayı). İşaretin altında eşitlik olup olmaması tek başına cevabı değiştiriyor.
Cadde üzerinde okul 0 noktasında; sen –4, arkadaşın +4 numarada oturuyorsunuz. İkinizin de okula uzaklığı 4'tür: |–4| = 4 ve |4| = 4. Uzaklık yön bilmez — mutlak değerin tam tanımı bu.
Sen 7. sıradasın, arkadaşın 3. sırada. Aranızdaki sıra farkı |7 – 3| = 4. Kimin önde olduğunun önemi yok. a ile b gerçek sayılarının birbirine uzaklığı |a – b| ile gösterilir.
Hava durumu "22 °C, sapma en fazla 3 derece" diyorsa gerçek sıcaklık |x – 22| ≤ 3 koşulunu sağlar, yani 19 ≤ x ≤ 25. ≤ işareti aradaki bölgeyi verir.
Hedefin 400 puan ve "en az 30 puan sapma" istemiyorsan |x – 400| ≥ 30 sana iki ucu verir: x ≤ 370 veya x ≥ 430. Arada kalan bölge çözüme dâhil değil.
Karakterinin canı hiçbir zaman eksiye düşmez; can miktarı |c| gibi davranır, daima 0 veya pozitiftir. |x| ≥ 0 olduğu için bu eşitsizliği her gerçek sayı sağlar, ÇK = ℝ'dir.
Birisi "aramızdaki mesafe –5 metre" derse bu cümlenin karşılığı yoktur. a < 0 için |x| = a ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir — uzaklık negatif olamayacağı için.
Bir vidanın uzunluğu 20 mm olmalı, en fazla 0,2 mm sapabilir: |x – 20| ≤ 0,2. Fabrikada "tolerans" denen şey tam olarak mutlak değerli bir eşitsizliktir; 19,8 ile 20,2 arası kabul, dışı ıskarta.
"Ne geç kaldım ne de erken geldim" diyorsan sapman sıfır demektir. İki ayrı sapmanın toplamı sıfırsa ikisi de sıfırdır: |a| + |b| = 0 ise a = 0 ve b = 0 olur.
Üç arkadaş caddenin –3, 0 ve 2 numaralı noktalarında oturuyor; toplam yürüme mesafesi en az olacak şekilde buluşacaksınız. Toplam mesafe |x + 3| + |x| + |x – 2| ifadesidir ve en küçük değeri kritik noktalardan birinde alır — ortadaki komşunun kapısında.
30 sorudan oluşan bu test ile "Mutlak Değer, Denklem ve Eşitsizlikler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin sıfır noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir; |x| ile gösterilir. |–4| = 4 ve |4| = 4 olur. Sayı doğrusu üzerinde a ile b gerçek sayılarının birbirine uzaklığı |a – b| ile gösterilir.
Mutlak değer içindeki ifadenin değeri 0'a eşit ya da 0'dan büyükse mutlak değeri kendisine eşittir. 0'dan küçükse ters işaretlisine eşittir. Bir gerçek sayının mutlak değeri daima kendisine eşit ya da kendisinden büyüktür: |x| ≥ x.
Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerleri çarpımı olarak yazılabilir. y ≠ 0 koşuluyla bölüm durumundaki iki sayının mutlak değeri de mutlak değerlerinin bölümüdür.
x ∈ ℝ olmak üzere |x| = |–x| olur. x ∈ ℤ⁺ ve n ∈ ℤ⁺ için |xⁿ| = |x|ⁿ olur. Çift dereceli köklü sayılarda kök değeri hem pozitif hem negatif olabileceğinden √(x²) = |x| olarak gösterilmelidir.
İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir. Eşitlik ancak iki sayı aynı işaretliyken ya da biri sıfırken sağlanır.
Mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değere kritik nokta denir. |x + 3| + |x| + |2x – 4| ifadesinin kritik noktaları –3, 0 ve 2'dir; x = –3 için 13, x = 0 için 7, x = 2 için 7 bulunur ve en küçük değer 7'dir.
a ≥ 0 için |x| = a ise x = a veya x = –a olur. a < 0 için |x| = a ise ÇK = ∅ olur. |ax + b| = c denkleminde c < 0 ise çözüm kümesi boş kümedir. a ile b arasındaki uzaklık k birim ise bu |a – b| = k ile gösterilir. |a| + |b| = 0 ise a = 0 ve b = 0 olur.
Bir değişken hem mutlak değerin içinde hem de dışında kullanılmışsa bulunan değerler ilk denklemde yerine yazılarak denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. |2x – 9| = –4x + 3 örneğinde x = 2 ve x = –3 bulunur ama x = 2 yanlış eşitlik verdiği için çözüm kümesine alınmaz: ÇK = {–3}.
a ∈ ℝ⁺ olmak üzere |x| ≤ a ise –a ≤ x ≤ a, |x| ≥ a ise x ≤ –a veya x ≥ a olur. a ≤ |x| ≤ b ise a ≤ x ≤ b veya –b ≤ x ≤ –a olur. Ayrıca |x| < 0 ise ÇK = ∅, |x| ≤ 0 ise ÇK = {0}, |x| ≥ 0 ise ÇK = ℝ, |x| > 0 ise ÇK = ℝ – {0} olur.