Eşittir
bir terazi
Denklem çözmek aslında tek bir kurala dayanıyor: iki tarafa aynı şeyi yaparsan denge bozulmaz. Bu ünitede denklem ile denklem olmayanı ayırt edecek, çözüm kümesinin neden bazen tek eleman, bazen ℝ, bazen de boş küme olduğunu göreceksin.
İçinde en az bir tane değişken bulunduran iki niceliğin birbirine eşitliğini ifade eden bağıntılara denklem adı verilir. Yani bir ifadenin denklem olması için hem değişken içermesi hem de bir eşitlik kurması gerekir. İkisinden biri eksikse o ifade denklem değildir.
İkisinde de değişken var ve iki nicelik eşitlenmiş. Değişken sayısının bir ya da iki olması denklem olmasını değiştirmez.
İkisinde de değişken var ama eşitlik yok. Bunlar birer cebirsel ifadedir; bir şeye eşitlenmedikleri sürece çözülecek bir denklem oluşturmazlar.
a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 genel gösterimi ile ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. a ve b'ye denklemin katsayıları, x'e ise değişken adı verilir. Denklemin derecesi değişkeninin kuvvetine göre değişir.
Bu denklemde değişken y'dir ve denklemin derecesi 1'dir. y'nin kuvveti 1 olduğu için birinci dereceden bir denklemdir.
Bu denklemde değişken m'dir ve denklemin derecesi 2'dir. m'nin kuvveti 2 olduğu için bu denklem birinci dereceden değildir.
Bir denklemin değişkeni herhangi bir sembol olarak verilebilir. Bu durumda diğer semboller birer sabit sayı olarak düşünülür. Yani "ax + b = 0" denkleminde değişken x, sabitler a ve b'dir; ama soru "am + n = 0 denklemini m'ye göre çözünüz" derse bu kez değişken m, sabitler a ve n olur. Harfin kendisi değil, sorunun hangi harfi çözdürmek istediği belirleyicidir.
a, b gerçek sayılar olmak üzere a · x + b = 0 şeklindeki bir denklemde x değerine denklemin kökü adı verilir. Kökün kümesine de çözüm kümesi denir ve "ÇK" ile gösterilir. a ve b'nin sıfır olup olmamasına göre üç farklı sonuç çıkar.
a ≠ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir tane x değeri vardır. Çözüm kümesi tek elemanlıdır.
a = 0 ve b = 0 ise denklem 0 · x + 0 = 0 durumuna dönüşür. Bu durumda x değişkenine hangi gerçek sayı değeri verilirse verilsin eşitlik sağlanır. Yani çözüm kümesi gerçek sayılardır.
a = 0 ve b ≠ 0 ise denklem 0 · x + b = 0 durumuna dönüşür. Bu durumda x değişkenine hangi gerçek sayı değeri verilirse verilsin bu eşitlik doğru olmaz. Çözüm kümesi boş kümedir.
Denklem çözerken yaptığın her hamle iki taraf için de geçerli olmak zorunda. Terazinin bir kefesine ağırlık koyup öbürüne koymazsan denge bozulur; denklemde de eşitlik bozulur.
Bir denklemin çözümünden elde edilen kök ya da kökler denklemin ilk hâlinde yerine yazıldığında denklemi doğrulamalıdır. Bu işleme sağlama adı verilir. Denklemi sağlamayan sayılar çözüm kümesine alınmaz. Yani bulduğun sayıyı denkleme geri koymadan işlem bitmiş sayılmaz.
Haftalık harçlığın 150 TL. Her gün aynı miktarı harcayıp hafta sonunda 30 TL biriktirmek istiyorsan günlük harcaman ne kadar olmalı? 7x + 30 = 150 → 7x = 120 → x ≈ 17,14 TL. Her iki taraftan 30 çıkardık, sonra 7'ye böldük — eşitlik bozulmadı.
İki yazılın 70 ve 80. Ortalamanı 80 yapmak için üçüncü yazılıdan kaç almalısın? (70 + 80 + x) / 3 = 80 → 150 + x = 240 → x = 90. Denklemi kurduktan sonra iki tarafı 3 ile çarpmak işlemi tek adımda sadeleştirdi.
Bir kılıç 250 altın. Elinde 90 altın var ve her görevden 40 altın kazanıyorsun. Kaç görev yapmalısın? 40x + 90 = 250 → 40x = 160 → x = 4 görev. Bulduğun 4'ü geri koyup 40·4 + 90 = 250 diye sağlama yapmayı unutma.
Taksi 25 TL açılış + kilometre başına 12 TL alıyor. 145 TL ödediysen kaç km gittin? 12x + 25 = 145 → 12x = 120 → x = 10 km. Gerçek hayattaki "sabit ücret + değişken ücret" yapısı tam olarak ax + b biçimindedir.
320 sayfalık kitabın 80 sayfasını bitirdin, 8 günde tamamlamak istiyorsun. Günde kaç sayfa? 8x + 80 = 320 → 8x = 240 → x = 30 sayfa.
"İki arkadaşın yaşları toplamı hem 30 hem 35 olsun" dersen çözüm yoktur. Denklem 0 · x + 5 = 0 hâline gelir; a = 0 ve b ≠ 0 olduğu için çözüm kümesi boş kümedir. Soru "çözümü yoktur" cevabını bekliyordur.
"Bir sayının iki katı, o sayının kendisiyle toplamına eşittir" cümlesini denklem yaparsan 2x = x + x olur; sadeleşince 0 · x + 0 = 0 kalır. Her gerçek sayı bu eşitliği sağlar, ÇK = ℝ. Yanlış bir cümle değil, her zaman doğru bir cümle.
Tarifen aylık 180 TL sabit + her GB için 15 TL. Faturan 300 TL geldiyse kaç GB aştın? 15x + 180 = 300 → 15x = 120 → x = 8 GB. Fatura itirazında kullanacağın hesap tam da budur.
Fizik dersinde v = v₀ + a·t yazıyor. Burada t'yi çözmen istenirse değişken t, geri kalan bütün harfler sabittir. Bir denklemin değişkeni herhangi bir sembol olarak verilebilir; hangi harfin çözüleceğine soru karar verir.
30 sorudan oluşan bu test ile "Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
İçinde en az bir tane değişken bulunduran iki niceliğin birbirine eşitliğini ifade eden bağıntılara denklem adı verilir. – 4x + 16 = 0 ve 2m – n = 24 ifadeleri denklemdir; 2a + 8 ve 5x – 12 ifadeleri denklem değildir.
a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 genel gösterimi ile ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. a ve b'ye denklemin katsayıları, x'e ise değişken adı verilir.
Denklemin derecesi değişkeninin kuvvetine göre değişir. 2y – 6 = 0 denkleminde değişken y'dir ve denklemin derecesi 1'dir. m² – 9 = 0 denkleminde değişken m'dir ve denklemin derecesi 2'dir.
a, b gerçek sayılar olmak üzere a · x + b = 0 şeklindeki bir denklemde x değerine denklemin kökü adı verilir. Kökün kümesine de çözüm kümesi denir ve "ÇK" ile gösterilir.
a ≠ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir tane x değeri vardır. a = 0 ve b = 0 ise denklem 0 · x + 0 = 0 durumuna dönüşür ve ÇK = ℝ olur. a = 0 ve b ≠ 0 ise denklem 0 · x + b = 0 durumuna dönüşür ve ÇK = ∅ olur.
Bir eşitlikte, eşitliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik değişmez. Bir eşitlikte, eşitliğin her iki tarafını sıfırdan farklı aynı gerçek sayı ile çarpmak veya bölmek eşitliği değiştirmez.
"Denklemin her iki tarafı" ifadesinden denklemin sol ve sağ olmak üzere iki tarafının olduğu anlaşılmalıdır. Eşittir işareti iki tarafı birbirinden ayırır.
Bir denklemin çözümünden elde edilen kök ya da kökler denklemin ilk hâlinde yerine yazıldığında denklemi doğrulamalıdır. Bu işleme sağlama adı verilir. Denklemi sağlamayan sayılar çözüm kümesine alınmaz.
Bir denklemin değişkeni herhangi bir sembol olarak verilebilir. Bu durumda diğer semboller birer sabit sayı olarak düşünülür. Hangi harfin değişken olduğuna sorunun kendisi karar verir.