İki doğru
nerede
kesişir?
Bir denklem yerine iki denklemin olduğu anda soru şuna dönüşüyor: bu iki doğru kesişiyor mu, paralel mi, üst üste mi? Cevabı çizmeden, sadece katsayı oranlarına bakarak bulacaksın. Sonra eşitsizliklere geçip düzlemi boyayacağız.
a ≠ 0, b ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ; x ile y değişkenler olmak üzere ax + by = c şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler adı verilir. Bu denklemi sağlayan (doğrulayan) x ve y gerçek sayıları ise (x, y) olarak yazılır ve bu sıralı ikiliye denklemin çözüm kümesinin bir elemanı denir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri doğru belirtir. Yani tek bir denklemin çözüm kümesi tek bir nokta değil, sonsuz sayıda sıralı ikilidir ve bunların hepsi aynı doğru üzerindedir.
a, b, c, d, m ve n gerçek sayılar olmak üzere bu şekilde verilen aynı değişkenlerden oluşan ve birden fazla denklem bulunduran ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi adı verilir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için yok etme, yerine koyma ve grafik çizimi gibi yöntemler kullanılır. Üçü de aynı sonuca varır; hangisinin kısa süreceği denklemin biçimine bağlıdır.
Denklem sisteminde bilinmeyenlerden herhangi birinin katsayısı diğer denklemdeki aynı bilinmeyenin katsayısıyla mutlak değerce eşit, işaret bakımından ters olacak şekilde düzenlenir. Taraf tarafa toplama yoluyla seçilen değişken yok edilir.
Denklem sistemindeki denklemlerin herhangi birinden herhangi bir değişken eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve diğer denklemde yerine yazılır. Katsayılardan biri 1 ya da –1 ise bu yöntem genelde daha hızlıdır.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesini oluşturan sıralı ikililer analitik düzlemde bir doğru belirtir. Denklem sistemini oluşturan denklemlerin belirttiği doğruların kesim noktası ya da noktaları bu denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.
İlk iki oran eşit çıktığında iş bitmiş sayılmaz. a/d = b/e olması doğruların eğiminin aynı olduğunu söyler; ama c/f de eşitse doğrular üst üste biner (sonsuz çözüm), değilse yan yana durur (çözüm yok). 2x + 3y = 6 ile 4x + 6y = 12 çakışıktır; 2x + 3y = 6 ile 4x + 6y = 15 paraleldir. Katsayılar neredeyse aynı ama biri sonsuz çözüm, öteki hiç çözüm.
a, b, c birer gerçek sayı, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere ax + by ≤ c, ax + by < c, ax + by ≥ c, ax + by > c şeklindeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerde olduğu gibi bu eşitsizliğin çözüm kümesi de (x, y) şeklindeki sıralı ikililerden oluşur. Eşitsizliği doğru yapan sonsuz sayıda sıralı ikili bulunacağından çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı bölgeler çizilerek gösterilir.
ax + by ≤ c ifadesinde önce ax + by = c alınır ve denklemde y değişkeni yalnız bırakılarak düzenlemeler yapılır; böylece y = mx + n doğru denklemi elde edilir.
En az iki tane birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliğin oluşturduğu sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.
PDF'teki örnek: 2x – 3y ≥ –6 ve 6x – 9y ≤ 54 eşitsizlik sistemi aynı analitik düzlemde gösterildiğinde, iki bölgenin kesiştiği bölge eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. Sınır doğrularını bulmak için her eşitsizlik denkleme çevrilip eksenleri kestiği noktalar bulunur:
2 tost + 3 ayran 130 TL, 1 tost + 2 ayran 75 TL tuttu. Tostun ve ayranın fiyatını bulmak için 2x + 3y = 130 ve x + 2y = 75 sistemini kurarsın. İkinci denklemde x yalnız bırakıp birincide yerine koyarsan (yerine koyma yöntemi) x = 35, y = 20 çıkar.
Sınıfta 30 kişi var, kızların sayısı erkeklerden 4 fazla: x + y = 30 ve x – y = 4. Katsayılar zaten mutlak değerce eşit ve ters işaretli, yani taraf tarafa toplayınca y yok oluyor: 2x = 34 → x = 17.
Arkadaşın "2 kalem 3 defter 60 TL" diyor, sonra "4 kalem 6 defter 100 TL" diyor. Katsayı oranları 2/4 = 3/6 ama 60/100 farklı → doğrular paralel, çözüm kümesi boş. Yani verdiği iki bilgi birbirini tutmuyor.
"1 bilet 50 TL" ile "2 bilet 100 TL" aslında aynı bilgidir. Oranların üçü de eşit olduğu için doğrular çakışıktır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır — ikinci cümle yeni bir şey söylemiyor, tek bilinmeyeni tek başına belirleyemezsin.
Cebinde 100 TL var; tost 25 TL, ayran 10 TL. Alabileceğin kombinasyonlar 25x + 10y ≤ 100 eşitsizliğinin çözüm bölgesidir. ≤ olduğu için sınır doğrusu düz çizgi; tam 100 TL harcamak da mümkün.
Aynı örnekte annen "100 TL'yi geçmeyeceksin" değil de "100 TL'nin altında kalacaksın" derse eşitsizlik 25x + 10y < 100 olur ve sınır doğrusu kesikli çizilir — tam 100 TL artık bölgeye ait değil.
Kulüp etkinliği için hem "en az 20 kişi gelsin" hem "bütçe 500 TL'yi geçmesin" koşulları varsa iki ayrı eşitsizlik bölgesi çizilir. Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir — iki boyalı alanın üst üste bindiği yer.
Bir görev 30, diğeri 50 puan veriyor ve 400 puana ulaşman gerekiyor: 30x + 50y ≥ 400. Bu eşitsizliğin çözüm bölgesindeki her (x, y) ikilisi seni hedefe ulaştırır; tek bir "doğru cevap" yok, sonsuz sayıda sıralı ikili var.
İki farklı tarife: biri 100 TL + GB başına 10 TL, diğeri 160 TL + GB başına 4 TL. Hangisinin ucuz olduğu, iki doğrunun kesim noktasına göre değişir: 10x + 100 = 4x + 160 → x = 10 GB. 10 GB'ın altında birinci, üstünde ikinci tarife ucuzdur.
30 sorudan oluşan bu test ile "Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlikler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
a ≠ 0, b ≠ 0 ve a, b, c ∈ ℝ; x ile y değişkenler olmak üzere ax + by = c şeklindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler adı verilir. Denklemi sağlayan x ve y gerçek sayıları (x, y) olarak yazılır ve bu sıralı ikiliye çözüm kümesinin bir elemanı denir. Grafikleri doğru belirtir.
a, b, c, d, m ve n gerçek sayılar olmak üzere bu şekilde verilen aynı değişkenlerden oluşan ve birden fazla denklem bulunduran ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi adı verilir.
Çözüm kümesini bulmak için yok etme, yerine koyma ve grafik çizimi gibi yöntemler kullanılır. Yok etmede bir bilinmeyenin katsayısı diğer denklemdekiyle mutlak değerce eşit, işaret bakımından ters olacak şekilde düzenlenir ve taraf tarafa toplanır. Yerine koymada bir değişken yalnız bırakılıp diğer denklemde yerine yazılır.
Bir denklemin çözüm kümesini oluşturan sıralı ikililer analitik düzlemde bir doğru belirtir. Denklem sistemini oluşturan denklemlerin belirttiği doğruların kesim noktası ya da noktaları bu denklem sisteminin çözüm kümesini oluşturur.
a/d = b/e = c/f ise doğrular çakışıktır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. a/d = b/e ≠ c/f ise doğrular paraleldir ve çözüm kümesi boş kümedir. a/d ≠ b/e ise doğrular tek noktada kesişir.
a, b, c birer gerçek sayı, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere bu şekildeki ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Çözüm kümesi (x, y) sıralı ikililerinden oluşur; sonsuz sayıda sıralı ikili bulunacağından çözüm kümesi analitik düzlemde boyalı bölgeler çizilerek gösterilir.
ax + by ≤ c ifadesinde ax + by = c alınıp y yalnız bırakılarak y = mx + n doğru denklemi elde edilir. y = mx + n denkleminin çözüm kümesi doğru üzerindeki noktalardır. y > mx + n eşitsizliğinin çözüm kümesi doğrunun üst bölgesi, y < mx + n eşitsizliğinin çözüm kümesi doğrunun alt bölgesidir.
≤ veya ≥ durumunda doğru üzerindeki noktalar çözüm kümesine ait olduğundan doğru düz çizgi şeklinde çizilir. < veya > durumunda doğru üzerindeki noktalar çözüm kümesine ait olmadığından doğru kesikli çizgi şeklinde çizilir.
En az iki tane birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliğin oluşturduğu sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.