Aynı sayı,
üç ayrı
kılık
3/5, 0,6 ve %60 aynı sayıdır — sadece kıyafeti değişmiştir. Bu ünitede kesirle işlem yapmayı, kesri ondalığa çevirmeyi, devirli ondalığı geri kesre döndürmeyi ve hepsini hızlıca sıralamayı öğreneceksin.
Dört işlemin dördü de farklı bir ön hazırlık istiyor: toplama-çıkarma paydayı eşitlemeni, çarpma-bölme ise tam sayılı kesirden kurtulmanı bekliyor. Hazırlığı atlarsan işlem yanlış çıkar.
Rasyonel sayılarda toplama (çıkarma) işlemi yapılırken önce sayıların paydaları eşit değilse eşitlenmelidir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır (çıkarılır) paya yazılır, ortak payda sonucun paydası olarak yazılır.
DİKKAT: Rasyonel sayılarda toplama (çıkarma) işleminde paydalar EKOK'larında eşitlenir.
Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken çarpılan rasyonel sayılar tam sayılı kesir olmamalıdır. Eğer tam sayılı kesirler varsa tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilmelidir. Daha sonra paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılarak çarpma işlemi yapılır.
DİKKAT: Çarpılan rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki sayıların sadeleştirilmesi çarpma işlemini kolaylaştırır.
Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken bölünecek rasyonel sayılar tam sayılı kesir olmamalıdır. Eğer tam sayılı kesirler varsa tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Daha sonra birinci sıradaki kesir aynen yazılır, ikinci sıradaki kesir ters çevrilip bu kesirler çarpılır.
1 1/6 ifadesi "1 çarpı 1/6" değil, 1 + 1/6 = 7/6 demektir. Çarpma ve bölmede bu ifadeyi olduğu gibi kullanırsan sonuç bozulur; önce bileşik kesre çevirmen gerekir. Toplama ve çıkarmada da paydayı eşitlemeden payları toplamak aynı türden bir hatadır: 1/2 + 1/3 = 2/5 değildir, paydalar EKOK'ta (6) eşitlenip 3/6 + 2/6 = 5/6 bulunur.
Paydası 10, 100, 1000, … gibi 10'un kuvvetleri olan kesirlere ondalık kesirler, bu kesirlerin belirttiği sayılara ondalık sayılar denir. Örneğin 3/10 = 0,3 olur.
Rasyonel sayı ondalık sayıya çevrilirken; rasyonel sayının payındaki sayı paydasındaki sayıya bölünür veya paydasındaki sayı 10'un kuvveti olarak yazıldıktan sonra sayı ondalık sayı olarak yazılır.
Ondalık sayılar toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama ve çıkarma işleminde olduğu gibi toplama ve çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
Ondalık sayıların çarpımı yapılırken virgül yokmuş gibi çarpılır. İşlem sonunda çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayıları toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
Ondalık sayılarda bölme işlemi yaparken bölen virgülden kurtarılır. Böleni virgülden kurtarırken çarpılan sayı ile bölünen de çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
Çarparken: 10 ile çarparken virgül bir basamak sağa, 100 ile çarparken iki basamak sağa kaydırılır. Bölerken: 10'a bölerken virgül bir basamak sola, 100'e bölerken iki basamak sola kaydırılır. Yani sıfır sayısı kadar basamak kaydırılır.
Bir ondalık sayının virgülden sonraki kısmında belli bir düzende tekrar eden sayılar varsa bu sayılara devirli ondalık sayılar denir. Tekrar eden kısmın üzerine çizgi çekilerek gösterilir.
Üzeri çizili kısım devreden kısımdır; çizgisiz kısım devretmeyen kısımdır. Bu ayrım birazdan formülün iki tarafını da belirleyecek.
a, b, c, d ve e birer rakam olmak üzere:
Paydadaki 9 ve 0 sayısı yalnızca virgülden sonraki basamaklara bakılarak belirlenir. Virgülden önceki tam kısım paydayı etkilemez, yalnız "sayının tamamı"na girer.
Soru: 21,378 devirli ondalık sayısını rasyonel sayıya çeviriniz.
Çözüm: Sayının tamamı 21378, devretmeyen kısım 213'tür. Virgülden sonra devreden 2 basamak (78) olduğu için 2 tane 9, devretmeyen 1 basamak (3) olduğu için 1 tane 0 yazılır; payda 990 olur.
Kesirleri sıralamak için her seferinde ondalığa çevirmen gerekmiyor. Payları mı eşit, paydaları mı eşit, fark mı eşit — hangisiyse ona uygun kural devreye giriyor.
Sayılar arasında pozitif sıralama yapılır, yapılan sıralamanın tersi alınır. Yani mutlak değerce büyük olan negatif sayı, sıralamada küçüktür.
a, b, c, d pozitif ardışık sayılar ve a < b < c < d olmak üzere:
Örnek: 1/2 < 2/3 < 3/4. Basit kesirlerde pay ve payda birer artınca kesir büyür.
Sen pizzanın 1/4'ünü, arkadaşın 1/6'sını yedi. Toplam ne kadar bitti? Paydalar EKOK'ta (12) eşitlenir: 3/12 + 2/12 = 5/12. Paylar toplanır paya yazılır, ortak payda sonucun paydası olur.
40 soruluk denemede 30 doğru yaptın: 30/40 = 3/4 = 0,75. Yüzdeye çevirmek için 100 ile çarparsın, virgül iki basamak sağa kayar: %75. 100 ile çarparken virgül iki basamak sağa kaydırılır.
12,50 TL ve 7,80 TL'yi toplarken virgülleri alt alta getirirsin: 20,30 TL. Ondalık sayılar toplanırken virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve sonuç virgüllerin hizasından ayrılır.
Kek tarifi 1 1/2 su bardağı un istiyor ama yarım tarif yapacaksın. Önce bileşik kesre çevirirsin: 3/2. Sonra 3/2 · 1/2 = 3/4 bardak. Çarpmada tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilmelidir.
3/4 metre kurdeleden 1/8 metrelik parçalar keseceksin, kaç parça çıkar? 3/4 : 1/8 = 3/4 · 8/1 = 6 parça. Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
Sen 7 atıştan 5'ini, arkadaşın 9 atıştan 7'sini attı. Kimin isabeti yüksek? 5/7 ve 7/9: ikisinde de pay-payda farkı 2 ve ikisi de basit kesir → payı büyük olan büyüktür, yani 7/9. Arkadaşın önde.
128 GB'lik telefonun 96 GB'ı dolu: 96/128 = 3/4 = 0,75 → %75. Kesri sadeleştirip ondalığa çevirmek, "ne kadar yer kaldı" sorusunu tek bakışta cevaplatıyor.
1000 metreyi 3 dakika 20 saniyede koştun. Saniyeye çevirince 200 saniye; hızın 1000/200 = 5 m/s. Ama 1/3 dakikalık tur atarsan süre 0,333… yani 0,3 dakika olur — devirli ondalık sayı tam da böyle çıkar.
Oyun içi para birimi 0,25 TL. 12,5 birim kaç TL? Virgül yokmuş gibi çarpıp (125 · 25 = 3125) sonra virgülden sonraki basamak sayıları toplamı kadar (1 + 2 = 3) sağdan ayırırsın: 3,125 TL.
30 sorudan oluşan bu test ile "Rasyonel Sayılar ve Ondalıklı Gösterim" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Önce sayıların paydaları eşit değilse eşitlenmelidir. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır (çıkarılır) paya yazılır, ortak payda sonucun paydası olarak yazılır. Paydalar EKOK'larında eşitlenir.
Çarpılan ya da bölünen rasyonel sayılar tam sayılı kesir olmamalıdır; varsa bileşik kesre çevrilir. Çarpmada paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Bölmede birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. Sadeleştirme işlemi kolaylaştırır.
Paydası 10, 100, 1000, … gibi 10'un kuvvetleri olan kesirlere ondalık kesirler, bu kesirlerin belirttiği sayılara ondalık sayılar denir. Çevirmek için pay paydaya bölünür veya payda 10'un kuvveti olarak yazılır: 3/5 = 6/10 = 0,6.
Toplama-çıkarmada virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır, sonuç virgüllerin hizasından ayrılır. Çarpmada virgül yokmuş gibi çarpılır, virgülden sonraki basamak sayıları toplamı kadar sağdan sola ayrılır. Bölmede bölen virgülden kurtarılır, çarpılan sayı ile bölünen de çarpılır.
Ondalık sayıları 10 ile çarparken virgül bir basamak sağa, 100 ile çarparken iki basamak sağa kaydırılır. 10'a bölerken virgül bir basamak sola, 100'e bölerken iki basamak sola kaydırılır. Yani sıfır sayısı kadar basamak kaydırılır.
Virgülden sonraki kısımda belli bir düzende tekrar eden sayılar varsa bu sayılara devirli ondalık sayılar denir. Örnek: 21,378 (78 devirli) = (21378 – 213)/990 = 21165/990 = 1411/66.
Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan kesir diğerlerinden daha büyüktür. Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Basit kesirlerde pay ile payda arasındaki farklar eşitse, payı (veya paydası) büyük olan sayı diğerlerinden büyüktür. Bileşik kesirlerde farklar eşitse payı (veya paydası) küçük olan büyüktür. Hiçbiri uymuyorsa ondalık veya devirli ondalık açılımları karşılaştırılır.
Negatif rasyonel sayılarda önce pozitif sıralama yapılır, yapılan sıralamanın tersi alınır. Ayrıca a, b, c, d pozitif ardışık sayılar ve a < b < c < d olmak üzere a/b < b/c < c/d olur.