Böl mü,
birleştir mi?
Problemin hangi işlemi istediğini tek bir soruyla ayırt edeceksin: elindekini parçalara mı ayırıyorsun, yoksa parçaları birleştirip büyütüyor musun? Sonra periyodik olaylara geçip "kaçıncı kez" tuzağını çözeceğiz.
Problemin sayıları aynı olsa bile sorulan şey değişince kullanılacak araç değişir. Ayrım tek bir cümlede: elindeki bütünü mü bölüyorsun, yoksa küçük parçalardan bir bütün mü kuruyorsun?
Bir bütünü eş büyüklükte en büyük parçalara ayırarak en az sayıda parça elde edilmek istenen problemlerde EBOB kullanılır.
En az sayıda küçük parçaları birleştirerek büyük bir parça elde edilmek istenen problemlerde EKOK kullanılır.
Elinde 12 ve 18 var. "12 cm × 18 cm'lik kâğıdı artansız en büyük eş karelere böl" derse EBOB(12, 18) = 6. Ama "12 cm × 18 cm'lik eş kartları birleştirip en küçük kareyi yap" derse EKOK(12, 18) = 36. Sayılar aynı, cevap farklı — çünkü biri bölüyor, öteki birleştiriyor. Soruda "en büyük" geçmesi tek başına EBOB demek değildir; neyin en büyük olduğuna bak.
Günlük hayatta bazı olaylar belli zaman aralıklarında tekrar eder. Bu tür olaylara periyodik olay denir. Haftanın günlerinin 7 günde bir tekrar etmesi, nöbet tutan bir askerin, hemşirenin ya da doktorun belirli zaman dilimi sonunda tekrar aynı gün nöbet tutması, bu tür olaylara örnek olarak verilebilir.
Periyodik durum içeren problemlerde tekrarlayan iki ya da daha fazla olayın, en kısa hangi periyotla aynı anda gerçekleşeceğinin hesaplanmasında EKOK kullanılır. Örneğin dairesel bir pisti üç atlet sırasıyla 6 dk, 8 dk ve 9 dk'da koşabiliyorsa, bu üç atletin koşmaya başladıktan kaç dakika sonra tekrar başlangıç noktasında karşılaşacağının hesaplanmasında EKOK kullanılır.
Soru: Bir fabrikada bulunan üç farklı makine, bir ürünü sırasıyla 45, 50 ve 60 saniyede üretmektedir. Bu makineler ilk kez 06.30'da birlikte çalışmaya başladığına göre beşinci kez üçü birlikte ürün verdiğinde saat kaç olur?
Çözüm: Makinelerin tekrar aynı anda üretim yapması için geçen süre 45, 50 ve 60 sayılarının katı olmalıdır. İlk kez için 45, 50 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı bulunmalıdır.
900 saniye = 15 dakikadır. Birinci kez için geçen süre 15 dakikadır. Beşinci kez için 15 · 5 = 75 dakikalık (1 saat 15 dakika) süre geçmelidir. O hâlde saat 06.30'dan 1 saat 15 dakika sonra saat 07.45 olur.
Haftanın günleri 7 günde bir tekrar ettiği için, "bugünden x gün sonra hangi gün?" sorusunun cevabı x sayısının 7 ile bölümünden kalana bağlıdır. Kalan kaçsa, başlangıç gününden o kadar ileri sayarsın.
Bir olay ilk kez gerçekleştiğinde henüz hiç süre geçmemiştir. Bu yüzden n. kez için geçen süre n değil (n – 1) periyottur. PDF'teki örnekte Burak ilk kursuna katıldığı için 12 – 1 = 11 kez daha kursa gidecektir; geçen süre 4 · 11 = 44 gündür. Aynı mantık makine örneğinde de var: beşinci kez için 15 · 5 = 75 dakika geçer, çünkü orada 06.30 birlikte çalışmaya başlama anıdır ve ilk ortak ürün 15 dakika sonra gelir.
Soru: Burak, 4 günde bir tenis kursuna gitmektedir. Kursa pazartesi günü başlayan Burak'ın 12. kez kursa hangi gün gideceğini bulunuz.
Çözüm: Burak ilk kursuna katıldığı için 12 – 1 = 11 kez daha kursa gidecektir. Bunun için geçen süre 4 · 11 = 44 gün olacaktır. Pazartesi gününden 44 gün sonrasının bulunması gerekir. 44 sayısının 7 ile bölümünden bölüm 6, kalan 2 olduğundan 12. kez kursa gittiği gün çarşamba günü olacaktır.
İki periyodik olay birlikte soruluyorsa iş iki aşamalıdır: önce EKOK ile ortak periyot bulunur, sonra "kaçıncı kez" için (n – 1) ile çarpılır ve gerekiyorsa 7'ye bölünüp kalana bakılır.
Soru: İki askerden biri 5 günde bir, diğeri 8 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu askerler, birlikte ilk nöbetlerini salı günü tuttuklarına göre 6. kez birlikte hangi gün nöbet tutacaklarını bulunuz.
Çözüm: İki asker, EKOK(5, 8) = 40 günde bir birlikte nöbet tutarlar. İlk nöbetlerini tuttuklarına göre 6 – 1 = 5 nöbetleri kalır. Bunun için geçen süre 40 · 5 = 200 gün olacaktır. Salı gününden 200 gün sonrası bulunmalıdır. 200 sayısının 7 ile bölümünden bölüm 28, kalan 4 olup 6. kez birlikte nöbet tuttukları gün cumartesi günü olacaktır.
Sen 6 günde bir, arkadaşın 9 günde bir sınıf nöbetçisisin. Bugün ikiniz birlikte nöbetçiydiniz. Bir daha aynı gün ne zaman düşer? EKOK(6, 9) = 18 → 18 gün sonra. Periyodik durum içeren problemlerde EKOK kullanılır.
İzlediğin dizi salı günü başladı ve 3 haftada bir yeni bölüm geliyor. 10. bölüm hangi gün yayınlanır? İlk bölüm zaten yayınlandığı için 10 – 1 = 9 aralık geçer: 9 · 21 = 189 gün. 189'un 7 ile bölümünden kalan 0 → yine salı.
Elinde 48 cm × 72 cm bir karton var, artansız eş karelere böleceksin ve kareler en büyük olsun istiyorsun. Bir bütünü en büyük eş parçalara ayırma → EBOB(48, 72) = 24 cm. 2 × 3 = 6 kare çıkar.
Basketbol antrenmanın 4 günde bir, yüzme dersin 6 günde bir. İkisi de perşembe gününe denk geldi. 4. kez aynı güne düşmesi ne zaman? EKOK(4, 6) = 12; (4 – 1) · 12 = 36 gün. 36'nın 7 ile bölümünden kalan 1 → cuma.
Kulüp için 15 cm × 20 cm'lik eş etiketler bastırdın. Bunları yan yana dizip en küçük kare panoyu oluşturmak istiyorsun. Küçük parçaları birleştirip büyük parça elde etme → EKOK(15, 20) = 60 cm'lik kare.
Bir ilacı 8 saatte bir, diğerini 12 saatte bir alıyorsun. Sabah 08.00'de ikisini birlikte aldın. İkisi bir daha ne zaman aynı saate düşer? EKOK(8, 12) = 24 → ertesi gün yine 08.00.
60 şeker ve 90 balonu, her poşette iki çeşitten de eşit sayıda olacak biçimde en çok kaç poşete bölersin? EBOB(60, 90) = 30 poşet; her poşette 2 şeker, 3 balon.
Okul yolundaki iki ışıktan biri 45 saniyede, diğeri 60 saniyede bir yeşile dönüyor. İkisi aynı anda yeşil olduğunda evden çıkarsan bir daha ne zaman çakışırlar? EKOK(45, 60) = 180 saniye = 3 dakika.
Deneme sınavların 10 günde bir ve ilki cumaya denk geldi. 8. deneme hangi gün olur? (8 – 1) · 10 = 70 gün; 70 tam olarak 7'ye bölünür, kalan 0 → yine cuma. Kalan 0 çıkması "başlangıç günü değişmedi" demektir.
30 sorudan oluşan bu test ile "EBOB-EKOK ve Periyodik Problemler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Bir bütünü eş büyüklükte en büyük parçalara ayırarak en az sayıda parça elde edilmek istenen problemlerde EBOB kullanılır. Örnek: bir tarla ya da bahçenin kare şeklinde ve en büyük alanlara bölünmesi, bir deponun küp şeklinde ve en büyük hacimlere bölünmesi.
En az sayıda küçük parçaları birleştirerek büyük bir parça elde edilmek istenen problemlerde EKOK kullanılır. Örnek: eş dikdörtgenlerin birleştirilerek kare şeklinde ve en küçük alan, eş dikdörtgenler prizmalarının birleştirilerek küp şeklinde en küçük hacim elde edilmesi.
Günlük hayatta bazı olaylar belli zaman aralıklarında tekrar eder; bu tür olaylara periyodik olay denir. Haftanın günlerinin 7 günde bir tekrar etmesi, bir askerin ya da doktorun belirli zaman dilimi sonunda tekrar aynı gün nöbet tutması örnektir.
Periyodik durum içeren problemlerde tekrarlayan iki ya da daha fazla olayın en kısa hangi periyotla aynı anda gerçekleşeceğinin hesaplanmasında EKOK kullanılır. n. kez için geçen süre (n – 1) periyottur, çünkü ilk kez için henüz süre geçmemiştir.
Haftanın günleri 7 günde bir tekrar ettiği için geçen gün sayısı 7'ye bölünür ve kalana bakılır. Burak örneğinde 44 : 7 işleminde kalan 2 olduğundan pazartesiden iki gün ileri gidilerek çarşamba bulunur. Kalan 0 ise gün değişmez.
Üç makine 45, 50, 60 saniyede üretiyor: EKOK = 900 saniye = 15 dakika; beşinci kez için 15 · 5 = 75 dakika, 06.30'dan sonra saat 07.45. İki asker 5 ve 8 günde bir nöbette: EKOK = 40 gün; 6. kez için 40 · 5 = 200 gün, 200 : 7 işleminde kalan 4, salıdan sonra cumartesi.