Taban aynıysa
üsler
konuşur
Üslü ifadelerde bütün hile tek bir hamlede: tabanları eşitle. Eşitlediğin anda çarpma toplamaya, bölme çıkarmaya, denklem de basit bir eşitliğe dönüşüyor. Bir de tabanın 1'den küçük olduğu durum var — orada eşitsizlik yön değiştiriyor.
a ∈ ℝ ve n ∈ ℤ⁺ olmak üzere aⁿ ifadesine üslü ifade adı verilir. aⁿ ifadesinde a sayısına taban, n'ye ise üs veya kuvvet denir. Değeri, tabanın kendisiyle n kez çarpılmasıyla hesaplanır.
x ∈ ℝ – {0} ve n ∈ ℤ⁺ olmak üzere negatif kuvvet, sayının çarpma işlemine göre tersinin o kuvvetidir. Sıfır sayısının çarpma işlemine göre tersi olmadığından negatif kuvveti tanımsızdır.
(–2)⁴ = 16 ama –2⁴ = –16'dır. Birincide taban –2, ikincide taban 2 ve eksi işareti sonuca uygulanıyor. Parantez yoksa üs yalnız sayıya aittir, işarete değil. Sınavda en sık kaybedilen puanlardan biri budur.
Üslü sayılarda hangi işlemi yapabileceğini tabanların mı yoksa üslerin mi aynı olduğu belirler. Toplama ve çıkarmada ise ikisinin de aynı olması gerekir.
Hem tabanı hem de üssü aynı olan üslü sayılar, ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir. a, b, c ve x ∈ ℝ ve n ∈ ℤ⁺ olmak üzere:
2³ + 2⁴ ifadesi 2⁷ değildir. Üsler yalnız çarpmada toplanır. Burada üsler farklı olduğu için ortak paranteze alınamaz; ya doğrudan hesaplanır (8 + 16 = 24) ya da ortak çarpan parantezine alınır: 2³(1 + 2) = 8 · 3 = 24. Toplama-çıkarmada ortak paranteze alabilmek için hem taban hem üs aynı olmalı.
x ∈ ℝ ve x ≠ 0 olmak üzere x⁰ = 1'dir. 0⁰ belirsizdir.
x ∈ ℝ olmak üzere x¹ = x ve 1ˣ = 1'dir. Tabanı 1 olan her ifade 1'e eşittir.
x ∈ ℝ – {0} ve a, b ∈ ℤ⁺ olmak üzere üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
İki üslü ifadeyi küçükten büyüğe sıralamak için tabanları eşitlemek ya da üsleri eşitlemek kullanılan yöntemlerden ikisidir.
Soru: a = 27⁵, b = 81⁴ ve c = 243² sayılarını sıralayınız.
İki üslü ifadeyi küçükten büyüğe sıralarken üsler veya tabanlar eşitlenemiyorsa üslü sayıların sayı aralıklarına bakılarak karşılaştırma yapılabilir.
Soru: 2ˣ = 17, 3ʸ = 29 ve 5ᶻ = 55 sayıları veriliyor. Buna göre x, y, z sayılarını sıralayınız.
a ∈ ℝ ve m, n ∈ ℝ – {0} olmak üzere:
Taban 1'den küçükken üs büyüdükçe sayı küçülür; eşitsizlik ters döner.
Taban 1'den büyükken üs büyüdükçe sayı da büyür; eşitsizlik korunur.
Soru: (3/5)x–1 < (25/9)x–4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Bu durumda ÇK = (3, ∞) olur. Kilit adım şu: 25/9 sayısı (5/3)² olarak yazılıp tabanlar eşitlendi; taban 1'den küçük olduğu için eşitsizliğin yönü çevrildi.
1 GB = 2³⁰ bayt, 1 MB = 2²⁰ bayt. Kaç MB bir GB eder? 2³⁰ / 2²⁰ = 2¹⁰ = 1024. Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır — büyük sayıları hiç yazmadan cevabı bulursun.
Bir duyuruyu 2 kişiye yolladın, her biri 2 kişiye daha yolladı. n adımda 2ⁿ kişiye ulaşır. 10 adımda 2¹⁰ = 1024 kişi. Üslü ifadelerin neden "hızlı büyüme" demek olduğunu en iyi anlatan örnek bu.
Bir kâğıdı her katladığında kalınlığı ikiye katlanır. 7 kez katlarsan 2⁷ = 128 kat olur. Ama alan tersine gidiyor: her katta yarıya iner, yani (1/2)⁷. Taban 1'den küçükken üs büyüdükçe sayı küçülür.
Bir yetenek her seviyede hasarı 3 katına çıkarıyor. 4. seviyede 3⁴ = 81 kat. Seviye 0'da ise 3⁰ = 1, yani hiç çarpan yok — x⁰ = 1 kuralının anlamı tam olarak bu: henüz hiçbir çarpım yapılmamış.
Bir ürüne üst üste 3 kez %10 indirim yapılırsa fiyat 0,9³ = 0,729 katına iner, yani %27,1 indirim olur — %30 değil. Üslü ifade burada "arka arkaya uygulanan oran" demektir.
Kablosuz kulaklığın şarjı her saat yarıya düşüyorsa 4 saat sonra (1/2)⁴ = 1/16 kalır. Negatif kuvvetle de yazılabilir: 2⁻⁴. x⁻ⁿ = 1/xⁿ olduğu için ikisi aynı sayıdır.
Bir fotoğrafın kenarlarını 2 katına çıkarırsan piksel sayısı 2² = 4 katına çıkar, 3 katına çıkarırsan 3² = 9 katına. Kenar çarpanı doğrusal, alan çarpanı kareseldir; dosya boyutunun neden aniden şiştiğinin sebebi budur.
4 haneli rakam şifresinde 10⁴ = 10 000 olasılık var; 6 haneli olursa 10⁶ = 1 000 000. İki hane eklemek olasılığı 10² = 100 katına çıkarıyor. Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
Kulaklık sesini her kademe artırdığında şiddet sabit bir çarpanla büyüyor. Kademe farkını karşılaştırmak için tabanları eşitlemen yeterli: iki üslü ifadeyi sıralamak için tabanları eşitlemek ya da üsleri eşitlemek kullanılan yöntemlerden ikisidir.
30 sorudan oluşan bu test ile "Üslü İfadeler, Denklem ve Eşitsizlikler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
a ∈ ℝ ve n ∈ ℤ⁺ olmak üzere aⁿ ifadesine üslü ifade adı verilir. aⁿ ifadesinde a sayısına taban, n'ye ise üs veya kuvvet denir; a sayısının n tane çarpımı olarak hesaplanır.
0'dan farklı sayıların çift sayı kuvvetlerinin sonucu daima 0'dan büyüktür: (–2)⁴ = 16, 2⁴ = 16. Tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemez: (–2)³ = –8, 2³ = 8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 0 sayısının pozitif kuvvetleri 0'dır: 0⁸ = 0.
x ∈ ℝ – {0} ve n ∈ ℤ⁺ olmak üzere bir sayının negatif kuvveti, çarpma işlemine göre tersinin o kuvvetidir. Sıfır sayısının çarpma işlemine göre tersi olmadığından negatif kuvveti tanımsızdır.
Hem tabanı hem de üssü aynı olan üslü sayılar, ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir. Üsler farklıysa bu kural uygulanamaz.
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılabilir ve üsler toplanır. Üsleri aynı olanlar çarpılabilir ve tabanlar çarpılır. Tabanları aynı olanlar bölünebilir (x ≠ 0) ve üsler çıkarılır. Üsleri aynı olanlar bölünebilir (y ≠ 0).
x ∈ ℝ ve x ≠ 0 olmak üzere x⁰ = 1'dir; 0⁰ belirsizdir. x ∈ ℝ olmak üzere x¹ = x ve 1ˣ = 1'dir. x ∈ ℝ – {0} ve a, b ∈ ℤ⁺ olmak üzere (xᵃ)ᵇ = (xᵇ)ᵃ = xᵃ·ᵇ olur.
İki üslü ifadeyi küçükten büyüğe sıralamak için tabanları eşitlemek ya da üsleri eşitlemek kullanılan yöntemlerden ikisidir. Örnek: 27⁵ = 3¹⁵, 81⁴ = 3¹⁶, 243² = 3¹⁰ olduğundan 243² < 27⁵ < 81⁴ olur. Eşitlenemiyorsa sayı aralıklarına bakılır: 2ˣ = 17 için 4 < x < 5.
x ∈ ℝ – {–1, 0, 1} için xᵐ = xⁿ ise m = n olur. xⁿ = yⁿ denkleminde n tek ise x = y, n çift ise |x| = |y| olur. aᵇ = 1 denkleminde üç durum vardır: b = 0 iken a ≠ 0 olmalı (0⁰ ≠ 1); a = 1 iken b ∈ ℝ; a = –1 iken b çift sayı olmalıdır.
a ∈ ℝ ve m, n ∈ ℝ – {0} olmak üzere 0 < a < 1 ve aⁿ < aᵐ ise n > m olur; a > 1 ve aⁿ < aᵐ ise n < m olur. Yani taban 1'den küçükken üsler arasındaki eşitsizlik ters döner.