Anlatılana göre öğretmen sınıfa "1'den 100'e kadar bütün sayıları toplayın" der. Küçük Gauss birkaç saniye sonra cevabı söyler: 5050. Tek tek toplamadı — bir desen gördü. Bu ünitede o deseni sen de göreceksin ve bir daha uzun toplama yapmayacaksın.
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir. Ardışık sayıların art arda gelen terimleri arasındaki farklar eşittir ve bu farka ortak fark denir.
Ardışık tam sayılarda ortak fark 1'dir. Negatif tarafa da uzanır; ardışık sayılar sadece pozitiflerden ibaret değildir.
Ardışık sayılar sınavda tek başına da çıkar, ama asıl gücü başka konularda kısayol olmasıdır: sayı problemleri, bölünebilme, EBOB-EKOK, hatta olasılık. "n ile n+1" yazabilmek, uzun bir denklemi tek satıra indirir. Aşağıdaki üç formülü öğrenirsen çoğu soruyu işlem yapmadan bitirirsin.
Sadece çift sayıları ya da sadece tek sayıları sırayla alırsan yine ardışık bir dizi olur — ama bu kez ortak fark 2'dir. Bu ayrımı karıştırmak sınavda en sık yapılan hatadır.
Ardışık çift sayılar art arda gelen çift sayılardan oluşur ve ortak farkı 2'dir.
Örnek: 24, 26, 28, 30 sayıları dört tane ardışık çift tam sayıdır.
Ardışık tek sayılar art arda gelen tek sayılardan oluşur ve ortak farkı 2'dir.
Örnek: −29, −27, −25 sayıları üç tane ardışık tek tam sayıdır.
Soruda "ardışık üç çift sayı" deniyorsa bunları x, x+2, x+4 diye yazacaksın; x, x+1, x+2 değil. Aynı şekilde "ardışık üç tek sayı" da x, x+2, x+4'tür.
Belirli bir kurala göre artan ya da azalan ardışık sayı dizisindeki terim sayısı şu bağıntıyla hesaplanır:
Sondaki +1'i unutma — bu formülün tamamı odur. Sebebi: bölme işlemi sana kaç adım atıldığını söyler, terim sayısı ise adım sayısının bir fazlasıdır.
Elini aç: 5 parmak var ama parmakların arasında 4 boşluk var. Bir bahçe çitinde 10 direk varsa aralarında 9 aralık vardır. Formüldeki bölme sana aralık sayısını verir; sen terim (direk) sayısını istiyorsun, o yüzden 1 eklersin.
Deneyelim: 4'ten 10'a kadar çift sayılar → 4, 6, 8, 10. Formül: (10 − 4)/2 + 1 = 3 + 1 = 4 terim. Saydık, gerçekten 4 tane.
Tek sayıda terim içeren bir dizinin ortanca terimi şu bağıntıyla elde edilir:
Bu, aynı zamanda dizinin aritmetik ortalamasıdır. Yani "5 ardışık sayının toplamı 40 ise ortadaki kaçtır?" sorusunda bölme yeter: 40 / 5 = 8. Terim sayısı tek olduğu sürece ortalama = ortanca terimdir.
Belirli bir kurala göre artan ya da azalan ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı:
Türkçesi: ortalama × adet. Baştan ve sondan eşleştirilen her çiftin toplamı aynı olduğu için dizinin ortalaması, ilk ve son terimin ortalamasına eşittir.
Gauss'un formülü. 1'den 100'e: 100·101/2 = 5050.
İlk 10 tek sayının toplamı 10² = 100. Aşağıda bunun neden bir kare olduğunu göreceksin.
İlk 10 çift sayının toplamı 10·11 = 110. Tek sayılarınkinden tam 10 fazla — çünkü her çift sayı, eşi olan tek sayıdan 1 büyüktür.
Ardışık sayılar sadece sınav konusu değil; sayarken, plan yaparken ve para hesaplarken farkında olmadan kullandığın bir araç.
Amfi düzeninde ilk sırada 12, her sıradaki koltuk 2 artıyor ve 20 sıra var. Toplam koltuk: son sıra 12 + 19·2 = 50, toplam = (12+50)/2 · 20 = 620. Tek tek saymana gerek yok.
Takvimde bir sütundaki günler ardışık değil, ortak farkı 7 olan bir dizidir: 3, 10, 17, 24, 31. Ayın kaçıncı haftası olduğunu bulmak, terim sayısı formülünün ta kendisi: (31−3)/7 + 1 = 5.
"Bu hafta 10 TL, her hafta 10 TL fazla atacağım" dersen 52 hafta sonunda kasada (10+520)/2 · 52 = 13.780 TL olur. Plan yapmadan önce ne biriktireceğini bilmek işe yarar.
Piramit gibi dizilen tuğlalarda üst sıra 1, altı 3, altı 5… ise toplam tuğla sayısı tam kare çıkar. 10 sıra = 10² = 100 tuğla. Ustalar bunu deneyimle bilir, sen formülle bilirsin.
İlk gün 20 şınav, her gün 5 artırıyorsun, 12 gün sürüyor. Son gün 20 + 11·5 = 75, toplamda (20+75)/2 · 12 = 570 şınav yapmış olacaksın.
Sokağın bir tarafı 1, 3, 5, 7… diğer tarafı 2, 4, 6, 8… gider — iki ayrı ardışık tek ve ardışık çift dizisi. Aradığın numara tek ise hangi kaldırımda yürüyeceğini baştan bilirsin.
Her katta 40 yer varsa 3. katın son yeri 120, 5. katın ilk yeri 161'dir. Otoparkın numaralandırması ortak farkı 40 olan bir dizidir; hangi kata çıkacağını hesaplamak terim sayısı formülüdür.
Bir parçada her ölçü 4 vuruşsa vuruş numaraları 1, 5, 9, 13… şeklinde ilerler. "32. ölçü hangi vuruşta başlar?" sorusu ardışık dizinin genel teriminden çıkar.
"7 ardışık sayının toplamı 63" diyorsa ortadaki sayı 63/7 = 9'dur; kalanları soldan sağa 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 diye yazarsın. Denklem kurmadan bitmiş olur.
18 sorudan oluşan bu test ile "Ardışık Sayılar" ünitesini ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra anında geri bildirim alacaksın.
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılar. Terimler arasındaki eşit farka ortak fark denir.
Ardışık tam sayılarda 1; ardışık tek ve ardışık çift sayılarda 2'dir. Üç ardışık çift sayı x, x+2, x+4 diye yazılır.
Sondaki +1'i unutma: bölme aralık sayısını verir, terim sayısı onun bir fazlasıdır.
Kısacası ortalama × adet. Baştan ve sondan eşleşen çiftlerin toplamı hep aynı olduğu için işe yarar.
1 + 2 + 3 + … + n. 1'den 100'e toplam 5050'dir.
İlk n tek sayının toplamı her zaman bir tam karedir.
İlk n çift sayının toplamı. Tek sayılarınkinden tam n fazladır.
Tek sayıda terim içeren dizinin ortanca terimi. Aynı zamanda dizinin aritmetik ortalamasıdır.
Terim sayısı tek ise toplamı adede böl, ortadaki terimi bulursun. Denklem kurmaya gerek kalmaz.