23 şekeri 5 kişiye paylaştırırsan her birine 4 tane düşer, elinde 3 şeker kalır. Tüm konu bu tek cümlenin matematik hâli: Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan. Zor görünen sorular da hep buraya geri döner.
B ≠ 0 ve A, B, C, K ∈ ℕ olmak üzere bölme işleminde Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan, yani A = B · C + K olur. Kalan sayı K olmak üzere 0 ≤ K < B olmalıdır.
Kalan bölene eşit ya da ondan büyük olsaydı, bir grup daha kurabilirdin — yani bölüm eksik hesaplanmış olurdu. 23 şekeri 5'erli dağıtırken elinde 7 kalması mümkün değil; 7'nin içinden bir 5 daha çıkarır, bölümü 1 artırırsın. Kalan her zaman bölenden küçüktür, çünkü aksi hâlde bölme bitmemiştir.
Kalan sayı, bölümden küçük ise bölme işleminde bölen ile bölüm yer değiştirildiğinde kalan değişmez.
Çarpma değişme özelliğine sahip olduğu için A değişmez. Tek şart K < C olması — aksi hâlde yeni bölmede kalan bölenden büyük kalır ve geçerli bir bölme olmaz.
Bölünen sayı ile bölen sayı bir k pozitif tam sayısının katı ise kalan sayı da k sayısının katı olmalıdır.
A ve B, k'nin katıysa A − B·C de k'nin katıdır. Yani K de k'nin katı olmak zorunda. Örneğin bölünen ve bölen 3'ün katıysa kalan 0, 3, 6, 9 … değerlerinden biri olabilir; 4 olamaz.
Bir bölme işleminin bölümü, ikinci bir bölme işleminde bölünen olarak kullanılabilir. Şeklinde birden fazla bölme işlemi verildiğinde bu bölme işlemleri denklem şeklinde yazılır ve elde edilen denklem sisteminde yerine koyma yöntemi kullanılarak A'nın C cinsinden değeri elde edilir.
Verilen iki bölme işlemi denkleme çevrilir:
İkinci denklem birincide B'nin yerine yazılır:
Böylece A, tek bir ifadeyle yazılmış olur. Soruda genelde bu ifadenin D'ye bölümünden kalan istenir; D · E · C terimi D'ye tam bölündüğü için kalan yalnızca F · C + K kısmından gelir.
M ve N pozitif tam sayılarının x pozitif tam sayısına bölümünden kalanlar sırasıyla m ve n olsun. Bu durumda toplama, çıkarma, çarpma ve üs alma işlemlerini koca sayılarla değil, küçücük kalanlarla yapabilirsin. Sınavda zaman kazandıran kural budur.
A sayısının 17 ile bölümünden kalan 4, B sayısının 17 ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre A² + AB − 2B ifadesinin 17 ile bölümünden kalanı bulunuz.
Dikkat et: sonuç 22 çıktı ama kalan 22 değil. Kalan bölenden küçük olmak zorunda olduğu için 22'yi bir kez daha 17'ye bölüp 5 buluyoruz. Bu adımı atlamak en sık yapılan hatadır.
Şu an saat 20.00, 50 saat sonra saat kaç olur? 50'yi 24'e böl: bölüm 2 (iki tam gün), kalan 2. Cevap 22.00. Saat okumak, aslında 24'e bölümünden kalanı okumaktır.
Bugün salıysa 100 gün sonra hangi gün? 100 ÷ 7'de kalan 2, yani salıdan iki gün ileri: perşembe. Haftalar 7'ye bölünen tam turlar, seni ilgilendiren yalnızca kalan.
Cebinde 137 TL var, tanesi 20 TL olan bilet alacaksın. 137 = 20 · 6 + 17: altı bilet alırsın, 17 TL artar. Artan para bilet fiyatından küçük olmak zorunda — bu da 0 ≤ K < B kuralının ta kendisi.
47 öğrenci gezi için 4'er kişilik sıralara oturacak. 47 = 4 · 11 + 3 → 11 sıra dolar, 3 öğrenci için bir sıra daha gerekir. Kalan sıfır değilse her zaman bir fazla araç, sıra ya da kutu lazım olur.
75 yumurtayı 30'luk viyollere yerleştiriyorsun: 75 = 30 · 2 + 15. İki viyol dolar, 15 yumurta açıkta kalır. Marketteki koli hesabı da, kargo paketlemesi de aynı bağıntıyla yapılır.
TC kimlik numarasının son hanesi, ilk on hanenin toplamının 10 ile bölümünden kalanıdır. Barkodlar ve IBAN'lar da benzer kalan hesaplarıyla doğrulanır — yanlış yazılan bir rakam kalanı bozar ve sistem hatayı yakalar.
Beden dersinde 23 kişi 5'erli gruplara ayrılıyor: 4 tam grup, 3 kişi açıkta. Öğretmenin "üçünüz şu gruplara dağılın" demesi, kalanı sıfırlamanın pratik yolu.
Kırmızı-sarı-yeşil sırasıyla dizilmiş boncuklarda 100. boncuk hangi renk? 100 ÷ 3'te kalan 1 → kırmızı. Fayans deseni, ışık dizisi, nöbet listesi: tekrar eden her şeyde soru kalanı sorar.
Yazılımda % işareti kalanı verir. Bir sayının tek mi çift mi olduğunu anlamak için programcılar sayı % 2 yazar; sonuç 0 ise çift. Sayfalama, şifreleme ve rastgele sayı üretimi hep kalan üzerine kurulu.
20 sorudan oluşan bu test ile "Tam Sayılarda Kalanlı Bölme İşlemi" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
B ≠ 0 ve A, B, C, K ∈ ℕ olmak üzere Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan. Kalan sayı K olmak üzere 0 ≤ K < B olmalıdır. Kalan 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünür.
Kalan sayı, bölümden küçük ise bölme işleminde bölen ile bölüm yer değiştirildiğinde kalan değişmez.
Bölünen sayı ile bölen sayı bir k pozitif tam sayısının katı ise kalan sayı da k sayısının katı olmalıdır.
Birden fazla bölme işlemi verildiğinde bu işlemler denklem şeklinde yazılır. Elde edilen denklem sisteminde yerine koyma yöntemi kullanılarak A'nın C cinsinden değeri elde edilir: A = (D·E + F)·C + K.
M ve N'nin x'e bölümünden kalanlar m ve n olsun. M + N'nin kalanı m + n'nin kalanına, M · N'nin kalanı m · n'nin kalanına, M − N'nin kalanı m − n'nin kalanına, Ma'nın kalanı ma'nın kalanına eşittir.
A'nın 17 ile bölümünden kalan 4, B'nin kalanı 3 ise A² + AB − 2B ifadesinin 17 ile bölümünden kalan: 4² + 4·3 − 2·3 = 16 + 12 − 6 = 22 ve 22'nin 17 ile bölümünden kalan 5'tir. Son adımda kalanı tekrar bölene bölmeyi unutma.