Sayı doğrusunda sıfırın sağı pozitif, solu negatif. Ama sıfırın kendisi ne pozitif ne negatiftir. Bu ünitede işaretlerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma altında nasıl davrandığını — sayının değerini hiç bilmeden bile sonucun işaretini nasıl bulacağını göreceğiz.
Ayrım tek bir karşılaştırmaya dayanır: sayı sıfırdan büyük mü, küçük mü?
Sıfırdan büyük olan sayılara pozitif sayılar denir.
Sıfırdan küçük olan sayılara negatif sayılar denir.
Pozitif gerçek sayılar, negatif gerçek sayılar kümeleri ve sıfır sayısının birleşimi gerçek sayılar kümesine eşittir.
Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar kümeleri ve sıfır sayısının birleşimi tam sayılar kümesine eşittir.
İki pozitif sayının toplamı daima pozitif, iki negatif sayının toplamı daima negatiftir. Zor olan kısım işaretler farklı olduğunda. Aşağıdaki sayı doğrusunda a ve b'yi oynat: toplama, sayı doğrusunda iki adımın peş peşe atılması demektir.
| a | b | a + b |
|---|---|---|
| (+) | (+) | + |
| (−) | (−) | − |
| durum | a + b |
|---|---|
| |a| < |b| | − |
| |a| > |b| | + |
Biri negatif diğeri pozitif iki sayının toplamında, mutlak değerce büyük olan sayıdan küçük olanı çıkarılır ve mutlak değerce büyük olan sayının işareti sonucun işareti olur.
Sayıların işaretleri aynı ise sonuç pozitif, sayılar ters işaretli ise sonuç negatiftir. Aynı kural bölme için de geçerlidir.
| a | b | a · b / a : b |
|---|---|---|
| (+) | (+) | + |
| (+) | (−) | − |
| (−) | (+) | − |
| (−) | (−) | + |
Uzun bir çarpımda tek tek işaret takip etmene gerek yok: negatif çarpanların sayısını say. Bu sayı çift ise sonuç pozitif, tek ise negatiftir.
Tabanın işareti ve üssün tek/çift olması birlikte sonucun işaretini belirler.
Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
n ∈ ℤ olmak üzere sonucun işareti üsse bağlıdır:
| n çift sayı | aⁿ + |
| n tek sayı | aⁿ − |
Taban −2, üs çift → pozitif.
Taban 2; önce üs alınır, eksi sonra uygulanır.
MEBİ özetindeki örneğin mantığı: sana bir eşitsizlik veriliyor, sen çarpanların işaretini bulacaksın. Önce kendin dene, sonra çözümü aç.
a ve b sayıları sıfırdan farklı birer gerçek sayıdır. a² · b⁵ < 0 ve a⁷ · b⁸ > 0 olduğuna göre a ve b sayılarının işaretlerini bulalım.
Negatif sayı soyut bir icat değil; "sıfırın öbür tarafı" gerektiği her yerde hayatın içinde.
Sayı doğrusunda sağdaki sayı daima büyüktür, yani −2 > −9. Yani −9 °C daha soğuktur. "Rakamı büyük olan büyüktür" diye düşünmek en klasik hatadır.
Zemin kat 0 kabul edilir; otopark katları negatif, daireler pozitiftir. −2'den 3. kata çıkmak 3 − (−2) = 5 kat demektir — çıkarmada işaretin işaret değiştirmesi tam olarak burada işine yarar.
Hesabında 500 TL varken 800 TL harcarsan bakiye 500 + (−800) = −300 TL olur. Farklı işaretlilerde mutlak değerce büyük olanın işareti sonuca geçer.
Deniz seviyesi 0 alınır. Uçak +10.000 m, dalgıç −40 m'dedir. Aralarındaki dikey mesafe 10.000 − (−40) = 10.040 m'dir.
Attığı gol 18, yediği 25 olan takımın averajı 18 + (−25) = −7'dir. Puanı eşit takımlar sıralanırken averajı büyük olan (yani sayı doğrusunda sağdaki) üstte yer alır.
Oda 22 °C, dondurucu −18 °C. Aradaki fark 22 − (−18) = 40 °C'dir. Bir negatif sayıyı çıkarmak, onun pozitifini eklemek demektir.
Her ay 300 TL borcun (−300) siliniyor; 4 ay öncesine (−4) göre durumun (−300)·(−4) = +1200 TL daha iyiydi. "Eksinin eksisi artı" kuralının en sezgisel karşılığı budur.
Fizikte yön işaretle gösterilir: yukarı +, aşağı −. Saniyede 2 m inen bir asansör −2 m/s hızındadır; 5 saniyede (−2)·5 = −10 m, yani 10 m aşağı iner.
Bir hisse üç gün üst üste %2 düşerse günlük değişim −2'dir; toplam etki 3 · (−2) = −6 puan civarındadır. Ekonomi haberlerindeki kırmızı oklar negatif sayının görselleştirilmiş hâlidir.
16 sorudan oluşan bu test ile "Pozitif ve Negatif Sayılar" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Sıfırdan büyük olan sayılara pozitif sayılar denir. Önünde işaret olmayan sayı pozitiftir.
Sıfırdan küçük olan sayılara negatif sayılar denir; sayı doğrusunda sıfırın solundadırlar.
Sıfır ne pozitif ne de negatiftir; önüne yazılan işaret değerini değiştirmez.
Aynı biçimde ℤ⁺ ∪ {0} ∪ ℤ⁻ = ℤ dir.
İki pozitifin toplamı daima pozitif, iki negatifin toplamı daima negatiftir.
Mutlak değerce büyükten küçük çıkarılır, sonucun işareti mutlak değerce büyük olanın işaretidir.
Uzun çarpımlarda negatif çarpan sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise negatiftir.
Negatif tabanda: n çift ise sonuç +, n tek ise sonuç − olur.
Parantez yoksa üs önce alınır, eksi sonra uygulanır.