Her sayının
bir adresi
vardır
√9 ile √8 yan yana durur, ikisi de kök işareti taşır — ama biri doğal sayıdır, öteki hiçbir kesire sığmaz. Bu ünitede sayıları görünüşlerine değil, yazılabildikleri biçime göre ayırmayı öğreneceksin. Sınavda en çok tuzağa düşülen yer tam burasıdır.
Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir; rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. Rakam sayı değildir — harfin kelimeye olan ilişkisi gibidir. Sayılar ise özelliklerine göre kümelere ayrılır.
0, 1, 2, 3, … şeklindeki sayıların oluşturduğu kümedir.
ℕ kümesine −1, −2, −3, … sayılarının eklenmesiyle oluşan kümedir.
a ve b tam sayılar, b sıfırdan farklı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılardır.
Aynı koşullarda a/b biçiminde yazılamayan sayılardır. Örnek: √2, √5, ∛3, π
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminden oluşan kümeye gerçek sayılar kümesi denir. Gerçek sayılar kümesinin her elemanına sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir.
Üstteki sayılardan birine tıkla: şema o sayının hangi halkaların içinde olduğunu gösterir.
Bir sayının rasyonel olması için kesirli görünmesi gerekmez; kesir olarak yazılabilmesi yeter. Bu yüzden 5, −3 ve 0 da rasyoneldir: 5/1, −3/1, 0/1 diye yazılabilirler. Sınavda en çok bu ayrım sorulur.
Her tam sayı, paydası 1 olan bir kesir gibi yazılabilir. Bu yüzden her tam sayı rasyoneldir.
Virgülden sonrası biten her ondalık sayı kesre çevrilebilir, dolayısıyla rasyoneldir.
Virgülden sonrası sonsuz olsa bile düzenli tekrar ediyorsa kesre çevrilebilir ve rasyoneldir.
Bir sayının ondalık açılımı sonsuz olabilir ama yine de rasyonel olabilir — yeter ki bir düzen içinde tekrar etsin. 0,272727… rasyoneldir (= 3/11). İrrasyonel sayıların açılımı ise sonsuzdur ve hiçbir tekrar deseni yoktur: π = 3,14159265… asla tekrar etmez.
Bir sayı seç: şerit virgülden sonraki basamakları basar ve varsa tekrar eden bloğu boyar.
a ve b tam sayılar ve b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir; kümesi ℚ' simgesiyle gösterilir. Üç ayırt edici özellikleri vardır.
√9 = 3 olduğu için rasyoneldir. Ama √8 kök dışına tam çıkamaz (2√2 kalır), bu yüzden irrasyoneldir. Kökün içindeki sayı tam kare değilse sonuç irrasyoneldir.
Ondalık açılımı sonsuza gider ve hiçbir tekrar deseni oluşturmaz. √2 = 1,41421356… — istediğin kadar basamak hesapla, ne biter ne tekrar eder.
Hiçbir a/b kesri tam olarak √2 ye eşit değildir. 22/7 sayısı π ye yakındır ama ona eşit değildir: 22/7 rasyonel, π irrasyoneldir.
√−2 ve √−9 gibi içinde negatif sayı bulunan kareköklü sayılar gerçek sayı belirtmez. Bunlar ne rasyoneldir ne irrasyonel; ℝ kümesinin dışındadırlar. Ama ∛−8 = −2 dir — tek dereceli köklerde içerideki negatif sorun değildir. Sınavda kök işaretini görüp "irrasyonel" demek en pahalı alışkanlıktır.
Sırasıyla 3, 0,5 ve 3 eder. Kök tam olarak çıktığı için rasyoneldirler.
İçerideki sayı tam kare / tam küp olmadığı için kök dışına tam çıkamaz.
Çift dereceli kökün içi negatif olamaz; bu ifadeler ℝ nin dışındadır.
Sayı kümeleri arasında ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ilişkisi vardır ve ℚ ∪ ℚ' = ℝ dir. Yani her doğal sayı aynı zamanda tam sayı, her tam sayı aynı zamanda rasyonel, her rasyonel sayı aynı zamanda gerçek sayıdır. Tersi doğru değildir.
Bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz. İkisinin ortak elemanı yoktur. Bu yüzden "√2 hem rasyonel hem irrasyoneldir" diyen bir şık her zaman yanlıştır.
Dikkat: ℚ ∪ ℚ' = ℝ ile ℚ ∩ ℚ' = ∅ birlikte okunur — ikisi ℝ yi örtüşmeden ikiye böler.
| Sayı | ℕ | ℤ | ℚ | ℚ' | ℝ | Not |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | ✓ | ✓ | ✓ | — | ✓ | 0 = 0/1 olduğu için rasyoneldir |
| −7 | — | ✓ | ✓ | — | ✓ | Negatif olduğu için doğal sayı değildir |
| √16 | ✓ | ✓ | ✓ | — | ✓ | √16 = 4 tür; kök görüntüsü aldatmasın |
| 0,272727… | — | — | ✓ | — | ✓ | Devirli ondalık = 3/11, rasyoneldir |
| √8 | — | — | — | ✓ | ✓ | 8 tam kare değil; √8 = 2√2 irrasyoneldir |
| π | — | — | — | ✓ | ✓ | Açılımı sonsuz ve tekrarsızdır |
| √−9 | — | — | — | — | ✗ | Gerçek sayı belirtmez; hiçbir kümede değil |
Ekrandaki sayının içinde bulunduğu en dar kümeyi seç. Örneğin 3 sayısı hem ℤ hem ℚ içindedir ama en dar kümesi ℕ dir.
Sayı doğrusu gerçek sayıların bir gösterim şeklidir. Her gerçek sayı, sayı doğrusu üzerinde bir nokta belirtir. İrrasyonel sayılar da bunun dışında değildir — √2 bir kesire sığmaz ama sayı doğrusunda yeri cetvel ve pergelle tam olarak çizilebilir.
Kaydırağı ilerlet: birim kare kurulur, köşegeni Pisagor ile hesaplanır ve pergelle sayı doğrusuna taşınır.
0 ile 1 arasındaki birim uzunluğun ucuna 1 birimlik dik parça çizilir; hipotenüs √2 ≈ 1,414 olur. Pergel 0 a batırılıp bu uzunluk doğruya taşınınca kesişim noktası tam olarak √2 dir.
Kenarları 1 ve √2 olan yeni bir dik üçgen kurarsan köşegeni √(1² + (√2)²) = √3 olur. Aynı adımı tekrarlayarak √4, √5, √6 … hepsi çizilebilir.
Sonuç: sayı doğrusunda boşluk yoktur. Rasyonel sayıların arasındaki her boşluğu irrasyoneller doldurur; ikisi birlikte ℝ yi verir.
"Hangi küme?" sorusu soyut görünür ama aslında her gün cevabını veriyorsun: bir şeyin yarısı olur mu, eksisi olur mu, tam sayı çıkması şart mı?
Sınıfta 28 kişi vardır; 28,5 kişi ya da −3 kişi olamaz. Sayılabilen şeylerin sayısı ℕ kümesindedir. Gezi için otobüs kapasitesini hesaplarken sonucu yukarı yuvarlaman bu yüzdendir: 28/15 = 1,86 otobüs diye bir şey yok, 2 otobüs.
Pil %37 gösteriyorsa bu 37/100 tür — payı ve paydası tam sayı olan bir kesir, yani ℚ elemanı. Telefon sana 37,4813… gibi bir sayı göstermez; ekrandaki her yüzde değeri kesir olarak yazılabilir.
Asansör paneli −2, −1, 0, 1, 2 der. Otopark katları negatif olduğu için kat numaraları doğal sayı değil tam sayıdır. Zemin katın 0 olması da tesadüf değil: sıfır bir tam sayıdır ve ℕ nin de elemanıdır.
Defter ve fotokopi kâğıdının uzun kenarının kısa kenarına oranı √2 dir. Bu irrasyonel oran seçildiği için A4 ü ikiye katladığında A5 elde edersin ve oran hiç bozulmaz. Dünyada kâğıt boyutlarının standart olmasının sebebi bir irrasyonel sayıdır.
Tekerlek bir tam tur döndüğünde alınan yol π·d dir. π irrasyonel olduğu için sayaç hiçbir zaman "tam" bir değer ölçmez, yuvarlar. Aynı sebeple pizzanın çevresi de asla tam sayı çıkmaz.
Ekranlarda yazan inç değeri köşegendir. 16:9 bir ekranda köşegen √(16² + 9²) = √337 ile orantılıdır ve √337 irrasyoneldir. Bu yüzden mağazadaki "55 inç" kutusunun eni ve boyu yuvarlanmış değerlerdir.
Attığı gol 24, yediği 17 ise averaj 24 − 17 = +7, bir tam sayı. Ama "maç başına ortalama gol" 24/11 = 2,1818… çıkar — devirli bir ondalık, yani rasyonel. Spor haberlerinde ikisi karıştırılır.
Bir gitarda her perde, bir öncekinin ¹²√2 katı frekans verir; on iki perde sonra frekans tam iki katına çıkar ve ses bir oktav yükselir. Perdelerin birbirine eşit aralıkta olmamasının sebebi bu irrasyonel çarpandır.
40 soruda 30 doğru, 8 yanlışsa net = 30 − 8/4 = 28. Yanlışın dörtte biri alındığı için net çoğu zaman 27,25 gibi kesirli çıkar — rasyoneldir. Doğru ve yanlış sayıları ise her zaman doğal sayıdır.
30 sorudan oluşan bu test ile "Sayı Kümeleri" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. Rakam sayı değildir; on rakam vardır.
Sıfırdan başlar, negatif eleman içermez. Sayılabilen her çokluk bu kümededir.
ℕ kümesine −1, −2, −3, … eklenerek elde edilir. Her doğal sayı bir tam sayıdır.
Kesir olarak yazılabilen sayılardır. Tam sayılar, sonlu ondalıklar ve devirli ondalıklar buradadır.
Kesir olarak yazılamaz, kök dışına tam çıkmaz, ondalık açılımı sonsuz ve tekrarsızdır.
Her elemanına sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir; doğruda boşluk yoktur.
Soldan sağa doğru genişler. Tersi geçerli değildir: √2 ∈ ℝ ama √2 ∉ ℚ dur.
Bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz. İkisi birlikte ℝ yi örtüşmeden böler.
Kök işareti sayıyı irrasyonel yapmaz. İçi tam kareyse rasyonel, içi negatifse gerçek sayı bile değildir.