Doğal sayıdan gerçek sayıya: her küme bir öncekini içine alır. Bu ünitede ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ zincirini, rasyonel–irrasyonel ayrımını ve sayı doğrusunu öğreneceksin. TYT matematiğin ilk konusu, aynı zamanda en çok tuzak barındıranı.
Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir; rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. Rakam sayı değildir — harf ile kelime arasındaki ilişki gibidir. Sayılar ise özelliklerine göre kümelere ayrılır.
0, 1, 2, 3, … şeklindeki sayıların oluşturduğu kümedir.
ℕ doğal sayılar kümesine −1, −2, −3, … sayılarının eklenmesiyle oluşan kümedir.
a ve b tam sayılar, b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılardır.
a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Örnek: √2, √5, ∛3, π
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminden oluşur. Her elemanına sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir.
Bir sayının rasyonel olması için "kesirli görünmesi" gerekmez; kesir olarak yazılabilmesi yeter. Bu yüzden 5, −3 ve 0 da rasyoneldir: 5/1, −3/1, 0/1 diye yazılabilirler. Sınavda en çok bu ayrım sorulur.
Her tam sayı, paydası 1 olan bir kesir gibi yazılabilir. Bu yüzden her tam sayı rasyoneldir.
Virgülden sonrası biten her ondalık sayı kesre çevrilebilir, dolayısıyla rasyoneldir.
Virgülden sonrası sonsuz olsa bile düzenli tekrar ediyorsa kesre çevrilebilir ve rasyoneldir.
Bir sayının ondalık açılımı sonsuz olabilir ama yine de rasyonel olabilir — yeter ki bir düzen içinde tekrar etsin. 0,272727… rasyoneldir (= 3/11). İrrasyonel sayıların açılımı ise sonsuzdur ve hiçbir tekrar deseni yoktur. π = 3,14159265… asla tekrar etmez.
a ve b tam sayılar ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi ℚ' simgesiyle gösterilir. √2, √5, ∛3 ve π bu kümenin elemanlarıdır.
√9 = 3 olduğu için rasyoneldir. Ama √8 kök dışına tam çıkamaz (2√2 kalır), bu yüzden irrasyoneldir. Kökün içindeki sayı tam kare değilse sonuç irrasyoneldir.
Ondalık açılımı sonsuza gider ve hiçbir tekrar deseni oluşturmaz. √2 = 1,41421356… — istediğin kadar basamak hesapla, hiçbir zaman bitmez ve tekrar etmez.
Hiçbir a/b kesri tam olarak √2'ye eşit değildir. 22/7 sayısı π'ye yakındır ama π'ye eşit değildir — 22/7 rasyonel, π irrasyoneldir.
√−2 , √−9 gibi içinde negatif sayı bulunan kareköklü sayılar gerçek sayı belirtmez. Bunlar ne rasyonel ne irrasyoneldir; ℝ kümesinin dışındadırlar. (İleride karmaşık sayılar konusunda karşına çıkacaklar.) Ama ∛−8 = −2'dir — tek dereceli köklerde negatif sorun değildir.
Sayı kümeleri arasında ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ilişkisi vardır ve ℚ ∪ ℚ' = ℝ dir. Yani her doğal sayı aynı zamanda tam sayı, her tam sayı aynı zamanda rasyonel, her rasyonel sayı aynı zamanda gerçek sayıdır. Tersi doğru değildir.
Son satır çok önemlidir: bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz. İkisinin ortak elemanı yoktur.
Sayı doğrusu gerçek sayıların bir gösterim şeklidir. Her gerçek sayı, sayı doğrusu üzerinde bir nokta belirtir ve doğru üzerindeki her nokta bir gerçek sayıya karşılık gelir. Boşluk yoktur; bu yüzden gerçek sayılar kümesine "sürekli" denir.
10 sorudan oluşan bu test ile "Sayı Kümeleri" ünitesini ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra tam çözümü göreceksin.
Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. 10 tanedir. Rakam sayı değildir.
Sıfırdan başlar, negatif eleman içermez.
ℕ kümesine negatif tam sayıların eklenmesiyle oluşur.
Kesir olarak yazılabilen sayılar. Sonlu ve devirli ondalıklar dâhildir.
Kök dışına tam çıkamayan, açılımı tekrarsız sonsuz olan sayılar.
Her elemanına sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir.
Soldan sağa doğru genişler. Tersi geçerli değildir.
Bir sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz.
İçinde negatif sayı bulunan kareköklüler gerçek sayı belirtmez.