Aynı işlemi iki kişi yapıyor, iki farklı sonuç çıkıyor. Sebep neredeyse her zaman işlem önceliği. Bu ünitede gerçek sayılarda toplama ve çarpmanın oyun kurallarını — kapalılık, değişme, birleşme, birim eleman, ters, yutan eleman, dağılma — ve işaret kurallarını tek tek söküp takacağız.
Aşağıdaki her kural, gerçek sayılar kümesinde (ℝ) toplama ve çarpma için geçerlidir. Bir kartın üzerine tıkla: tanımı, sembolik gösterimi ve günlük hayattaki karşılığı sağda açılsın.
Gerçek sayılar kümesinde 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur. Çünkü 0 ile çarpılan her sayı 0 verir; hiçbir sayı 0 ile çarpılıp 1 edemez. Bu yüzden bir bölme işleminde payda asla 0 olamaz.
Her a, b, c ∈ ℝ için a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ve a · (b − c) = (a · b) − (a · c) dir. Aşağıdaki alan modelinde kaydırıcıları oynat: tek büyük dikdörtgenin alanı ile iki küçük dikdörtgenin alanları toplamı hep aynı çıkıyor.
Dağılma özelliğini sağdan sola okursan ortak parantez elde edersin. Sınavda süre kazandıran en pratik hamlelerden biridir:
Çarpma ve bölmede kural tek cümle: işaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir. Aşağıdaki tabloda bir hücreye tıklayınca sonucu kendin doğrulayabilirsin.
| (+) · (−) | (−) |
| (−) · (+) | (−) |
| (+) · (+) | (+) |
| (−) · (−) | (+) |
| (+) : (−) | (−) |
| (−) : (+) | (−) |
| (+) : (+) | (+) |
| (−) : (−) | (+) |
Bir pozitif ve bir negatif gerçek sayının toplamının işareti, mutlak değerce büyük olan sayının işareti ile aynı olur. (Mutlak değer: sayının işaretine bakmadan, sıfıra olan uzaklığı.)
Bir ifadede birden fazla işlem varsa sıra keyfî değildir. MEBİ özetindeki sıra şudur:
Art arda gelen toplama ve çıkarma işlemlerinden istenilen işlem önce yapılabilir. Yani 18 − 7 + 4 ifadesinde önce 18 − 7 = 11, sonra 11 + 4 = 15 yapılabileceği gibi −7 + 4 = −3 yapıp 18 − 3 = 15 de denilebilir; sonuç değişmez.
Art arda gelen çarpma ve bölme işlemlerinden önce soldaki yapılır. Bu yüzden 24 : 4 · 2 ifadesi (24 : 4) · 2 = 12'dir, 24 : (4 · 2) = 3 değildir. En sık yapılan hatalardan biri budur.
Temel işlem özellikleri sadece sınav konusu değil; market fişinden hesap makinesinin içindeki devreye kadar her yerde çalışıyor.
3 paket süt 27 TL, 3 ekmek 15 TL. Kasiyer ister 3·(9+5) desin ister 3·9 + 3·5; ödeyeceğin 42 TL değişmez. Kasa yazılımı da tam olarak bunu yapar.
48 TL'lik ürün 99 adet: 99·48 = (100−1)·48 = 4800 − 48 = 4752. Kâğıt kalem olmadan çözersin — hepsi dağılma özelliği.
Telefonun hesap makinesine 2 + 3 × 4 yazarsan 14 verir, 20 değil. Çünkü işlem önceliğine uyar: önce çarpma. Basit el makineleri sıra ile hesapladığı için 20 verebilir; bu yüzden parantez kullanmak alışkanlık olmalı.
Hesabına 250 TL yatırıp aynı gün 250 TL çekersen bakiye 0 olur: a + (−a) = 0. Bir sayının toplama işlemine göre tersi, onu sıfırlayan sayıdır.
4 kişilik tarifi tek kişiye indirirken her ölçüyü 1/4 ile çarparsın. 4 · (1/4) = 1 olduğu için 1/4, 4'ün çarpmaya göre tersidir. Tarifi tekrar 4 ile çarparsan başlangıca dönersin.
Kampanyada "0 adet" aldığın ürünün fiyatı ne olursa olsun ödeme 0'dır: a · 0 = 0. Sıfır, çarpma işleminin yutan elemanıdır — dokunduğu her çarpımı yutar.
3 kat çıkıp 5 kat daha çıkmakla, önce 5 sonra 3 çıkmak aynı kata götürür: 3 + 5 = 5 + 3. Ama çıkarmada bu geçerli değildir: 5 − 3 ile 3 − 5 aynı kat değildir.
Üç kitabı tartarken hangi ikisini önce koyduğun toplam ağırlığı değiştirmez: (a + b) + c = a + (b + c). Terazi gruplamayı umursamaz.
Bir tabloda gerçek sayıları toplayıp çarptığında sonuç yine bir gerçek sayıdır, kümenin dışına çıkmazsın. Buna kapalılık özelliği denir ve hesap tablolarının hata vermeden çalışmasının sebebidir.
16 sorudan oluşan bu test ile "Temel İşlemler" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
Herhangi iki gerçek sayının toplamı ya da çarpımı yine bir gerçek sayıdır.
Toplama ve çarpmada sayıların yerini değiştirmek sonucu değiştirmez. Çıkarma ve bölmede geçerli değildir.
Üç sayının toplamı ya da çarpımında gruplamanın şekli sonucu değiştirmez.
Toplamanın birim (etkisiz) elemanı 0, çarpmanın birim elemanı 1'dir.
a'nın toplamaya göre tersi −a, çarpmaya göre tersi 1/a'dır. 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur.
Sıfır, çarpma işleminin yutan elemanıdır.
Çarpma, toplama ve çıkarma üzerine dağılır. Ters yönde okunursa ortak çarpan parantezine alma olur.
Çarpma ve bölmede işaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir.
Art arda çarpma-bölmede soldaki önce yapılır; art arda toplama-çıkarmada istenilen önce yapılabilir.