555 sayısındaki üç tane 5'in hiçbiri aynı şeyi ifade etmiyor: biri 500, biri 50, biri 5. Rakam aynı ama durduğu yer değerini değiştiriyor. Bu ünitede bir sayıyı parçalarına ayırmayı ve o parçalarla soru çözmeyi öğreneceksin.
Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birinin o sayı içerisindeki yerine basamak denir. Beş basamaklı abcde sayısının basamakları soldan sağa şöyledir:
| Rakam | a | b | c | d | e |
|---|---|---|---|---|---|
| Basamağın adı | On Binler Basamağı |
Binler Basamağı |
Yüzler Basamağı |
Onlar Basamağı |
Birler Basamağı |
Basamak sayısı belli olan bir sayının ilk basamağındaki rakam 0 olamaz. "Üç basamaklı" denilen bir sayı 097 olamaz — o zaten 97'dir, iki basamaklıdır. Sorularda "üç basamaklı abc sayısı" ifadesi geçtiğinde a ≠ 0 koşulunu her zaman aklında tut; sayma problemlerinde puanı burası belirler.
Bu ikisini ayırt etmek, ünitenin tamamının anahtarı. Fark çok basit ama sınavda tam olarak buradan soru çıkar.
Bir sayının basamaklarında bulunan rakamların kendisi, o rakamın sayı değeridir. Yani rakama bakarsın, ne görüyorsan odur.
Bir sayının basamaklarında bulunan rakamın, bulunduğu basamak ile çarpımı o rakamın basamak değeridir. Rakamı, durduğu yerin ağırlığıyla çarparsın.
| Basamak | On Binler | Binler | Yüzler | Onlar | Birler |
|---|---|---|---|---|---|
| Sayı Değeri | a | b | c | d | e |
| Basamak Değeri | a · 10000 | b · 1000 | c · 100 | d · 10 | e · 1 |
Sayı değerlerinin toplamı = rakamlar toplamı. Basamak değerlerinin toplamı = sayının kendisi. Bu iki cümle, konunun neredeyse tamamıdır. Örneğin 4372 için sayı değerleri toplamı 4+3+7+2 = 16; basamak değerleri toplamı 4000+300+70+2 = 4372.
Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına çözümleme denir. Çözümleme yapabilmek, harfli sayı sorularının tamamını denklem hâline getirmeni sağlar.
ABCDE beş basamaklı bir sayı olmak üzere sayı şu şekillerde yazılabilir:
Kural basit: Sağda kaç rakam bırakıyorsan, soldaki parçayı 10'un o kadar kuvvetiyle çarparsın. Sağda 3 rakam bıraktıysan sol parça 1000 ile çarpılır.
Bir tam sayının sonuna eklenen bir sıfır, sayının değerini 10 katına çıkarır. Çünkü bütün rakamlar bir basamak sola kayar, yani her birinin basamak değeri 10 katına çıkar. 47 → 470 → 4700 diye gider. Ondalıklı sayılarda ise durum farklıdır: 4,7'nin sonuna sıfır eklemek (4,70) değeri değiştirmez.
İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerini değiştirdiğinde ortaya çok temiz iki sonuç çıkar. Bu iki formül, sınavda bir soruyu tek satırda bitirir.
Sonuç her zaman 11'in katıdır. Bir soruda "iki basamaklı bir sayı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin toplamı" geçiyorsa, cevap seçeneklerinde 11'e bölünmeyenleri hemen eleyebilirsin.
Sonuç her zaman 9'un katıdır. Ayrıca A = B ise fark sıfır olur; iki rakam eşitse sayı ters çevrildiğinde değişmez (33, 77 gibi).
Bu formülleri ezberlemene gerek yok, çözümlemeden 3 saniyede çıkarabilirsin:
Basamak değeri soyut bir matematik fikri değil; para saymaktan barkod okumaya kadar her gün kullandığın bir sistem.
Kasadaki parayı sayarken 3 tane 100'lük, 4 tane 10'luk, 2 tane 1'lik dersen elinde 342 TL vardır. Bu tam olarak 3·100 + 4·10 + 2 çözümlemesidir. Para sistemimiz zaten basamak sistemi üzerine kurulu.
Sayaçtaki her tekerlek bir basamaktır. En sağdaki tam tur atınca soldaki bir ilerler — çünkü 10 tane bir, 1 tane on eder. "99999'dan 100000'e geçiş" sahnesi basamak taşmasının ta kendisidir.
19,99 TL ile 20,00 TL arasında 1 kuruş var ama gözün ilk gördüğü basamak 1 ile 2 olduğu için ucuz hissettirir. Mağazalar bilerek en yüksek basamağı düşürür — beynin soldan okuduğu için işe yarar.
TC kimlik numarasının son hanesi bir kontrol rakamıdır: diğer basamaklardaki rakamlar belli bir kurala göre toplanıp hesaplanır. Yanlış yazarsan sistem anında yakalar. Barkodlar ve IBAN da aynı mantıkla çalışır.
0532 111 22 33 numarasını okurken aslında sayıyı parçalıyorsun: operatör kodu + hat numarası. Tıpkı ABCDE = 1000·AB + CDE gibi, uzun bir sayıyı anlamlı bloklara ayırmak insanın hafızasını rahatlatır.
14:35'i dakikaya çevirirken 14·60 + 35 = 875 dersin. Burada "basamak ağırlığı" 10 değil 60'tır. Basamak fikri onluk sisteme özel değil; sadece çarpan değişir.
Bilgisayarlar 10 yerine 2 tabanını kullanır: 1011 sayısı 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1 = 11 demektir. Basamak değeri mantığını anladıysan ikilik sistemi de anlamışsın demektir — tek fark çarpanların 10 yerine 2'nin kuvvetleri olması.
Bir tam sayının sonuna sıfır eklemek değeri 10 katına çıkarır. Bu yüzden %10 indirim hesaplamak çok kolaydır: fiyatın son basamağını at, kalanı fiyattan çıkar. 860 TL'nin %10'u 86 TL, indirimli fiyat 774 TL.
Soruda iki basamaklı bir sayı ve ters çevrilmiş hâli toplanıyorsa cevap kesinlikle 11'in katıdır. Şıklara bakıp 11'e bölünmeyenleri işlem yapmadan elersen çoğu zaman tek şık kalır.
18 sorudan oluşan bu test ile "Sayı Basamakları" ünitesini ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra anında geri bildirim alacaksın.
Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birinin o sayı içerisindeki yeri. Sağdan sola: birler, onlar, yüzler, binler, on binler.
Basamakta bulunan rakamın kendisidir. Sayı değerlerinin toplamı = rakamlar toplamı.
Rakamın bulunduğu basamak ile çarpımı. Basamak değerlerinin toplamı = sayının kendisi.
Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılması. Harfli soruları denkleme çevirmenin yolu budur.
Sağda kaç rakam bırakıyorsan sol parçayı 10'un o kuvvetiyle çarparsın. 100·ABC + DE ve 10·ABCD + E de aynı mantıktır.
Bir tam sayının sonuna eklenen bir sıfır, sayının değerini 10 katına çıkarır.
Sonuç her zaman 11'in katıdır. Şık elemede kullan.
Sonuç her zaman 9'un katıdır. A = B ise fark sıfırdır.
Basamak sayısı belli olan bir sayının ilk basamağındaki rakam 0 olamaz. Sayma sorularında belirleyicidir.