34967 sayısı 8'e bölünür mü? Uzun bölme yapmana gerek yok — son üç basamağına bakman yeter. Her bölen, sayının farklı bir yerine bakmanı ister: kimi son rakama, kimi son iki basamağa, kimi de bütün rakamların toplamına.
Aşağıya istediğin sayıyı yaz. Her kural için hangi rakamlara bakıldığını, sayının o bölene tam bölünüp bölünmediğini ve bölümünden kalanı aynı anda göreceksin. Hazır düğmelerden PDF'teki örneği de deneyebilirsin.
Birden fazla bölünebilme kuralının uygulanması gereken sorularda önce varsa birler basamağı ile ilgili kurala, ardından son iki basamakla ilgili kurala, ardından son üç basamakla ilgili kurala, daha sonra da tüm basamaklarla ilgili kurala bakılır.
Mantığı basit: en az bilgi gerektiren kuraldan başlarsın. Bilinmeyen rakam içeren sorularda birler basamağı belirlenmeden diğer kurallar zaten çözülemez.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam çift ise bu sayı 2 ile tam bölünür. Bir doğal sayı 2 ile tam bölünemiyor ise o sayının 2 ile bölümünden kalan 1 olur.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ya da 5 ise bu sayı 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, son basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ise bu sayı 10 ile tam bölünür. Sayının birler basamağındaki rakam 0'dan farklı ise sayının 10 ile bölümünden kalan o rakam olur.
Bir doğal sayının son iki basamağını oluşturan iki basamaklı sayı 4'ün bir katı ise bu sayı 4 ile tam bölünür. Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağını oluşturan iki basamaklı sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
Bir doğal sayının son üç basamağını oluşturan üç basamaklı sayı 8'in katı ise bu sayı 8 ile tam bölünür. Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, son üç basamağını oluşturan üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Neden son basamaklar yetiyor? Çünkü 100 sayısı 4'ün, 1000 sayısı da 8'in katıdır. Yüzler ve üstündeki her basamak zaten tam bölünür; geriye yalnızca son basamaklar kalır.
Bir doğal sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise bu sayı 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
Bir doğal sayının rakamları toplamı 9'un katı ise bu sayı 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Rakamlar toplamı hâlâ büyükse işlemi tekrarlayabilirsin: 29 → 2 + 9 = 11 → 1 + 1 = 2. Kalan yine 2 çıkar.
A sayısı bir k sayısına bölünüyorsa, k'nin bütün bölenlerine de tam bölünür.
Bir doğal sayının 11 ile tam bölünebilmesi için sayının rakamları sağdan sola doğru (+), (−), (+), (−) … ile işaretlenerek toplanır. Bu toplam 11'in katı ise sayı 11 ile tam bölünür.
Beş basamaklı abcde sayısının 11 ile kalanını bulmak için + − + − + şeklinde işaretlenir.
İşleminin sonucu 11'e bölünür, çıkan sonuç kalanı verir.
11 ile bölünebilme kuralı incelenirken sonuç negatif çıkarsa, çıkan sonuca 11'in katları eklenip kalan bulunur.
Örneğin sonuç −7 çıkarsa −7 + 11 = 4 alınır; kalan 4'tür. Kalan hiçbir zaman negatif olamaz.
Tek bir sayıyı sekiz kuralın hepsinden geçirdiğimizde ne oluyor? Aşağıdaki tablo, kitaptaki çözümün birebir kendisi. Yukarıdaki tarayıcıda başka sayılarla da aynı adımları izleyebilirsin.
7 tek sayı olduğundan kalan 1'dir.
3 + 4 + 9 + 6 + 7 = 29, 29'un 3 ile bölümünden kalan 2 olduğundan.
Son iki basamağı 67'nin 4 ile bölümünden kalan 3 olduğundan.
Birler basamağı 7'nin 5 ile bölümünden kalan 2 olduğundan.
Son üç basamağı 967'nin 8 ile bölümünden kalan 7 olduğundan.
3 + 4 + 9 + 6 + 7 = 29, 29'un 9 ile bölümünden kalan 2 olduğundan.
Birler basamağı 7 olduğundan.
34967 → (3 + 9 + 7) − (4 + 6) = 9 olduğundan.
Üç arkadaş 852 TL'lik hesabı bölüşecek. Kuruş kalır mı? 8 + 5 + 2 = 15, 15 üçün katı → 852 tam bölünür, kişi başı 284 TL. Hesap makinesi çıkarmadan rakamları toplamak yeterli.
Bir yılın artık yıl olup olmadığına bakarken önce 4'e bölünüp bölünmediğine bakılır. 2024 → son iki basamağı 24, 4'ün katı → artık yıl. Bunun için dört haneli sayıyı bölmene gerek yok, son iki basamak yeter.
Depoya 3752 kutu geldi, 8'erli paletlere dizilecek. Tam bölünür mü? Son üç basamak 752, 752 = 8 · 94 → tam bölünür, artan kutu olmaz. Lojistikte bu hesap her gün yapılır.
Marketteki fiyatların çoğu 0 veya 5 ile biter. Sebebi bozuk para kolaylığı: birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür, yani 5'liklerle rahatça ödenir.
Turnuvaya 46 takım katılıyor, eşleşme yapılacak. 6 çift olduğundan 46 sayısı 2 ile tam bölünür → herkes bir rakip bulur. 47 olsaydı bir takım bay geçerdi.
Kitapların ISBN numarası, barkodlar ve banka hesap numaraları kontrol hanesi taşır. Sistem rakamları belirli bir düzende toplayıp bölünebilirliği kontrol eder; yanlış yazılan tek bir rakam bile bu dengeyi bozar ve hata yakalanır. 11 kuralındaki + − + − düzeni bu tür kontrollerin temel fikridir.
Sınıfta 30 öğrenci var, gruplara ayıracaksın. 30 sayısı 2, 3, 5 ve 10 ile bölünür (rakamları toplamı 3, son rakamı 0) → 2'şerli, 3'erli, 5'erli ya da 10'arlı gruplar artansız kurulabilir.
Onluk sistemde çalıştığımız için birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. 2350 mm kaç cm? Son rakam 0 → doğrudan 235 cm. Sıfır atmak aslında 10'a bölmektir.
Bir çarpma sonucunu kontrol etmenin eski bir yolu vardır: iki çarpanın rakam toplamlarını 9 ile bölüp kalanlara bakmak. Sonucun kalanı uyuşmuyorsa işlemde hata vardır — bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir kuralının pratik kullanımı.
22 sorudan oluşan bu test ile "Bölünebilme Kuralları 1" ünitesini ne kadar kavradığını gör.
2: birler basamağındaki rakam çift ise tam bölünür; bölünemiyorsa kalan 1'dir. 5: birler basamağı 0 ya da 5 ise tam bölünür; kalan, son rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir. 10: birler basamağı 0 ise tam bölünür; 0'dan farklı ise kalan o rakamdır.
4: son iki basamağını oluşturan iki basamaklı sayı 4'ün katı ise tam bölünür; kalan da o iki basamaklı sayının 4 ile bölümünden kalanına eşittir. 8: son üç basamağını oluşturan üç basamaklı sayı 8'in katı ise tam bölünür; kalan da o üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalanına eşittir.
3: rakamları toplamı 3'ün katı ise tam bölünür; kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir. 9: rakamları toplamı 9'un katı ise tam bölünür; kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.
Rakamlar sağdan sola (+), (−), (+), (−) … ile işaretlenerek toplanır. Bu toplam 11'in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Beş basamaklı abcde sayısında + − + − + işaretlenir; sonuç 11'e bölünür ve çıkan sonuç kalanı verir. Sonuç negatif çıkarsa 11'in katları eklenip kalan bulunur.
Birden fazla bölünebilme kuralının uygulanması gereken sorularda önce varsa birler basamağı ile ilgili kurala, ardından son iki basamakla ilgili kurala, ardından son üç basamakla ilgili kurala, daha sonra da tüm basamaklarla ilgili kurala bakılır.
A sayısı bir k sayısına bölünüyorsa, k'nin bütün bölenlerine de tam bölünür. Örnek: 12'nin katı olan sayılar 2'nin, 3'ün, 4'ün ve 6'nın da katıdır.
2 ile kalan 1 · 3 ile kalan 2 · 4 ile kalan 3 · 5 ile kalan 2 · 8 ile kalan 7 · 9 ile kalan 2 · 10 ile kalan 7 · 11 ile kalan 9. Rakamlar toplamı 29, son iki basamak 67, son üç basamak 967, işaretli toplam (3+9+7) − (4+6) = 9.