Her sayı daha küçük sayıların çarpımı olarak yazılabilir — ama bir yere kadar. Sonunda artık bölünemeyen sayılara varırsın: asal sayılar. Bunlar matematiğin atomlarıdır. Üstelik banka şifrenden mesajlaşma uygulamana kadar her şeyin güvenliği bu sayıların bir özelliğine dayanır.
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük tam sayılara asal sayılar denir. Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, … şeklinde devam eder ve hiç bitmez.
2 sayısı en küçük asal sayıdır ve 2'den başka çift asal sayı yoktur. Sebebi basit: her çift sayı 2'ye bölünür, yani 1 ve kendisinden başka bir böleni daha olur. Bu yüzden 2, asal sayıların içinde tek başına bir istisnadır.
Negatif asal sayı yoktur. Tanım "1'den büyük tam sayılar" diyor; bu yüzden −3, −7 gibi sayılar asal değildir. Aynı sebeple 0 ve 1 de asal değildir — 1'in tek bir pozitif böleni vardır, tanımdaki "1 ve kendisi" iki ayrı sayı olmalıdır.
Ardışık tam sayı olan asal sayılar sadece 2 ve 3'tür. Çünkü ardışık iki sayıdan biri mutlaka çifttir; 2 dışında çift asal olmadığı için başka ardışık asal ikilisi bulunamaz. Bu küçük bilgi, sınavda doğrudan soru olarak çıkar.
Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için karekökünden küçük asal sayılara bölmen yeter. 97 için karekök yaklaşık 9,8'dir; 2, 3, 5 ve 7'ye bölünmüyorsa 97 asaldır.
Neden? Eğer sayının karekökünden büyük bir böleni varsa, onun eşi olan diğer bölen mutlaka karekökten küçüktür. Yani karekökün altında hiçbir bölen bulamadıysan, üstünde de bulamazsın. Sınavda en çok tuzağa düşülen sayı 91'dir — asal gibi durur ama 7 · 13'tür.
2200 yıl önce Eratosthenes şunu fark etti: asalları tek tek aramak yerine asal olmayanları eleyebilirsin. Geriye ne kalırsa asaldır. Aşağıdaki düğmeye basıp 1'den 100'e kadar bu eleme işlemini izle.
Bu listeyi ezberlemek zorunda değilsin ama ilk 10 tanesini tanımak sınavda çok zaman kazandırır. Dikkat edilecek tuzaklar: 1 asal değildir, 9 asal değildir (3·3), 51 asal değildir (3·17), 57 asal değildir (3·19), 91 asal değildir (7·13).
1'den başka pozitif ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara aralarında asal sayılar denir. Dikkat: bu, sayıların kendisinin asal olması demek değildir — bir ilişki tanımıdır, tek bir sayının özelliği değil.
1 ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır. Çünkü 1'in tek pozitif böleni yine 1'dir; ortak bölen 1'den başkası olamaz.
Aralarında asal sayılar asal olmayabilirler. Örneğin 8 ve 9 aralarında asaldır ama ikisi de asal sayı değildir. Konunun en çok karıştırılan noktası budur.
Ardışık tam sayılar aralarında asaldır. n ile n+1 sayılarının ortak böleni olsaydı, bu bölen aradaki farkı yani 1'i de bölmek zorunda kalırdı.
Ardışık tek tam sayılar aralarında asaldır. Aralarındaki fark 2'dir; ikisi de tek olduğu için 2 ortak bölen olamaz, geriye sadece 1 kalır. Örneğin 15 ve 17.
Ardışık çift tam sayılar 2'ye bölündükleri için aralarında asal değillerdir. 8 ve 10 sayılarının ortak böleni 2'dir; bu yüzden aralarında asal olamazlar.
Aralarında asallığın tek cümlelik testi: iki sayının EBOB'u 1 ise aralarında asaldır. Bu bakış açısı ileride EBOB-EKOK konusunda çok işine yarayacak.
Aşağıdaki iki soru, bu konunun sınavda nasıl çıktığını çok iyi gösteriyor. Önce kendin dene, sonra adımları aç.
a, b ve c asal sayılardır.
Buna göre a + b · c ifadesinin değerini bulunuz.
2a + 3b ile 2a − 3b aralarında asal sayılar olmak üzere
eşitliği veriliyor. Buna göre a değerini bulunuz.
Bu konu, listedeki en "soyut" görünen ama pratikte en çok kullanılan konudur. İnternete her bağlandığında asal sayılar arka planda çalışıyor.
İki büyük asal sayıyı çarpmak kolaydır; ama sonucu geri çarpanlarına ayırmak, sayı yeterince büyükse en güçlü bilgisayarlarla bile yıllar sürer. İnternet bankacılığı, alışveriş siteleri ve mesajlaşma uygulamaları güvenliğini tam olarak bu zorluğa dayandırır. Tarayıcındaki kilit simgesi bunun göstergesidir.
Birbirine geçen iki dişlinin diş sayıları aralarında asal seçilir. Böylece aynı iki diş sürekli üst üste gelmez, aşınma bütün dişlere eşit dağılır ve çark daha uzun ömürlü olur. 20 ve 30 dişli seçersen hep aynı dişler eşleşir; 20 ve 21 seçersen sıra herkese gelir.
Bazı ağustos böceği türleri topraktan tam 13 ya da 17 yılda bir çıkar — ikisi de asal. Böylece 2, 3, 4 veya 6 yıllık döngüsü olan avcılarla nadiren karşılaşırlar. Asal sayı seçmek, evrimin bulduğu bir hayatta kalma taktiğidir.
İki kişiden biri 4 günde bir, diğeri 6 günde bir nöbet tutuyorsa 12 günde bir çakışırlar. Ama biri 4, diğeri 7 günde bir tutuyorsa — aralarında asal oldukları için — çakışma ancak 28 günde bir olur. Nöbet çizelgesi yapanlar bunu bilerek kullanır.
Bir davulcu 3'lük, diğeri 4'lük çalarsa desen 12 vuruşta bir tekrar eder. 5'e karşı 7 çalarlarsa tekrar 35 vuruş sonra gelir; kulak bunu "hiç tekrar etmiyor" diye algılar. Bu yüzden karmaşık ritimler aralarında asal sayılarla kurulur.
Büyük dosyalar parçalara ayrılıp gönderilirken, parçaların doğru geldiğini kontrol eden karma (hash) fonksiyonları asal sayılara dayanır. Asal sayılarla bölmek, sonuçların çakışma ihtimalini en aza indirir.
91, 51, 57 ve 87 sayıları asal gibi durur ama değildir (7·13, 3·17, 3·19, 3·29). Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katıysa sayı asal olamaz — 51 ve 57 bu şekilde saniyede elenir.
Bir kesir en sade hâline geldiğinde payı ile paydası aralarında asaldır. 12/18'i sadeleştirip 2/3 elde ettiğinde, artık ortak bölen kalmadığını yani aralarında asal olduklarını anlarsın. Tarifi ikiye bölerken yaptığın işlem tam olarak budur.
Bilim insanları uzaya gönderdikleri mesajlarda asal sayı dizileri kullanır. Çünkü asal sayılar hiçbir doğa olayının rastgele üretemeyeceği bir desendir; onları gören bir uygarlık, mesajın bilinçli olarak gönderildiğini anlar.
18 sorudan oluşan bu test ile "Asal ve Aralarında Asal Sayılar" ünitesini ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra anında geri bildirim alacaksın.
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük tam sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
2 en küçük asal sayıdır ve 2'den başka çift asal sayı yoktur. Bu yüzden tek istisnadır.
Negatif asal sayı yoktur. 0 ve 1 de asal değildir; tanım "1'den büyük" der.
Ardışık tam sayı olan asal sayılar sadece 2 ve 3'tür. Farkı 1 olan asal ikilisi sorularında anahtardır.
1'den başka pozitif ortak böleni olmayan pozitif tam sayılar. Yani EBOB'ları 1'dir.
Aralarında asal sayılar asal olmayabilirler. 8 ve 9 aralarında asaldır ama ikisi de asal değildir.
Ardışık tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar aralarında asaldır.
Ardışık çift tam sayılar 2'ye bölündükleri için aralarında asal değillerdir. Ortak bölenleri en az 2'dir.
1 ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır. Ama 1'in kendisi asal sayı değildir.