Önce f,
sonra g.
İki fonksiyonu arka arkaya çalıştırmaya bileşke, yapılan işi geri almaya ters fonksiyon diyoruz. İkisi de tek bir cümlede birleşiyor: fof⁻¹ = I — bir fonksiyonun tersiyle bileşkesi birim fonksiyondur.
Bileşke, iki fonksiyonu peş peşe bağlamaktır: x önce f'e girer, f'in çıkardığı sonuç g'ye girer. Gösterimdeki sıra ile işlem sırasının ters olması bu ünitenin ilk tuzağıdır.
A, B, C boş kümeden farklı birer küme olmak üzere f: A ⟶ B ve g : B ⟶ C fonksiyonları verilsin. A kümesinin elemanlarını, f ve g fonksiyonlarıyla C kümesinin elemanları ile eşleyen fonksiyona bileşke fonksiyon denir.
∀x ∈ A için h(x) = g[f(x)] şeklinde tanımlanan h: A ⟶ C fonksiyonuna f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir. gοf : A → C, (gοf)(x) = g[f(x)] şeklinde gösterilir ve "g bileşke f" olarak okunur.
Venn şemasında f, g ve gοf fonksiyonları gösterilmiştir. A = {–3, –2, 0, 2} kümesindeki her eleman önce f ile B'ye, oradan g ile C'ye taşınır; baştaki eleman ile en sondaki eleman eşleştirilerek gοf yazılır. Bileşke fonksiyonlarda işlemler sağdan sola doğru yapılır.
f: A → B ve g: B → C fonksiyonları bire bir ise gοf : A → C fonksiyonu da bire birdir. f: A → B ve g: B → C fonksiyonları örten ise gοf : A → C fonksiyonu da örtendir. Yani 42. ünitedeki iki özellik bileşkeye olduğu gibi taşınır.
Bileşkenin üç özelliği var ve en çok soru birincisinden çıkıyor: sıra önemlidir.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Hangi fonksiyonun önce çalıştığı sonucu değiştirir.
Bir f fonksiyonunun birim fonksiyon (I(x) = x) ile bileşkesi kendisine eşittir. I hiçbir şeyi değiştirmediği için hangi tarafa yazılırsa yazılsın sonuç f olur.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. Sıra korunduğu sürece parantezi nereye koyduğun sonucu değiştirmez.
Ters fonksiyon, f'in götürdüğü yerden geri getiren fonksiyondur. Ama her fonksiyonun tersi yoktur — önce bir şart aranır.
f : A → B, y = f(x) bire bir ve örten fonksiyonu verilsin. ∀x ∈ A ve ∀y ∈ B için (gοf)(x) = x ve (fοg)(y) = y eşitliklerini sağlayan g : B → A fonksiyonuna f'nin ters fonksiyonu denir ve g(x) = f⁻¹(x) şeklinde gösterilir. f: A → B ve f⁻¹ : B → A yani y = f(x) ise x = f⁻¹(y) olur. (x, y) ∈ f ise (y, x) ∈ f⁻¹ olur.
Bir fonksiyonun tersinin var olabilmesi için bire bir ve örten olması gerekir. f : A → B olmak üzere y = f(x) bire bir ve örten ise f(x) fonksiyonunun tersi de bir fonksiyondur. 45. ünitedeki yatay doğru testi tam olarak bunu denetler.
Bire bir ve örten bir f(x) fonksiyonunun tersi bulunurken x, y cinsinden yazılır. y = f(x) ise x = f⁻¹(y) olduğundan f⁻¹(y) elde edilir. Değişken olarak y yerine x yazıldığında f⁻¹(x) bulunmuş olur.
f : ℝ – {–d/c} → ℝ – {a/c} olmak üzere f(x) = (ax + b)/(cx + d) kuralı ile verilen fonksiyonun tersi yukarıdaki gibi olur. Pratik okunuşu: a ile d yer değiştirip ikisinin de işareti çevrilir, b ve c olduğu gibi kalır. Kuralı ezberlemek yerine üç adımı uygulamak da aynı sonucu verir.
Tersin üç cebirsel özelliği ve bir de grafik özelliği var. Grafik özelliği, soruların çoğunu tek bakışta çözer.
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi alınırsa sonuç birim fonksiyon olur. Yani önce yapıp sonra geri alırsan başladığın yere dönersin.
Bileşkesi alınmış iki fonksiyonun tersi alındığında fonksiyonların tek tek tersleri yer değiştirip bileşke işlemine tabi tutulur. Sıranın ters dönmesi kritik: en son yapılan iş ilk geri alınır.
Fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir. Geri aldığın işi bir kez daha geri alırsan başladığın fonksiyona dönersin.
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f⁻¹(x) fonksiyonunun grafiği analitik düzlemde y = x doğrusuna göre simetriktir. Bunun sebebi doğrudan tanımdır: (x, y) ∈ f ise (y, x) ∈ f⁻¹ olur; koordinatların yer değiştirmesi de zaten y = x doğrusuna göre yansımaktır. Bu yüzden f ile f⁻¹'in kesiştiği noktalar çoğu zaman y = x doğrusu üzerindedir; f(a) = a olan değerler aranarak bulunur.
Önce %20 indirim f(x) = 0,8x, sonra 50 lira kupon g(x) = x – 50 uygulanırsa ödeme (gοf)(x) = 0,8x – 50 olur. Sıra değişirse (fοg)(x) = 0,8x – 40 çıkar — 10 lira fark, tam olarak fοg ≠ gοf demek.
Türkçeden İngilizceye çeviren fonksiyonun tersi, İngilizceden Türkçeye çevirendir. İkisini arka arkaya çalıştırdığında başladığın cümleye dönmen beklenir: fof⁻¹ = I.
Önce çorap, sonra ayakkabı giyersin; çıkarırken ters sırayla önce ayakkabı çıkar. Bu tam olarak (fοg)⁻¹ = g⁻¹οf⁻¹ kuralıdır: en son yapılan iş ilk geri alınır.
Bir klasörü zip'lemek f, açmak f⁻¹'dir. Zipleyip hemen açarsan aynı klasörü elde edersin — birim fonksiyon. Ama iki farklı klasör aynı zip'i verseydi geri açma imkânsız olurdu; tersin var olması için bire birlik bu yüzden şart.
Celsius'tan Fahrenheit'a çeviren f(x) = 1,8x + 32 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (x – 32)/1,8 dir. Üç adım: y yaz, x'i çöz, değişkenin adını x koy.
Fotoğrafa önce filtre, sonra kırpma uygularsan sonuç, tersi sırayla uygulamakla aynı olmaz. Uygulamaların sırası sonucu değiştiriyorsa orada bileşke vardır ve değişme özelliği yoktur.
"Öğrenci → numara" bire bir ve örtense tersi de bir fonksiyondur: numaradan öğrenciye gidebilirsin. İki öğrenciye aynı numara verilseydi bire birlik bozulur ve geri dönüş imkânsız olurdu.
Üç hamle yaptıysan geri al tuşuna üç kez basman gerekir ve son hamleden başlayarak geri alınır. Bileşkenin tersi kuralının en somut hâli.
Bakiyeyi biniş sayısına çeviren f(x) = 150 – 15x fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (150 – x)/15 tir: kalan paraya bakıp kaç kez bindiğini bulursun.
Bileşke fonksiyon tanımı ve sağdan sola işlem sırası, fοg ≠ gοf, birim fonksiyonla bileşke, ters fonksiyonun varlık şartı, bulunuşu, üç özelliği ve y = x simetrisi üzerine 32 soru.
f: A ⟶ B ve g: B ⟶ C fonksiyonları verilsin. ∀x ∈ A için h(x) = g[f(x)] şeklinde tanımlanan h: A ⟶ C fonksiyonuna f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir.
gοf : A → C, (gοf)(x) = g[f(x)] şeklinde gösterilir ve "g bileşke f" olarak okunur. Bileşke fonksiyonlarda işlemler sağdan sola doğru yapılır.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Hangi fonksiyonun önce çalıştığı sonucu değiştirir.
Bir f fonksiyonunun birim fonksiyon (I(x) = x) ile bileşkesi kendisine eşittir.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır; sıra korunduğu sürece parantezin yeri sonucu değiştirmez.
f: A → B ve g: B → C fonksiyonları bire bir ise gοf de bire birdir. f ve g örten ise gοf de örtendir.
f : A → B bire bir ve örten olmak üzere bu eşitlikleri sağlayan g : B → A fonksiyonuna f'nin ters fonksiyonu denir ve g(x) = f⁻¹(x) şeklinde gösterilir.
Bir fonksiyonun tersinin var olabilmesi için bire bir ve örten olması gerekir. y = f(x) bire bir ve örten ise f(x) fonksiyonunun tersi de bir fonksiyondur.
f: A → B ve f⁻¹ : B → A yani y = f(x) ise x = f⁻¹(y) olur.
Fonksiyonun tersi bulunurken x, y cinsinden yazılır. y = f(x) ise x = f⁻¹(y) olduğundan f⁻¹(y) elde edilir. Değişken olarak y yerine x yazıldığında f⁻¹(x) bulunmuş olur.
Tersiyle bileşkesi birim fonksiyondur; bileşkenin tersinde fonksiyonlar yer değiştirir; tersin tersi kendisidir.
f : ℝ – {–d/c} → ℝ – {a/c} olmak üzere geçerlidir. Grafik olarak y = f(x) ile y = f⁻¹(x) analitik düzlemde y = x doğrusuna göre simetriktir.