x yerine
1 ya da 0 yaz.
Polinomlarda soruların büyük kısmı tek bir hamleyle çözülür: katsayılar toplamı için x yerine 1, sabit terim için x yerine 0. Geri kalanı derece kurallarını bilmek — hangi işlemde derecenin ne olacağını.
Polinom, x'in doğal sayı kuvvetlerinden oluşan terimlerin toplamıdır. Bir polinoma bakınca üç şeyi hemen okuyabilmek gerekir.
x bir değişken, n ∈ ℕ ve a₀, a₁, a₂, a₃, …, aₙ birer gerçek sayı olmak üzere yukarıdaki biçimdeki ifadeye gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom (çok terimli) adı verilir. x değişkenine bağlı polinomlar P(x), Q(x), R(x), … gibi ifadelerle gösterilir.
a₀, a₁, a₂, a₃, …, aₙ gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
x değişkeninin aldığı en büyük üsse polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.
Bir polinomun en büyük dereceli teriminin katsayısına polinomun baş katsayısı denir.
a₀ ifadesine polinomun sabit terimi denir.
Polinomu açıp katsayıları tek tek toplamaya gerek yok. x'e uygun sayı vererek istenen toplamı doğrudan elde edebilirsin.
Bir polinomun katsayılar toplamı, polinom değişkeninin yerine 1 yazılarak bulunur. Sebebi açık: 1'in her kuvveti 1 olduğu için geriye yalnız katsayılar kalır.
Bir polinomun sabit terimi, polinom değişkeninin yerine 0 yazılarak bulunur. x'li bütün terimler sıfırlanır, geriye a₀ kalır.
P(x) polinomunun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı [P(1) + P(–1)]/2 dir. Toplayınca tek dereceli terimler birbirini götürür.
P(x) polinomunun tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı [P(1) – P(–1)]/2 dir. Çıkarınca bu kez çift dereceli terimler götürür.
"P(2x – 1) polinomunun katsayılar toplamı" sorulduğunda x yerine değil, parantezin içini 1 yapan sayı yazılır: 2x – 1 = 1 ⇒ x = 1. Ama "P(x – 3)'ün katsayılar toplamı" için x – 3 = 1 ⇒ x = 4 alınır. 41. ünitedeki "parantezi hedefe eşitle" kuralı burada da geçerlidir.
Sabit polinom ile sıfır polinomu birbirine çok benzer görünür ama dereceleri konusunda taban tabana zıttır. Aradaki fark sık soruluyor.
a₀ sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere P(x) = a₀ ise P(x) polinomuna sabit polinom denir ve derecesi sıfırdır.
P(x) = 0 polinomuna sıfır polinomu denir ve derecesi belirsizdir. Yani derecesi 0 değildir — "belirsiz" ayrı bir durumdur.
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir. P(x) = Q(x) ise bütün karşılıklı katsayılar eşittir.
İşlemlerin kendisi zor değil; sorular genellikle sonucu hesaplatmak yerine sonucun derecesini soruyor.
Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
P(x) · Q(x) işlemi yapılırken P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her terimiyle çarpılır ve elde edilen ifadelerin cebirsel toplamı x değişkeninin azalan ya da artan kuvvetlerine göre sıralanarak yazılır. k · P(x) işlemi yapılırken P(x) polinomunun her terimi k sayısı ile çarpılır.
P(x) = 6x³ – 4x² + 5 ve Q(x) = –2x² + 5x veriliyor. R(x) = P(x) · Q(x) olduğuna göre R(x) polinomu ve derecesi:
R(x) polinomunun derecesi der[R(x)] = 5 olur. Bu, derece kuralıyla da doğrulanır: 3 + 2 = 5.
Kenarı 20 cm olan kareden köşelerden x cm kesip kutu yaparsan hacim V(x) = x(20 – 2x)² olur. Açılınca üçüncü dereceden bir polinom çıkar; derecesi 1 + 2 = 3 kuralıyla da bulunur.
Eni (x + 3), boyu (2x – 1) olan panonun alanı iki polinomun çarpımıdır: 2x² + 5x – 3. Birinci dereceden iki ifadenin çarpımı ikinci dereceden çıkıyor — tam olarak m + n kuralı.
Gelir G(x) = 3x² + 20x, gider M(x) = x² + 8x + 150 ise kâr G(x) – M(x) = 2x² + 12x – 150 olur. Aynı dereceli terimlerin katsayıları çıkarılıyor.
Yukarı atılan bir topun yüksekliği h(t) = –5t² + 20t + 1 ise sabit terim 1, topun elinden çıktığı andaki yüksekliktir. h(0) hesaplamak tam olarak sabit terimi okumaktır.
Puanı P(x) = 4x³ – 2x² + 5x – 3 gibi bir kural veriyorsa katsayılar toplamı P(1) = 4 tür. Tek tek toplamaya gerek yok: x yerine 1 yazmak yetiyor.
Kullanımdan bağımsız, hep 200 lira ödediğin bir abonelik P(x) = 200 sabit polinomudur ve derecesi sıfırdır. Hiç ödemediğin bir abonelik ise sıfır polinomudur; derecesi belirsizdir.
İki kantinin fiyat kuralları farklı yazılmış ama her miktar için aynı tutarı veriyorsa eşit polinomlardır: karşılıklı katsayıları eşitleyerek bunu kanıtlayabilirsin.
Odanın alanı bir polinomsa ve halının alanı da bir polinomsa, boşta kalan alan ikisinin farkıdır. Dereceleri eşitse baş katsayılar götürebilir ve sonucun derecesi düşebilir.
Biriktirdiğin para P(x) ise ve iki katını hedefliyorsan 2 · P(x) yazarsın. Sayı ile çarpmak dereceyi değiştirmez; yalnız bütün katsayılar iki katına çıkar.
Polinom tanımı, derece, baş katsayı ve sabit terim; P(1) ile katsayılar toplamı, P(0) ile sabit terim, çift ve tek dereceli katsayı toplamları; sabit, sıfır ve eşit polinomlar ile dört işlemde derece kuralları üzerine 32 soru.
x bir değişken, n ∈ ℕ ve a₀, …, aₙ birer gerçek sayı olmak üzere bu biçimdeki ifadeye gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom (çok terimli) adı verilir.
x değişkeninin aldığı en büyük üsse polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.
Bir polinomun en büyük dereceli teriminin katsayısına baş katsayı denir. a₀ ifadesine ise polinomun sabit terimi denir.
Bir polinomun katsayılar toplamı, polinom değişkeninin yerine 1 yazılarak bulunur.
Bir polinomun sabit terimi, polinom değişkeninin yerine 0 yazılarak bulunur.
P(x) polinomunun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı [P(1) + P(–1)]/2, tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı [P(1) – P(–1)]/2 dir.
a₀ sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere P(x) = a₀ ise P(x) polinomuna sabit polinom denir ve derecesi sıfırdır.
P(x) = 0 polinomuna sıfır polinomu denir ve derecesi belirsizdir. Sabit polinomun derecesi sıfır, sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir.
Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
P(x) · Q(x) işlemi yapılırken P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her terimiyle çarpılır ve elde edilen ifadelerin cebirsel toplamı x in azalan ya da artan kuvvetlerine göre sıralanarak yazılır.
Toplama-çıkarmada derece büyük olandır (m ≠ n iken); dereceler eşitse baş katsayılar götürürse sonuç daha düşük dereceli çıkabilir.