Aynı x'te
değerleri işle.
İki fonksiyonu toplamak, çıkarmak, çarpmak ya da bölmek göründüğünden basit: aynı x için f(x) ve g(x) değerlerini bulup o işlemi yapmak. Tek dikkat edilecek yer, işlemin nerede yapılabildiği — yani tanım kümesi.
İki fonksiyonun toplamı, her x için değerlerinin toplamıdır. Kuralları da doğrudan toplayabilirsin — sonuç aynı fonksiyondur.
f : A → ℝ, g : B → ℝ iki fonksiyon ve A ∩ B ≠ ∅ olsun. Yukarıdaki biçimde tanımlanmış f + g fonksiyonu f ve g fonksiyonlarının toplamı, f – g fonksiyonu ise f ve g fonksiyonlarının farkıdır. Fonksiyonlar arasında toplama ve çıkarma işlemi yalnızca tanım kümelerinin ortak elemanları arasında yapılabilir.
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² – 3 olsun.
(f + g)(x) = 2x + 1 + x² – 3 = x² + 2x – 2 ve
(f – g)(x) = 2x + 1 – (x² – 3) = –x² + 2x + 4 olur.
Çıkarmada g'nin bütün terimlerinin işaretinin değiştiğine
dikkat et; parantezi unutmak en sık yapılan hatadır.
Çarpma toplama kadar rahattır; bölmede ise bir şart daha eklenir. Bu şart, sorularda "tanım kümesinde bulunmayan değer" olarak karşına çıkar.
f · g çarpım fonksiyonu ve f/g bölüm fonksiyonları yukarıdaki gibi tanımlanmıştır. Bölüm fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x değerleri tanım kümesinden çıkarılır.
Fonksiyonlar arasında çarpma ve bölme işlemi yalnızca tanım kümelerinin ortak elemanları arasında yapılabilir.
Bölme işleminde bölen fonksiyonu sıfır yapan değer tanım kümesinde bulunmamalıdır. Örneğin g(x) = x – 3 iken f/g fonksiyonu x = 3 te tanımlı değildir.
Sabitle çarpım, dört işlemin en sade hâli: her değeri aynı sayıyla çarparsın. Grafikte bunun karşılığı düşey yönde gerilme, sıkışma ya da x eksenine göre yansımadır.
c ∈ ℝ olmak üzere ∀ x ∈ A için (c · f)(x) = c · f(x) (c ∈ ℝ) fonksiyonu bir fonksiyonun sabit sayı ile çarpımı olarak tanımlanıyor.
f(x) = x² için 3 · f(x) = 3x² iken f(3x) = (3x)² = 9x² olur. Birincisinde sabit sayı sonucu, ikincisinde girdiyi çarpar. Sabitle çarpım bu ünitenin konusu; ikincisi 41. ünitedeki "parantezin içine ne koyduğun" meselesidir.
Dört işlemin dördünde de ortak kural şu: sonuç fonksiyonu, iki fonksiyonun da tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır. Bölmede buna bir şart daha eklenir.
Tanımın en başında A ∩ B ≠ ∅ yazar. İki fonksiyonun tanım kümelerinin hiç ortak elemanı yoksa hiçbir x için işlem yapılamaz; ortada bir toplam fonksiyonu da olmaz.
İki doğrusal fonksiyonun toplamı yine doğrusaldır ((2x + 1) + (3x – 4) = 5x – 3) ama çarpımı ikinci dereceden olur ((2x)(3x) = 6x²). Bu yüzden çarpımda grafiğin biçimi tamamen değişebilir.
f(x) = x² – 9 ve g(x) = x – 3 iken (f/g)(x) = (x² – 9)/(x – 3) = x + 3 diye sadeleştirilebilir. Ama x = 3 yine de tanım kümesinde değildir; bölen fonksiyonu sıfır yapan değer tanım kümesinde bulunmamalıdır. Sadeleştirme kuralı kısaltır, yasağı kaldırmaz.
Sınıf gezisinde ulaşım u(x) = 120x, giriş bileti b(x) = 80x lira ise toplam maliyet (u + b)(x) = 200x olur. İki kalemi ayrı ayrı hesaplayıp toplamakla aynı şey.
Okul kermesinde gelir g(x) = 25x, gider m(x) = 10x + 300 ise kâr (g – m)(x) = 15x – 300 fonksiyonudur. Kârın sıfır olduğu nokta x = 20; yani 20 satıştan sonra kazanmaya başlarsın.
Kulüp panosuna asılacak posterin eni e(x) = x + 2, boyu b(x) = 2x ise alan (e · b)(x) = 2x² + 4x olur. İki doğrusal fonksiyonun çarpımı ikinci dereceden bir fonksiyon veriyor.
Toplam tutar t(x) ve kişi sayısı k(x) ise kişi başı ödeme (t / k)(x) olur. Burada bölmenin şartı çok somut: kimse gelmezse (k = 0) bölme yapılamaz.
Toplam net n(x) ve deneme sayısı d(x) iken ortalama n(x)/d(x) dir. Hiç deneme çözmediğin bir ay için ortalama tanımsızdır — sıfıra bölme yapılamaz.
Sinema bileti f(x) ise iki kişilik ödeme 2 · f(x) olur. Bu bir sabitle çarpımdır; grafikte fiyat doğrusu iki katına gerilir, biçimi değişmez.
%40 indirimde ödenen tutar 0,6 · f(x) dir. c = 0,6 < 1 olduğu için grafik düşey yönde sıkışır; her fiyat aynı oranda küçülür.
Senin adımın a(t), arkadaşının b(t) ise aradaki fark (a – b)(t) fonksiyonudur. Fark negatifse o gün arkadaşın önde demektir; grafik x ekseninin altına iner.
Sen 15.00-19.00, arkadaşın 17.00-21.00 arası müsaitse birlikte çalışabileceğiniz zaman A ∩ B = 17.00-19.00. Fonksiyonlarda dört işlemin tanım kümesi de tam olarak böyle bulunur.
Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri, A ∩ B tanım kümesi, g(x) ≠ 0 şartı ve bir fonksiyonun sabit sayı ile çarpımı üzerine 32 soru.
f : A → ℝ, g : B → ℝ ve A ∩ B ≠ ∅ olmak üzere f + g : A ∩ B → ℝ biçiminde tanımlanan fonksiyon f ile g nin toplamıdır.
f – g : A ∩ B → ℝ biçiminde tanımlanan fonksiyon f ile g nin farkıdır. Çıkarmada g nin bütün terimlerinin işareti değişir.
Fonksiyonlar arasında toplama ve çıkarma işlemi yalnızca tanım kümelerinin ortak elemanları arasında yapılabilir.
f · g : A ∩ B → ℝ olmak üzere çarpım fonksiyonu her x için değerlerin çarpımıdır.
f/g : A ∩ B → ℝ olmak üzere bölüm fonksiyonu g(x) ≠ 0 şartıyla tanımlanır.
Fonksiyonlar arasında çarpma ve bölme işlemi yalnızca tanım kümelerinin ortak elemanları arasında yapılabilir. Bölme işleminde bölen fonksiyonu sıfır yapan değer tanım kümesinde bulunmamalıdır.
c ∈ ℝ olmak üzere ∀ x ∈ A için (c · f)(x) = c · f(x) fonksiyonu bir fonksiyonun sabit sayı ile çarpımı olarak tanımlanır.
Tanımın başında A ∩ B ≠ ∅ istenir. Tanım kümelerinin ortak elemanı yoksa işlem hiçbir x için yapılamaz.
(x² – 9)/(x – 3) ifadesi x + 3 e sadeleşse de x = 3 tanım kümesinde bulunmaz; bölen fonksiyonu sıfır yapan değer tanım kümesine alınamaz.