Değer kümesi
boşta kaldı mı?
41. ünitede bir eşlemenin fonksiyon olup olmadığına baktık. Burada artık fonksiyon olduğunu biliyoruz; sorduğumuz şey ne tür bir fonksiyon olduğu. Tek bir soruyla başlıyoruz: f(A) = B mi, f(A) ≠ B mi?
İçine ve örten kararı yalnızca değer kümesi tarafına bakar. Tanım kümesi tarafında ne olduğu bu iki tür için hiç önemli değildir.
A ve B boş kümeden farklı kümeler olmak üzere; f : A ⟶ B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) ≠ B olduğunda (değer kümesinde eşleşmemiş eleman kalıyorsa) f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. Konu özetindeki örnekte f(A) = {3, 5} ≠ {3, 5, –1} olup f içine fonksiyondur.
A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere; f : A ⟶ B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) = B olduğunda (değer kümesindeki her elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman varsa) f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Konu özetindeki örnekte f(A) = {3, 5, –1} = B olup f örten fonksiyondur.
"Örten mi?" sorusunun cevabı yalnız kurala bakarak verilemez; değer kümesinin ne olduğu da söylenmiş olmalıdır. Okları hiç değiştirmeden değer kümesini küçültürsen içine fonksiyon örten hâline gelir. Aşağıdaki canvas tam olarak bunu yapıyor: eşleme sabit, yalnız B değişiyor.
Bire birlik, örtenlikten bağımsız bir özelliktir ve tanım kümesi tarafına bakar: farklı elemanların görüntüleri de farklı mı?
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Yani iki farklı girdi asla aynı çıktıyı vermez.
İki fonksiyonun eşit olması, kurallarının harfi harfine aynı yazılması demek değildir. Ölçü, her x için aynı değeri üretmeleridir.
f: A → B ve g: A → B iki fonksiyon olmak üzere ∀x ∈ A için f(x) = g(x) oluyorsa f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir.
Tanımda iki fonksiyon da aynı A dan aynı B ye tanımlanmıştır. Bu yüzden eşitlik denetlenirken önce tanım kümelerinin aynı olduğuna, sonra her x için değerlerin çakıştığına bakılır.
Biri hiçbir şeyi değiştirmez, öteki her şeyi aynı yere gönderir. İkisi de tanınması kolay, sorularda ise sık sık karıştırılan fonksiyonlardır.
A boş kümeden farklı bir küme ve f: A → A olarak tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀x ∈ A için f(x) = x oluyorsa f fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon denir. Birim fonksiyon I sembolüyle gösterilir. Birim fonksiyonda tanım kümesine ait her eleman görüntü kümesinde yine kendisi ile eşlenir. Birim fonksiyonun grafiğinde I(x) = x olduğundan tüm elemanlar (x, x) biçimindedir.
f: A → B bir fonksiyon olmak üzere tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde bulunan yalnız bir eleman ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyon c ∈ B olmak üzere f(x) = c şeklinde gösterilir. Sabit fonksiyonun kuralında değişken (x) bulunmaz.
Tanımlı olduğu aralıkta f(x) = (ax + b)/(cx + d) fonksiyonu için a/c = b/d eşitliği sağlanıyorsa, f bir sabit fonksiyondur. Örneğin f(x) = (2x + 6)/(x + 3) fonksiyonunda 2/1 = 6/3 = 2 olduğu için f(x) = 2 sabit fonksiyonudur (x ≠ –3 için).
30 öğrenci 40 sıraya oturtulacak; herkes ayrı sıraya oturuyor. "Öğrenci → sıra" eşlemesi bire bir ama örten değil — 10 sıra boş kalıyor, yani içine fonksiyondur.
25 öğrenci 4 kulübe dağıtılıyor ve hiçbir kulüp boş kalmıyorsa eşleme örtendir. Bire bir olması imkânsızdır çünkü 25 kişi 4 kulübe sığdırılırken bazıları aynı kulübe düşmek zorunda.
Bir takımda iki oyuncunun aynı numarayı taşıması yasaktır: "oyuncu → forma numarası" bire bir fonksiyondur. Kullanılmayan numaralar kaldığı için örten değildir.
Mesafe ne olursa olsun bilet 15 lira ise ücret f(x) = 15 sabit fonksiyondur; kuralında x geçmez. Kaç durak gittiğini değiştirmen sonucu değiştirmez.
Fotokopiyi %100 ölçekte çektiğinde her uzunluk kendisiyle eşlenir: bu bir birim fonksiyondur, I(x) = x. %50 seçersen artık birim değil, f(x) = 0,5x doğrusal fonksiyonu olur.
"Tutarın yarısını öde" ile "tutara %50 indirim" farklı yazılır ama her sepet tutarı için aynı sonucu verir: f(x) = x/2 ve g(x) = x – 0,5x eşit fonksiyonlardır.
Her kullanıcı adının bir tek kişiye ait olması zorunludur; uygulama "aynı kullanıcı adı alınmış" derse tam olarak bire birliği koruyor demektir.
Haftanın 5 gününe 5 öğrenci nöbetçi yazılacak ve hiçbiri iki gün yazılmayacaksa eşleme hem bire bir hem örtendir: her gün dolu, kimse tekrar etmiyor.
0-100 arası puanı AA, BA, BB… harflerine çeviren kural bire bir değildir: 87 ile 89 aynı harfe düşebilir. Ama bütün harfler kullanılıyorsa örtendir.
İçine, örten, bire bir ve eşit fonksiyonlar ile birim ve sabit fonksiyon; rasyonel ifadenin sabitlik şartı a/c = b/d üzerine 32 soru.
f : A ⟶ B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) ≠ B olduğunda (değer kümesinde eşleşmemiş eleman kalıyorsa) f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.
f : A ⟶ B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) = B olduğunda (değer kümesindeki her elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman varsa) f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
f: A → B ve g: A → B iki fonksiyon olmak üzere ∀x ∈ A için f(x) = g(x) oluyorsa f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir.
A boş kümeden farklı bir küme ve f: A → A olarak tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀x ∈ A için f(x) = x oluyorsa f fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon denir ve I sembolüyle gösterilir.
Birim fonksiyonda tanım kümesine ait her eleman görüntü kümesinde yine kendisi ile eşlenir. Grafiğinde I(x) = x olduğundan tüm elemanlar (x, x) biçimindedir.
Tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde bulunan yalnız bir eleman ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonun kuralında değişken (x) bulunmaz.
Tanımlı olduğu aralıkta f(x) = (ax + b)/(cx + d) fonksiyonu için a/c = b/d eşitliği sağlanıyorsa f bir sabit fonksiyondur.
İçine/örten kararı değer kümesi tarafına (f(A) = B mi?), bire birlik kararı tanım kümesi tarafına (farklı elemanların görüntüleri farklı mı?) bakar. İkisi birbirinden bağımsızdır.