Çapraz çarp,
ortayı tuttur.
49. ünitenin devamı: küp özdeşlikleri, ax² + bx + c biçimindeki üç terimli ifadelerin çapraz çarpımla ayrılması ve karmaşık görünen ifadeleri sadeleştiren değişken değiştirme yöntemi.
Küp açılımı dört terimlidir ve katsayıları hep aynıdır: 1, 3, 3, 1. Bu, 39. ünitedeki Pascal üçgeninin üçüncü satırıdır — binom açılımının özel hâli.
Terimlerde a'nın üssü 3'ten 0'a inerken b'nin üssü 0'dan 3'e çıkar; bütün terimler artı işaretlidir.
Aynı katsayılar, ama işaretler sırayla + – + – gider: b'nin tek kuvvetli olduğu terimler eksi işaretlidir.
Özdeşlikte a yerine 3x gibi çarpımlı bir ifade geldiğinde katsayı da küpe girer. Konu özetindeki örnekte (3x + 4)³ açılırken (3x)³ = 27x³, 3 · (3x)² · 4 = 108x², 3 · 3x · 4² = 144x ve 4³ = 64 alınır; sonuç 27x³ + 108x² + 144x + 64 olur.
İki kare toplamı gerçek sayılarda ayrılamıyordu; ama iki küp toplamı ayrılır. Bu, küp özdeşliklerinin en çok işe yarayan tarafı.
Birinci çarpanda artı, ikinci çarpandaki orta terimde eksi vardır. İşaretler ters gider.
Burada da tersi: birinci çarpanda eksi, ikinci çarpandaki orta terimde artı.
Yöntem hep aynı: ifadeyi "bir şeyin küpü ± bir şeyin küpü" biçiminde yaz, sonra özdeşliği uygula. 64 = 4³ ve 27 = 3³ olduğunu görmek burada işin yarısıdır.
Üç terimli ifadelerin çarpanlara ayrılmasında kullanılan standart yöntem: birinci ve üçüncü terimi çarpanlarına böl, çapraz çarpıp topla, orta terimi tutturmaya çalış.
ax² + bx + c şeklindeki üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırırken birinci ve üçüncü terimin ax² = px · tx ve c = m · n şeklindeki çarpanları seçilir. Bu çarpanlar çapraz olarak çarpılıp toplandığında ortanca terim bulunabiliyorsa çarpanlar doğru seçilmiştir. Bu seçilen çarpanlar yan yana yazıldığında ax² + bx + c = (tx + n)(px + m) şeklinde çarpanlarına ayrılmış olur.
Çapraz çarpımların toplamı ortadaki terime eşit olduğu için çarpanlar doğru seçilmiştir. Tutmuyorsa başka bir çarpan ikilisi denenir — deneme yapmak yöntemin bir parçasıdır, hata değil.
Dördüncü dereceden bir ifadeyi doğrudan ayırmak zor görünür. Tekrar eden bir bloğu tek bir harfle adlandırırsan tanıdık bir üç terimliye dönüşür.
Bir polinomda benzer terimlerin yeni bir değişkenle adlandırılıp daha sade bir hâle getirildikten sonra çarpanlara ayrılması işlemine değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlara ayırma yöntemi denir.
Kenarı (x + 2) olan küpün hacmi (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 olur. Katsayıların 1-3-3-1 dizilişini bilmek açmayı saniyeler içinde bitirir.
Kenarı x olan küp kutunun içine kenarı 2 olan küp yerleştirilirse boşta kalan hacim x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4) olur. Çarpanlara ayırmak, x'in hangi değerde boşluğun sıfırlanacağını hemen gösterir.
Alanı 2x² – 7x + 6 olan dikdörtgen bir bölgenin kenarları (2x – 3) ve (x – 2) dir. Çapraz çarpım, alandan kenarları bulmanı sağlar.
x² + 3x + 2 = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayırırsın: (x + 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = –1 veya x = –2. 52. ünitedeki ikinci dereceden denklemler tamamen bu ünitenin üzerine kurulu.
(x³ – 27)/(x – 3) kesrini sadeleştirmek için pay küp farkı olarak ayrılır: (x – 3)(x² + 3x + 9)/(x – 3) = x² + 3x + 9.
21³ = (20 + 1)³ = 8000 + 3·400·1 + 3·20·1 + 1 = 9261. Küp açılımı büyük sayıların küpünü kâğıtsız almanı sağlar.
Hacmi x³ + 27 olan iki depo yerine tek bir depo düşünürsen (x + 3)(x² – 3x + 9) çarpanları, deponun olası boyutlarını verir.
(x + 1)² – 5(x + 1) + 6 gibi bir ifadede (x + 1) bloğuna a dersen a² – 5a + 6 olur ve (a – 2)(a – 3) = (x – 1)(x – 2) çıkar. Karmaşık görünen ifade iki satırda biter.
Çarpanlara ayrılmış bir polinomun her çarpanı bir kök verir. 45. ünitedeki "grafiğin x eksenini kestiği noktalar" bu şekilde tek tek okunur.
Toplamın ve farkın küpü özdeşlikleri, iki terimin küplerinin toplamı ve farkı, ax² + bx + c biçimindeki üç terimli ifadelerin çapraz çarpımla ayrılması ve değişken değiştirme yöntemi üzerine 32 soru.
İki terimin toplamının küpü özdeşliği. Katsayılar 1, 3, 3, 1 dizilişindedir ve bütün terimler artı işaretlidir.
Aynı katsayılarla, işaretler sırayla + – + – gider; b nin tek kuvvetli olduğu terimler eksidir.
İki terimin küplerinin toplamı özdeşliği. Birinci çarpanda artı, ikinci çarpanın orta teriminde eksi bulunur.
İki terimin küplerinin farkı özdeşliği. Birinci çarpanda eksi, ikinci çarpanın orta teriminde artı bulunur.
64x³ = (4x)³ ve 27 = 3³ yazılıp küplerin toplamı özdeşliği uygulanır.
x³ – 2³ biçiminde yazılıp küplerin farkı özdeşliği uygulanır.
Birinci ve üçüncü terimin ax² = px · tx ve c = m · n şeklindeki çarpanları seçilir; çapraz çarpımların toplamı ortanca terimi veriyorsa çarpanlar doğrudur.
x ile +2 ve x ile +1 çapraz çarpılıp toplandığında x + 2x = 3x çıkar; ortadaki terime eşit olduğu için çarpanlar doğru seçilmiştir.
2x ile –2 ve x ile –3 çapraz çarpılıp toplandığında –4x – 3x = –7x çıkar; ortadaki terime eşit olduğu için çarpanlar doğrudur.
Bir polinomda benzer terimlerin yeni bir değişkenle adlandırılıp daha sade hâle getirildikten sonra çarpanlara ayrılması işlemine değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlara ayırma denir.
a = 4x² denirse ifade a² – 4a + 3 olur; (a – 3)(a – 1) çarpanlarına ayrılıp a yerine 4x² yazılır.
a yerine 3x geldiğinde (3x)³ = 27x³ olur; katsayının kendisi de kuvvete girer.