Kurala bak,
grafiği tahmin et.
Dört tanıdık aile: f(x) = mx + n doğrusal, aralıklara bölünmüş parçalı, y eksenine göre simetrik çift, orijine göre simetrik tek fonksiyonlar. Dördünde de kuralın içindeki tek bir ayrıntı grafiğin bütün biçimini belirliyor.
Doğrusal fonksiyonun kuralındaki iki sayının ikisi de grafikte doğrudan görünür: biri doğrunun ne kadar dik olduğunu, öteki nereden başladığını söyler.
f : ℝ ⟶ ℝ ve m, n ∈ ℝ olmak üzere f(x) = mx + n şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Konu özetinde örnek olarak f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir; bu doğru y eksenini 2 de, x eksenini –2 de keser.
f(x) = mx + n doğrusal fonksiyon ifadesinde x'in katsayısı (m) doğrunun eğimini, sabit sayı (n) ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı gösterir. Sabit fonksiyonun grafiği bir doğru belirtir. Yani m = 0 alındığında f(x) = n olur ve grafik x eksenine paralel bir doğru hâline gelir.
f(x) = 4 kuralında x görünmediği için "bu doğrusal değil" denmesi sık yapılan bir hatadır. m = 0 alınmış hâlidir: sabit fonksiyonun grafiği bir doğru belirtir ve x eksenine paraleldir. Buna karşılık x = 4 bir fonksiyon değildir; düşey bir doğrudur ve tek bir x değerine sonsuz çok y karşılık gelir (45. ünitedeki düşey doğru testi).
Parçalı fonksiyonda tek bir kural yoktur; önce x'in hangi aralıkta olduğuna bakılır, sonra o aralığın kuralı kullanılır.
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.
a, b, c noktaları tanım aralıklarının uç noktaları olduğundan bu noktalara kritik noktalar denir. Bir değer hesaplanırken önce bu noktalara bakılır: x = c geldiğinde hangi kuralın geçerli olduğunu eşitsizlikteki "≤" mi "<" mi işareti belirler.
Bu üç parçanın grafiği sırasıyla yatay bir doğru, bir parabol parçası ve yine yatay bir doğrudur. x = 2 kritik noktasında ikinci parça 4 e yaklaşır ama o değeri almaz (0 ≤ x < 2 olduğu için); grafikte bu içi boş yuvarlakla gösterilir. x = 2 nin gerçek değeri üçüncü parçadan gelir: f(2) = 7.
Çift fonksiyonda x yerine –x yazmak hiçbir şeyi değiştirmez. Grafiği ikiye katlarsan iki yarım tam olarak üst üste gelir.
f : ℝ → ℝ tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀ x ∈ ℝ için f(–x) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Konu özetindeki örnekler: f(x) = x², f(x) = 3 ve f(x) = cos x.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Çift fonksiyonların eşleştirme kurallarında değişkenin sadece çift dereceli terimleri bulunur. Sabit terim de bu ailedendir; x⁰ olarak düşünülür ve çiftliği bozmaz.
Tek fonksiyonda x yerine –x yazmak sonucun işaretini çevirir. Grafiği orijin etrafında 180° döndürürsen kendisiyle çakışır.
f : ℝ → ℝ tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀ x ∈ ℝ için f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Konu özetindeki örnekler: f(x) = x, f(x) = x³ ve f(x) = sin x.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Tek fonksiyonların eşleştirme kurallarında değişkenin sadece tek dereceli terimleri bulunur. Bu yüzden bir kuralda sıfırdan farklı sabit terim varsa fonksiyon tek olamaz.
f(x) = x² + x kuralında hem çift hem tek dereceli terim var: f(–x) = x² – x olur ve bu ne f(x) e ne de –f(x) e eşittir. Böyle bir fonksiyon ne çift ne tektir. Karışık dereceli terimler bulunan her kuralda ilk düşünülecek cevap budur.
Açılış 40 lira + kilometre başına 25 lira ise ücret f(x) = 25x + 40 doğrusal fonksiyonudur. 40 doğrunun y eksenini kestiği yer (hiç gitmesen de ödediğin), 25 ise eğimdir.
10 GB'a kadar sabit 200 lira, sonrasında her GB 15 lira ise ücret parçalı bir fonksiyondur: ilk aralıkta sabit, ikinci aralıkta doğrusal. Kritik nokta 10 GB'tır.
"5 tosta kadar tanesi 60 lira, 5'ten sonrası 50 lira" kuralı da parçalıdır. Sınır olan 5'in hangi tarafa dâhil olduğu mutlaka söylenmelidir; yoksa 5. tostun fiyatı belirsiz kalır.
Sabit hızla merdiven çıkarken yükseklik zamanla doğru orantılı artar; grafik bir doğrudur ve eğim tırmanma hızını verir. Daha hızlı çıkan arkadaşının doğrusu daha diktir.
Aynada sağın solun oluyor ama yukarısı aşağı olmuyor: bu tam olarak y eksenine göre simetri, yani çift fonksiyonun grafiğindeki durum. Sol yarı ile sağ yarı üst üste gelir.
Telefonu baş aşağı çevirdiğinde aynı görünen desenler orijine göre simetriktir — tek fonksiyonların grafiği de böyledir. "S" harfi bunun klasik örneğidir.
Deniz seviyesinden yükseldikçe sıcaklığın düzenli düşmesi negatif eğimli bir doğrusal fonksiyondur. m < 0 olduğu için grafik sağa doğru alçalır.
Sesi bir kademe açmakla bir kademe kısmak birbirini götürüyorsa, değişim tek fonksiyon davranışı gösteriyor demektir: f(–1) = –f(1).
Taban puan 100 + her netten 4 puan kuralı f(x) = 4x + 100 doğrusal fonksiyonudur. Hiç net yapmasan bile 100 alman, n sabitinin ne işe yaradığını gösterir.
Doğrusal fonksiyonda eğim ve y ekseni kesişimi, parçalı fonksiyon ve kritik noktalar, çift fonksiyonun y ekseni simetrisi ile tek fonksiyonun orijin simetrisi üzerine 32 soru.
f : ℝ ⟶ ℝ ve m, n ∈ ℝ olmak üzere f(x) = mx + n şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
f(x) = mx + n ifadesinde x in katsayısı (m) doğrunun eğimini, sabit sayı (n) ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı gösterir.
Sabit fonksiyonun grafiği bir doğru belirtir. f(x) = c kuralı, doğrusal fonksiyonun m = 0 alınmış hâlidir ve grafiği x eksenine paraleldir.
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.
Parçalı fonksiyonlarda a, b, c noktaları tanım aralıklarının uç noktaları olduğundan bu noktalara kritik noktalar denir.
f : ℝ → ℝ tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀ x ∈ ℝ için f(–x) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örnekler: x², 3, cos x.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Eşleştirme kurallarında değişkenin sadece çift dereceli terimleri bulunur.
f : ℝ → ℝ tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ∀ x ∈ ℝ için f(–x) = –f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Örnekler: x, x³, sin x.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Eşleştirme kurallarında değişkenin sadece tek dereceli terimleri bulunur; bu yüzden sıfırdan farklı sabit terim bulunamaz.