Bölme yapma,
yerine koy.
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden kalan P(a) dır. TYT'de uzun bölme yapman gereken soru azdır; bu tek cümle sayfanın en çok işe yarayan bilgisi. Uzun bölmeyi ise bölme eşitliği ve derece kuralları için biliyoruz.
Bölme işleminde dört polinom bulunur: bölünen, bölen, bölüm ve kalan. Bunları birbirine bağlayan tek eşitlik ve iki derece kuralı, soruların çoğunu doğrudan çözer.
P(x) ve Q(x) polinomları için der[P(x)] ≥ der[Q(x)] olmak üzere P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesinde bu eşitliğe bölme eşitliği denir. Burada P(x) bölünen polinom, Q(x) bölen polinom, B(x) bölüm polinomu, K(x) ise kalan polinomdur.
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmak zorundadır; küçük olmadığı sürece bölme işlemi devam eder.
Bölüm polinomunun derecesi, bölünen ile bölenin dereceleri arasındaki farktır.
K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir. Bu durumda Q(x), P(x)'in bir çarpanıdır.
Bölen birinci dereceden (örneğin x – 3) ise kalanın derecesi 1'den küçük olmak zorundadır, yani kalan bir sabittir. Bölen ikinci dereceden (örneğin x² – 4) ise kalan en çok birinci derecedendir: ax + b biçiminde yazılır. Bu, "kalanı bul" sorularında bilinmeyeni doğru kurmanı sağlar.
Sayılardaki uzun bölmenin aynısı: en büyük dereceli terimleri böl, çarp, çıkar, tekrarla. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olunca durursun.
Polinomlarda bölme işlemi aşağıda verilen sıralamaya uygun yapılır. Bölünen ve bölen polinom bu polinomların değişkeninin azalan kuvvetlerine göre yazılır. Bölünen polinomun en büyük dereceli terimi bölen polinomun en büyük dereceli terimine bölünür ve elde edilen sonuç bölüm polinomunun ilk terimi olarak yazılır. Bölüm polinomuna ait bulunan ilk terim, bölen polinomla çarpılır ve elde edilen ifade bölünen polinomdan çıkarılır. Yukarıdaki işlemler, çıkarma işlemi sonucunda elde edilen her polinoma kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar uygulanır.
Uzun bölme bittiğinde bulduğun bölüm ve kalanı bölme eşitliğine yerleştir: Q(x) · B(x) + K(x) tekrar P(x) veriyorsa işlem doğrudur. Pratikte daha hızlı bir denetim de var: eşitlikte x yerine bir sayı yazmak. Örneğin x = 1 için iki tarafın da aynı sayıyı vermesi gerekir.
Bölen birinci dereceden ise uzun bölmeye hiç gerek yok: böleni sıfır yapan sayıyı polinomda yerine yazman yeterli.
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden kalan P(a) dır. Sebebi bölme eşitliğinde saklı: P(x) = (x – a) · B(x) + K yazıp x yerine a koyarsan ilk çarpım sıfırlanır ve geriye yalnız K kalır.
Kural (x – a) biçimi için yazılmıştır. Bölen (x + 3) ise bunu (x – (–3)) diye okumalı ve kalanı P(–3) olarak hesaplamalısın. Böleni sıfır yapan sayıyı bulmak (x + 3 = 0 ⇒ x = –3) bu karışıklığı tümüyle ortadan kaldırır.
Kalanın sıfır çıkması sıradan bir sonuç değil; polinomun çarpanlarını ve köklerini bulmanın anahtarıdır. 49 ve 50. ünitelerde bunu sürekli kullanacaksın.
P(a) = 0 ise (x – a) polinomu, P(x) polinomunun bir çarpanıdır. Kalan sıfır olduğunda P(x) = (x – a) · B(x) yazılabilir.
x = a için P(a) = 0 ise x = a sayısına, P(x) polinomunun sıfırı (bir kökü) denir. Grafik diliyle: polinomun grafiği x eksenini o noktada keser (45. ünite).
P(x) = x³ – 2x² + 6x – 5 polinomunun bir çarpanının (x – 1) olduğunu gösterelim ve (x – 1) ile bölümünden kalanı bulalım.
P(1) = 0 olduğundan (x – 1), P(x) polinomunun bir çarpanıdır ve bölümden kalan sıfırdır. Uzun bölme yapıldığında da aynı sonuca varılır: P(x) = (x – 1) · (x² – x + 5).
40 kitabı 6 kişilik gruplara dağıtınca 4 kitap artar: 40 = 6 · 6 + 4. Polinomlardaki P = Q · B + K eşitliği tam olarak bunun harflisi; kalan hep bölenden küçük kalır.
Sınıftaki masaları tam sıralar hâlinde dizebiliyorsan kalan sıfırdır ve sıra sayısı masa sayısının bir çarpanıdır. Artan masa varsa o çarpan değildir.
Uzun bir hesabı denetlemek için sonucu geri yerine koyarsın. Bölmede de aynısı: Q(x)·B(x) + K(x) tekrar P(x) veriyorsa işlem doğrudur.
Uzun bölme 3-4 dakika sürerken kalan teoremi 15 saniye alır. TYT'de bölen birinci dereceden ise asla uzun bölme yapma; böleni sıfır yapan sayıyı polinomda yerine yaz.
Alanı x³ – 2x² + 6x – 5 olan bir bölgeyi eni (x – 1) olan şeritlere bölebiliyorsan boy tam çıkar: P(1) = 0 olduğu için kalan yoktur ve boy x² – x + 5 olur.
P(a) = 0 olan a değerleri, grafiğin x eksenini kestiği noktalardır. 45. ünitedeki işaret incelemesi ile bu ünitedeki kök kavramı aynı şeyi iki ayrı dilde söylüyor.
23 kişiyi 5'erli takımlara ayırırsan 3 kişi açıkta kalır. Kalanın bölenden küçük olması şartı burada da geçerli: 5 kişi artsaydı bir takım daha kurardın.
(x + 2) ile bölümünden kalan sorulduğunda P(2) değil P(–2) hesaplanır. Böleni sıfır yapan sayıyı yazma alışkanlığı bu hatayı tamamen ortadan kaldırır.
Bölen x² – 1 gibi ikinci dereceden ise kalanı ax + b diye kurup iki denklem yazarsın. Bu, "kalanı bul" sorularının standart açılışıdır ve der[K] < der[Q] kuralından gelir.
Bölme eşitliği P = Q·B + K, kalan ve bölüm derecesi kuralları, uzun bölme adımları, (x – a) ile bölümünden kalan P(a) kuralı, çarpan olma ve polinomun kökü üzerine 32 soru.
der[P(x)] ≥ der[Q(x)] olmak üzere P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesinde bu eşitliğe bölme eşitliği denir.
P(x) bölünen polinom, Q(x) bölen polinom, B(x) bölüm polinomu, K(x) kalan polinomdur.
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür. Bölen birinci dereceden ise kalan bir sabittir; ikinci dereceden ise kalan en çok ax + b biçimindedir.
Bölüm polinomunun derecesi, bölünen ile bölenin dereceleri arasındaki farka eşittir.
K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.
Polinomlar azalan kuvvetlere göre yazılır; bölünenin en büyük dereceli terimi bölenin en büyük dereceli terimine bölünür, çıkan terim bölenle çarpılıp bölünenden çıkarılır. İşlem, kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar sürer.
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden kalan P(a) dır.
P(a) = 0 ise (x – a) polinomu, P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
x = a için P(a) = 0 ise x = a sayısına, P(x) polinomunun sıfırı (bir kökü) denir.
P(1) = 1 – 2 + 6 – 5 = 0 olduğundan (x – 1), P(x) in bir çarpanıdır ve P(x) i tam böler.
Kural (x – a) biçimi içindir. Bölen (x + 3) ise kalan P(–3) tür. En güvenli yol: böleni sıfır yapan sayıyı bulup polinomda yerine yazmak.
Bulunan bölüm ve kalan, bölme eşitliğine yerleştirilip Q(x)·B(x) + K(x) tekrar P(x) veriyor mu diye bakılır; x yerine bir sayı yazmak da hızlı bir denetimdir.