Toplamı
çarpıma çevir.
Bir polinomun iki ya da daha fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılması işlemine çarpanlara ayırma denir. Bu ünitede dört yöntem var: ortak çarpan parantezine alma, gruplandırma, tam kare özdeşlikleri ve iki kare farkı.
Çarpanlara ayırmada ilk bakılacak yer budur: bütün terimlerde ortak olan bir sayı, değişken ya da terim var mı? Varsa doğrudan paranteze alınır.
Bir polinomun iki ya da daha fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılması işlemine çarpanlara ayırma denir. P(x), Q(x) ve R(x) birer polinom olmak üzere R(x) = P(x) · Q(x) şeklinde ifade edilen eşitlikte P(x) ve Q(x) polinomlarına R(x) polinomunun çarpanları denir.
Bir polinomun her teriminde bulunan ortak çarpanın paranteze alınması işlemine ortak çarpan parantezine alma yoluyla çarpanlara ayırma yöntemi denir. Ortak olan bir sayı, bir değişken ya da tam bir terim olabilir.
Konu özetindeki 10. örnek tam bunu gösteriyor: 8 · (2 – a)⁴ + 7 · (a – 2)³ ifadesinde parantezler ters görünüyor. Ama (2 – a) = –(a – 2) olduğundan çift kuvvette işaret değişmez: (2 – a)⁴ = (a – 2)⁴. Böylece ifade 8 · (a – 2)⁴ + 7 · (a – 2)³ olur ve (a – 2)³ ortak paranteze alınarak (8a – 9) · (a – 2)³ bulunur. Kuvvet tek olsaydı işaret değişecekti.
Bütün terimlerde ortak bir şey bulamıyorsan pes etme: terimleri ikişerli gruplayıp her grupta ayrı ayrı ortak çarpan ara.
Verilen polinomun her teriminde; ortak bir sayı, ortak bir değişken veya ortak bir terim bulunmuyor ise ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplandırılır. Gruplama sonunda ortaya çıkan ortak parantez tekrar dışarı alınır.
Konu özetindeki son örnek üç terimli bir ifadeyi gruplandırma ile ayırıyor: x² – 3x – 4 = x² – 4x + x – 4 = x(x – 4) + (x – 4) = (x + 1)(x – 4). Orta terim, çarpımları son terimi veren iki parçaya bölünüyor. 50. ünitedeki çapraz çarpım yöntemi bunun kısayoludur.
Üç terimli bir ifadenin tam kare olup olmadığını anlamak kolay: baştaki ve sondaki terimler kare ise, ortadaki terim bu iki kökün çarpımının iki katı olmalı.
Konu özetinde bu özdeşlik kenarı (a + b) olan bir karenin alanı üzerinden gösterilir: kare dört parçaya bölünür ve parçaların alanları a², ab, ab, b² olur.
Aynı geometrik gösterim: (a – b)² = a² – b(a – b) – b(a – b) – b² = a² – ab + b² – ab + b² – b² = a² – 2ab + b² adımlarıyla elde edilir.
Bir ifadenin tam kare olup olmadığını üç soruyla denetlersin: (1) Birinci terim bir kare mi (√ alınabiliyor mu)? (2) Üçüncü terim bir kare mi? (3) Orta terim, bu iki kökün çarpımının iki katı mı? Üçü de "evet" ise ifade tam karedir. Örneğin 9x² + 12x + 4 için kökler 3x ve 2'dir; 2 · 3x · 2 = 12x tuttuğu için ifade (3x + 2)² olur.
İki terimli ve aralarında çıkarma olan ifadelerde ilk bakılacak kalıp budur. Tek satırda çarpanlara ayrılır.
Konu özetinde bu özdeşlik de alanlarla gösterilir: a² – b² = a(a – b) + b(a – b) = (a + b) · (a – b). Büyük kareden küçük kare çıkarıldığında kalan bölge, iki dikdörtgene ayrılıp yan yana getirilerek tek bir dikdörtgene dönüştürülür.
97 · 103 işlemini kâğıtsız yapabilirsin: (100 – 3)(100 + 3) = 100² – 3² = 9991. İki kare farkı özdeşliğinin en pratik kullanımı budur.
51² = (50 + 1)² = 2500 + 2·50·1 + 1 = 2601. Tam kare özdeşliği, iki basamaklı sayıların karesini saniyeler içinde almanı sağlar.
Kenarı a olan kare odaya kenarı b olan kare halı serildiğinde açıkta kalan alan a² – b² = (a + b)(a – b) olur. Kesip yapıştırınca kenarları (a + b) ve (a – b) olan bir dikdörtgen elde edersin.
Her masaya 3 poster ve 3 balon koyacaksan toplam malzeme 3x + 3y = 3(x + y). Ortak çarpanı görmek, "kaç paket almalıyım" sorusunu tek çarpmaya indirir.
x kalem ve y silgiyi hem a kişiye hem b kişiye dağıtacaksan toplam ax + bx + ay + by yazılır ve gruplandırma ile (x + y)(a + b) olur — yani "kişi sayısı × malzeme sayısı".
Kenarı x olan kare panonun etrafına 2 cm çerçeve eklenirse yeni alan (x + 4)² = x² + 8x + 16 olur. Artan alan 8x + 16, yani 8(x + 2).
Bir ürünün fiyatı önce %10 artıp sonra %10 düşerse eski fiyata dönmezsin: 1,1 · 0,9 = 0,99. Sebebi (1 + 0,1)(1 – 0,1) = 1 – 0,01 — yine iki kare farkı.
a satır ve a sütunluk kolajdan b × b'lik bir bölge boş bırakılırsa kullanılan kare sayısı (a + b)(a – b) olur. Tek tek saymak yerine çarpanlara ayırmak yeterli.
(x² – 9)/(x + 3) gibi bir kesri sadeleştirmek için önce payı çarpanlarına ayırırsın: (x + 3)(x – 3)/(x + 3) = x – 3. 51. ünitedeki rasyonel ifadeler bu ünitenin üzerine kurulu.
Ortak çarpan parantezine alma, gruplandırma yöntemi, tam kare özdeşlikleri (a ± b)² ve iki kare farkı a² – b² = (a + b)(a – b) üzerine 32 soru.
Bir polinomun iki ya da daha fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılması işlemine çarpanlara ayırma denir.
R(x) = P(x) · Q(x) şeklinde ifade edilen eşitlikte P(x) ve Q(x) polinomlarına R(x) polinomunun çarpanları denir.
Bir polinomun her teriminde bulunan ortak çarpanın paranteze alınması işlemine ortak çarpan parantezine alma yoluyla çarpanlara ayırma yöntemi denir.
Ortak olan yalnız sayı ya da değişken değil, tam bir terim de olabilir.
Çift kuvvette parantezin içi ters çevrilse de değer değişmez; bu sayede 8(2 – a)⁴ + 7(a – 2)³ ifadesi (8a – 9)(a – 2)³ olarak ayrılır.
Her terimde ortak bir sayı, değişken veya terim bulunmuyorsa ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplandırılır.
Konu özetinde kenarı (a + b) olan karenin a², ab, ab ve b² alanlı dört parçaya bölünmesiyle gösterilir.
(a – b)² = a² – b(a – b) – b(a – b) – b² = a² – ab + b² – ab + b² – b² = a² – 2ab + b² adımlarıyla elde edilir.
a² – b² = a(a – b) + b(a – b) = (a + b) · (a – b) biçiminde, alanlar üzerinden de gösterilir.
Birinci ve üçüncü terim kare ise ve orta terim bu iki kökün çarpımının iki katıysa ifade tam karedir: 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)².
x² – 3x – 4 = x² – 4x + x – 4 = x(x – 4) + (x – 4) adımlarıyla gruplandırma yöntemi üç terimli ifadelere de uygulanır.
İki kare farkının çarpanları vardır ama iki kare toplamı gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılamaz; x² + 9 böyle bir ifadedir.