İki çizgi çek,
cevabı oku.
Bu ünitede iki basit test var ve ikisi de tek bir cetvelle yapılıyor: düşey doğru bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını, yatay doğru ise bire bir ve örten olup olmadığını söylüyor. Geri kalanı grafiği okumak: tanım kümesi yatayda, görüntü kümesi düşeyde.
Grafik, fonksiyonun bütün (x, f(x)) noktalarının resmidir. Bu yüzden fonksiyonla ilgili neredeyse her soru grafikten okunabilir.
f : A ⟶ B, y = f(x) fonksiyonuna ait bütün noktaların dik koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Grafik çizilirken tanım kümesinin elemanları yatay eksen (x ekseni) üzerinde, görüntü kümesinin elemanları ise düşey eksen (y ekseni) üzerinde gösterilir.
Grafiği verilen bir fonksiyonun tanım kümesi, bu fonksiyonun grafiği üzerindeki noktaların birinci bileşenlerinin (apsis) oluşturduğu kümedir. Görüntü kümesi ise bu noktaların ikinci bileşenlerinin (ordinat) oluşturduğu kümedir.
Çizilen fonksiyon grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyon, orijine göre simetrik ise tek fonksiyondur. 43. ünitede kurala bakarak yaptığın ayrımı burada tek bakışta grafikten yapabilirsin.
Doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo kurmaya gerek yok; iki nokta bulup birleştirmek yeterlidir. En pratik iki nokta ise eksenleri kestiği noktalardır.
f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri çizilirken tanım kümesinin en az iki x değeri için (x, f(x)) noktaları bulunur. Bulunan noktalar dik koordinat düzleminde işaretlenir. Bu noktaların birleştirilmesiyle oluşan doğru f fonksiyonunun grafiğidir. Düzlemde iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçebileceği için sadece iki nokta belirlemek doğrusal grafiği çizmek için yeterlidir.
Pratik bir çizim yapmak için eksenleri kesen noktalar seçilebilir. (x, 0 = f(x)) noktası x eksenini, (0, y = f(0)) noktası y eksenini kesen noktalardır. Yani bir kez f(x) = 0 çözersin, bir kez de x = 0 yazarsın; iki nokta hazırdır.
Parçalı fonksiyonların grafiklerinde önce düzlemde kritik noktalar ve tanım kümesi aralıkları belirlenir. Ardından her aralık için fonksiyon türüne göre çizim yapılır.
Kritik nokta tanım kümesine dâhil değilse, o noktaya ait görüntü noktası görüntü kümesine de dâhil olamayacağı için fonksiyon grafiğinde içi boş bir yuvarlak sembol ile gösterilmelidir.
41. ünitedeki "her x için bir ve yalnız bir y" şartının grafik hâli. Cetveli düşey tutup soldan sağa süpürürsün: iki kesişim gördüğün an cevap bellidir.
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular, grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur. Diğer durumlarda bu bağıntı fonksiyon değildir. Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını tespit etmek için uygulanan bu teste düşey (dikey) doğru testi denir.
42. ünitedeki tür ayrımının grafik hâli. Bu kez cetveli yatay tutup aşağıdan yukarı süpürürsün; kaç kez kestiğine bakarsın.
Grafiği verilen bir f(x) fonksiyonunun bire bir veya örten olup olmadığını belirlemek için değer aralığının her noktasından x eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen paralel doğrular, fonksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon örtendir. Çizilen paralel doğrular, fonksiyonun grafiğini yalnız bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon bire birdir. Verilen grafiğe yatay çizgiler çekerek fonksiyonun bire bir olup olmadığını tespit etmek için uygulanan bu teste yatay doğru testi denir.
Grafiğin x ekseninin hangi tarafında olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesini, eğimi ise değişim hızını verir.
Fonksiyonun grafiği üzerindeki her noktadan y eksenine çizilen paralel doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonun tanım kümesini, x eksenine çizilen paralel doğruların y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonun görüntü kümesini verir.
Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin üzerinde kalıyorsa bu aralık f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin altında kalıyorsa bu aralık f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.
Eğim hesaplanarak da değişim hızını bulmak mümkündür. Grafik üzerinde iki nokta A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olmak üzere bu bağıntı ile hesaplanabilir.
Eğer verilmemişse doğrusal fonksiyonların kuralı grafik üzerinde verilen değerlerden elde edilebilir. Doğrusal fonksiyon f(x) = mx + n olduğundan seçilen iki noktanın koordinatları f(x) ifadesinde yerine yazıldığında iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi oluşur.
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanlarının arasındaki değişim sabitken görüntü kümesinin elemanları arasındaki değişim de sabitse bu fonksiyonlar doğrusal fonksiyonlardır. Doğru orantılı çokluklar olarak da öğrendiğimiz bu tarz hikâyelerde bağımsız ve bağımlı değişkenler, başlangıç değer ve artış miktarı belirlenir. Sorunun türüne göre grafik çizerek, tablo veya fonksiyon kuralını oluşturarak çözüm elde edilir.
Günlük hayatta birbirini direkt etkileyen pek çok durum doğrusal fonksiyon grafikleri ile ilişkilendirilebilir. Konu özetinde verilen eşleşmeler:
| BAĞIMSIZ DEĞİŞKEN | BAĞIMLI DEĞİŞKEN |
|---|---|
| Yol | Zaman |
| Harcanan yakıt | Yol |
| Bir bitkinin boyu | Zaman |
| Çalışma süresi | Çözülen soru sayısı |
| Yanan mum boyu | Yanma süresi |
| Deniz seviyesinden yükseklik | Hava sıcaklığı |
| Ürün sayısı | Ödenecek ücret |
Unutulmamalıdır ki bağımsız değişkenin artma / azalma hızı hep sabittir.
Aranan değerin ait olduğu kümeye bağlı olarak x veya y eksenlerinden hangisinde olduğuna dikkat edilmelidir. "f(3) kaçtır?" sorusunda 3 yatay eksende aranır, cevap düşey eksenden okunur. "f(x) = 3 ise x kaçtır?" sorusunda ise tam tersi yapılır — soruların yarısı bu ayrımı karıştırmak üzerine kurulmuştur.
Saatte 20 soru çözüyorsan grafik bir doğrudur ve eğimi 20'dir. Konu özetinde de "çalışma süresi → çözülen soru sayısı" doğrusal hikâye örneği olarak verilmiştir.
Mum düzenli kısalıyorsa boy-zaman grafiği negatif eğimli bir doğrudur. Doğrunun y eksenini kestiği yer mumun ilk boyu, x eksenini kestiği yer ise tamamen bittiği andır.
Şarj yüzdesi-zaman grafiği düşey doğru testini geçer: bir anda telefonun tek bir şarj değeri vardır. Ama yatay doğru testini geçmeyebilir — %50'yi gün içinde iki kez görebilirsin.
Fark grafiğinin x ekseninin üstünde olduğu dakikalar takımının önde olduğu anlardır: f(x) > 0. Altına indiğinde geridesin, kestiği anlarda ise beraberedir.
Yol-zaman grafiğinin eğimi hızdır. Grafik yatay bir doğru parçasına dönüştüyse otobüs duraktadır; eğim sıfır olduğu için o aralıkta yol artmaz.
"Ürün sayısı → ödenecek ücret" doğrusal bir hikâyedir. Grafik orijinden geçiyorsa başlangıç değeri sıfırdır; sabit bir servis ücreti varsa doğru y eksenini o değerde keser.
Konu özetinde geçen "deniz seviyesinden yükseklik → hava sıcaklığı" ilişkisinde eğim negatiftir: yükseldikçe sıcaklık düzenli düşer.
"Bir bitkinin boyu → zaman" ilişkisi de listede. Her hafta 2 cm uzayan bir fidenin grafiği doğrudur; eğim 2, y ekseni kesişimi ise diktiğin gündeki boydur.
Aynı grafikte iki doğru varsa daha dik olan daha hızlıdır; kesiştikleri nokta ise ikisinin aynı anda aynı mesafede olduğu andır.
Grafik çizimi ve okuma, doğrusal ile parçalı fonksiyon grafikleri, düşey ve yatay doğru testleri, işaret incelemesi, eğim ve doğrusal hikâyeler üzerine 32 soru.
f : A ⟶ B, y = f(x) fonksiyonuna ait bütün noktaların dik koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir.
Grafik çizilirken tanım kümesinin elemanları yatay eksen (x ekseni) üzerinde, görüntü kümesinin elemanları ise düşey eksen (y ekseni) üzerinde gösterilir.
Tanım kümesi grafik üzerindeki noktaların birinci bileşenlerinin (apsis), görüntü kümesi ise ikinci bileşenlerinin (ordinat) oluşturduğu kümedir.
Düzlemde iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçebileceği için sadece iki nokta belirlemek doğrusal grafiği çizmek için yeterlidir. Pratik çizimde eksenleri kesen noktalar seçilebilir.
Kritik nokta tanım kümesine dâhil değilse, o noktaya ait görüntü noktası da görüntü kümesine dâhil olamayacağı için grafikte içi boş bir yuvarlak sembol ile gösterilmelidir.
Tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bağıntı bir fonksiyondur; diğer durumlarda fonksiyon değildir.
Değer aralığının her noktasından x eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örten, yalnız bir noktada kesiyorsa bire birdir.
Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin üzerinde kalıyorsa bu aralık f(x) > 0 eşitsizliğinin, altında kalıyorsa f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.
Eğim hesaplanarak değişim hızı bulunabilir. Doğrusal fonksiyonun kuralı verilmemişse seçilen iki noktanın koordinatları f(x) = mx + n de yerine yazılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kurulur.
Çizilen fonksiyon grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyon, orijine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
Tanım kümesindeki değişim sabitken görüntü kümesindeki değişim de sabitse fonksiyon doğrusaldır. Bu hikâyelerde bağımsız/bağımlı değişken, başlangıç değer ve artış miktarı belirlenir.
Aranan değerin ait olduğu kümeye bağlı olarak x veya y eksenlerinden hangisinde olduğuna dikkat edilmelidir. f(3) için 3 yatayda aranır; f(x) = 3 için 3 düşeyde aranır.