Açmadan
terimi bul.
(x + y)¹⁰ ifadesini tek tek çarpmak günler alır. Oysa baştan (r + 1). terim doğrudan C(n, r) · xn–r · yr formülüyle bulunur. Katsayıların nereden geldiğini de Pascal üçgeni gösteriyor.
Binom açılımının katsayıları hiçbir hesaba gerek kalmadan bir örüntüden okunabiliyor. Bu örüntünün adı Pascal üçgeni ve kuralları çok kısa.
Paskal üçgeninin tepesi bir elemanlıdır ve tepesinde 1 sayısı bulunur. Her satırdaki eleman sayısı bir önceki satırdaki eleman sayısından 1 fazladır. Her satır 1 ile başlayıp 1 ile biter. Diğer sayılar ise üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının toplamıdır. Pascal üçgeninde her satır bu örüntüye bağlı olarak devam eder.
Bir önceki ünitedeki bu özellik, Pascal üçgeninin tam olarak kuruluş kuralıdır. Yani üçgen bir "hile" değil; kombinasyon özelliğinin resmedilmiş hâli. (x + y)ⁿ açılımındaki katsayılar da C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) olduğu için üçgenin n. satırıdır.
x + y ≠ 0 ve n ∈ ℕ olmak üzere (x + y)ⁿ ifadesinin C(n,0)·xⁿ + C(n,1)·xn–1y + C(n,2)·xn–2y² + … + C(n,n)·yⁿ şeklindeki açılımına binom açılımı denir. Her terimde x'in üssü bir azalırken y'nin üssü bir artar; ikisinin toplamı her zaman n kalır.
Çıkarma varsa ikinci terimi (–2y) olarak alırsın; işaretler kendiliğinden gelir. Açılım:
Açılımın tamamını yazmadan istediğin terimi bulabilirsin. Tek yapman gereken kaçıncı terimi istediğine göre r değerini seçmek.
(x + y)ⁿ ifadesi x'in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r + 1). terim C(n, r) · xn–r · yr olur. Dikkat: 3. terimi istiyorsan r = 2 alırsın, r = 3 değil.
Sondan (r + 1). terim C(n, r) · xr · yn–r dir. Ayrıca baştan (r + 1). terim aynı zamanda sondan (n – r + 1). terimdir (r ≤ n ve r ∈ ℕ).
n çift sayı ise (x + y)ⁿ açılımında ortadaki terim bulunurken r = n/2 alınır. n tek sayı ise (n + 1) çift sayı olacağından ortadaki terim olmayacaktır. Sebebi terim sayısının n + 1 olması: n çiftse terim sayısı tek olur ve tam ortada bir terim bulunur; n tekse terim sayısı çift olur ve orta iki terim arasında paylaşılır.
Bu iki soru tipinin çözümü tek satır: katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı, sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Açılımı yapmana hiç gerek yok.
x = y = 1 alınır:
x = y = 0 alınır:
Dikkat: bu yöntem iki terimli olmayan ifadelerde de çalışır. Üç terimli (2x – 3y + 4)⁷ ifadesinin açılımını yazmak imkânsıza yakınken katsayılar toplamı ve sabit terim tek satırda çıkıyor.
x = y = 1 yazılınca (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ çıkar. Bu aynı zamanda C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ özelliğinin başka bir kanıtıdır.
x = y = 1 yazılınca (1 – 1)ⁿ = 0 çıkar (n ≥ 1 için). Yani artı ve eksi katsayılar birbirini tam olarak götürür.
Bir parayı 5 kez attığında tam 2 yazı gelme yollarının sayısı C(5, 2) = 10'dur — Pascal üçgeninin 5. satırındaki üçüncü sayı. Bütün olasılıklar 2⁵ = 32.
102² hesaplarken (100 + 2)² açılımını kullanırsın: 10000 + 2·100·2 + 4 = 10404. Tam kare özdeşliği, binom açılımının n = 2 hâlidir.
Uzun bir açılım yaptıysan doğruluğunu x = y = 1 yazarak kontrol edebilirsin: bulduğun terimlerin katsayıları toplamı 2ⁿ vermiyorsa bir yerde hata var.
Bir turnuvada 6 maçın kaçının kazanılabileceğini sayarken Pascal üçgeninin 6. satırı (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) doğrudan cevabı verir: tam 3 galibiyet 20 farklı şekilde olur.
7 malzemeden istediğin kadarını seçme yollarının toplamı 2⁷ = 128. Bu sayı Pascal üçgeninin 7. satırındaki bütün sayıların toplamıdır.
Bir miktar her yıl aynı oranda artıyorsa n yıl sonraki değeri (1 + oran)ⁿ ile bulunur. Bu ifadenin açılımı, artışın hangi kısmının hangi yıldan geldiğini gösterir.
Yalnız sağa ve yukarı giderek bir noktadan diğerine ulaşma yollarının sayısı C(n, r) ile bulunur; Pascal üçgeninin her sayısı bir kavşağa kaç yoldan gelinebileceğini söyler.
Pascal üçgeni sağdan sola simetriktir; bunun sebebi C(n, r) = C(n, n – r) özelliğidir. Satırın yarısını bilmek tamamını bilmek demektir.
"10 soruda kaç farklı şekilde tam 7 doğru yapılabilir?" sorusunun cevabı C(10, 7) = 120. Bu, (D + Y)¹⁰ açılımındaki D⁷Y³ teriminin katsayısıdır.
Pascal üçgeni, binom açılımı ve özellikleri, baştan ve sondan (r + 1). terim, ortadaki terim, katsayılar toplamı ve sabit terim üzerine 40 soru.
Paskal üçgeninin tepesi bir elemanlıdır ve tepesinde 1 sayısı bulunur. Her satırdaki eleman sayısı bir önceki satırdakinden 1 fazladır; her satır 1 ile başlayıp 1 ile biter, diğer sayılar üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının toplamıdır.
x + y ≠ 0 ve n ∈ ℕ olmak üzere (x + y)ⁿ ifadesinin bu şekildeki açılımına binom açılımı denir. Katsayılar Pascal üçgeninin n. satırıdır.
(x + y)ⁿ ifadesinin açılımında (n + 1) terim vardır ve her bir terimdeki x ile y değişkenlerinin üsleri toplamı n'dir.
(x + y)ⁿ ifadesi x'in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r + 1). terim C(n, r) · xn–r · yr olur.
Sondan (r + 1). terim C(n, r) · xr · yn–r dir. Baştan (r + 1). terim aynı zamanda sondan (n – r + 1). terimdir (r ≤ n ve r ∈ ℕ).
n çift sayı ise (x + y)ⁿ açılımında ortadaki terim bulunurken r = n/2 alınır. n tek sayı ise (n + 1) çift sayı olacağından ortadaki terim olmayacaktır.
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. (2x – 3y + 4)⁷ için x = y = 1 alınarak 3⁷ bulunur.
Sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. (2x – 3y + 4)⁷ için x = y = 0 alınarak 4⁷ bulunur.
Çıkarma varsa ikinci terim (–2y) olarak alınır; katsayılar C(4, r) olan 1, 4, 6, 4, 1 sayılarıyla (–2)ʳ çarpımından çıkar.