"En az biri"
hangi bölge?
Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri ve bu işlemlerin özellikleri, gerçek hayat durumlarının modellemesini içeren problemlerin çözümünde kullanılabilir. Bu ünitede iş, cümledeki ifadeyi Venn şemasındaki doğru bölgeye çevirmekten ibaret.
Küme problemlerinin tamamı aynı kurulumla başlar: A kümesi A sporunu yapanların kümesi, B kümesi B sporunu yapanların kümesi, gruptaki tüm kişilerin oluşturduğu küme E, a, b, c, d ise bulundukları bölgedeki eleman sayılarını temsil ediyor olsun. Bundan sonrası sadece hangi harfleri toplayacağını bulmaktır.
Yalnız A kümesinde olanlar — sadece A sporunu yapanlar.
Ortak bölge, yani A ∩ B — her iki sporu da yapanlar.
Yalnız B kümesinde olanlar — sadece B sporunu yapanlar.
İki eğrinin de dışı, yani (A ∪ B)' — bu iki sporu yapmayanlar.
Küme problemlerinde asıl iş burada: soru kökündeki ifadeyi doğru bölgelere çevirmek. Aşağıdaki tablonun tamamı konu özetinde birebir veriliyor — ezberlemek yerine her satırı şemada işaretleyerek çalış.
İki ifade birbirine çok benziyor ama tam tersi bölgeleri gösterir. "En az biri" = a + b + c (ortak bölge içeride, dışarısı hariç); "en çok biri" = a + c + d (ortak bölge hariç, dışarısı içeride). İkisinin ortak yanı a + c'dir; ayrıldıkları yer b ile d'dir.
"Sadece birini yapanlar" = a + c, yani ortak bölge dışarıda kalır. "En az birini yapanlar" = a + b + c, ortak bölge içeride kalır. Aradaki fark tam olarak b kadardır.
Küme problemlerinde, kesişimi boş küme olan kümeler verildiğinde problem tablo yapılarak çözülür. Kız–erkek, gözlüklü–gözlüksüz, geçen–kalan gibi bir kişinin aynı anda ikisinde birden olamayacağı ayrımlar varsa Venn şeması yerine tablo kurulur; çünkü ortak bölge zaten yoktur.
Bütün bilgiler gözlüksüz erkek sayısına bağlı verildiği için ona x diyelim. Küme problemlerinde bilinmeyen, diğerlerinin kendisine göre tarif edildiği büyüklük seçilir.
Gözlüklü kız = 2x, gözlüklü erkek = x – 3, gözlüksüz kız = 2x'in yarısından 3 fazla = x + 3.
Kız–erkek ve gözlüklü–gözlüksüz ayrımlarının kesişimi boş küme olduğu için 2 × 2'lik bir tablo kurulur.
"Gözlüksüz veya erkek" ifadesi bir birleşimdir: gözlüksüz olan iki hücre ile erkek olan iki hücrenin birleşimi. Ortak hücre (gözlüksüz erkek = x) yalnız bir kez sayılır, yani toplanacak üç hücre kalır: (x + 3) + x + (x – 3).
Sınıf mevcudu ise dört hücrenin toplamıdır:
"Kaç kişi hem futbol hem basketbol oynuyor?" sorusu doğrudan b bölgesini sorar. Anket sonucunu Venn şemasına dökünce cevap bir bakışta çıkar.
30 kişilik sınıfta 18'i müzeye, 14'ü sinemaya gidiyor, 7'si ikisine de. Hiçbirine gitmeyen kaç kişi? 30 – (18 + 14 – 7) = 5 — d bölgesi böyle bulunur.
"Tost veya ayran alanlar" birleşimdir, ikisini birden alanlar iki kez sayılmasın diye çıkarılır: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B).
"En çok bir kulübe yazılabilirsiniz" kuralı, kimsenin ortak bölgede olmadığı anlamına gelir. b = 0 olur ve iki kulüp ayrık kümelere dönüşür.
Kız–erkek ve geçen–kalan gibi ayrımlarda bir kişi iki hücrede birden olamaz. Kesişimi boş küme olan kümeler verildiğinde problem tablo yapılarak çözülür.
"Kaç kişi hiçbir kulüpte değil?" sorusu tüm mevcuttan en az birinde olanları çıkarır: d = s(E) – (a + b + c).
İki arkadaşın listesinden "yalnız birinde olan" şarkılar a + c'dir. Ortak olanları çıkarınca ikinizin de birbirine önerebileceği şarkılar kalır.
"Matematik ödevini yapmayanlar" A' kümesidir: c + d. Yani sadece fen ödevini yapanlar ile hiçbirini yapmayanların toplamı.
"İkisini birden izlemeyenler" ile "hiçbirini izlemeyenler" farklı gruplardır: birincisi a + c + d, ikincisi yalnız d. Sorudaki tek kelime cevabı değiştirir.
Venn şemasının dört bölgesi, sözel ifade-bölge eşleşmeleri, en az biri / en çok biri ayrımı, tablo yöntemi ve örnek çözüm üzerine 40 soru.
Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri ve bu işlemlerin özellikleri, gerçek hayat durumlarının modellemesini içeren problemlerin çözümünde kullanılabilir.
A kümesi A sporunu yapanların, B kümesi B sporunu yapanların kümesi, gruptaki tüm kişilerin oluşturduğu küme E, a, b, c, d ise bulundukları bölgedeki eleman sayılarıdır.
A sporunu yapanların sayısı a + b, B sporunu yapanların sayısı b + c dir. Sadece A yapanlar a, sadece B yapanlar c, her ikisini yapanlar b kadardır.
Bu sporlardan en az birini yapanların sayısı a + b + c dir. Bu iki sporu yapmayanların sayısı ise d kadardır.
Bu sporlardan en çok birini yapanların sayısı a + c + d dir; yani her ikisini birden yapanlar dışındaki herkes. Sadece birini yapanların sayısı ise a + c dir.
A sporunu yapmayanların sayısı c + d, B sporunu yapmayanların sayısı a + d dir.
Gruptaki tüm kişilerin sayısı a + b + c + d dir. Ayrıca s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) formülü her problemde işe yarar.
Küme problemlerinde, kesişimi boş küme olan kümeler verildiğinde problem tablo yapılarak çözülür. Kız–erkek, gözlüklü–gözlüksüz gibi bir kişinin aynı anda ikisinde birden olamayacağı ayrımlarda tablo kurulur.
Gözlüksüz erkek sayısına x denirse gözlüklü kız 2x, gözlüklü erkek x – 3, gözlüksüz kız x + 3 olur. Gözlüksüz veya erkek sayısı 21 olduğundan x = 7, sınıf mevcudu 5x = 35 tir.