Her girdiye
bir ve yalnız bir çıktı.
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. Bu tek cümlede iki şart saklı: her eleman eşlenecek ve tek elemana eşlenecek. Ünitenin tamamı bu iki şartın denetlenmesi üzerine kurulu.
Her eşleme fonksiyon değildir. Bir eşlemenin fonksiyon sayılması için A kümesindeki her elemandan tam olarak bir ok çıkmalıdır — ne eksik ne fazla.
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f: A → B şeklinde gösterilir.
Bu gösterimde x bağımsız değişken, y bağımlı değişken olarak adlandırılır. Yani y'nin değeri x'in aldığı değere göre belirlenir; x'i sen seçersin, y'yi kural belirler. Fonksiyonlar genellikle f, g, h gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir eleman boşta kalırsa ("her" şartı bozulur) eşleme fonksiyon değildir. Bir elemandan iki ok çıkarsa ("yalnız bir" şartı bozulur) yine fonksiyon değildir. Ama B kümesinde boşta eleman kalması serbesttir — bu fonksiyonluğu bozmaz, yalnızca fonksiyonu "içine" yapar (42. ünite). Aynı şekilde iki farklı x'in aynı y'ye gitmesi de serbesttir; şart yalnızca A tarafındaki elemanlar için konmuştur.
f: A → B yazdığında iki küme adı geçer ama üç küme vardır. Üçüncüsü B'nin içinde saklıdır ve soruların çoğu tam olarak onu sorar.
f: A → B gösteriminde A kümesine tanım kümesi adı verilir. Fonksiyona girecek değerlerin kümesidir; bağımsız değişken buradan seçilir.
f: A → B gösteriminde B kümesine değer kümesi adı verilir. Çıktıların içinden seçildiği havuzdur; havuzun tamamının kullanılması gerekmez.
A kümesindeki elemanların B kümesinde eşleştiği elemanların oluşturduğu f(A) kümesine görüntü kümesi adı verilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir: f(A) ⊆ B.
A ve B boş kümeden farklı birer küme ve s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı nᵐ ifadesi ile hesaplanır. Sebebi 36. ünitenin saymanın temel ilkesi: A'daki her eleman için n ayrı seçenek var ve bu seçimler arka arkaya yapılıyor, yani n · n · … · n = nᵐ.
Fonksiyon kuralı bir makinedir: paranteze ne koyarsan kural onu işler. TYT'de en çok soru, parantezin içinde x yerine bir cebirsel ifade olduğunda çıkıyor.
Fonksiyon kuralı x yerine bir cebirsel ifadeye bağlı verildiyse (örneğin f(3x – 2), vb.) fonksiyonun istenilen değeri için parantez içindeki cebirsel ifade eşitliğin diğer tarafında çarpanlara ayırma kullanılarak oluşturulmaya uygunsa f(x) kuralına ulaşılabilir. Burada (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 olduğu görülür; geriye kalan 13 – 4 = 9 sabiti eklenir. Sağ taraf tamamen "parantez içi" cinsinden yazılınca parantezin adını x koymak yeterlidir.
Fonksiyon kuralının katsayılarından biri verilmemişse varsa grafikten veya fonksiyona ait (x, f(x)) ikililerinden yararlanılarak katsayı elde edilebilir. f(x) = ax + 3 ve f(2) = 11 ise 2a + 3 = 11 ⇒ a = 4 bulunur.
Bir fonksiyonun başka bir değişken cinsinden yazılması isteniyorsa fonksiyon kuralında x yerine istenen cebirsel ifade veya çokluk yazılarak sonuç bulunabilir. f(x) = 2x + 1 için f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3 olur.
Tanım kümesi bir aralık olduğunda görüntü kümesini bulmak için bütün sayıları denemek gerekmez; aralığın uçlarına ve kritik noktalara bakmak yeter.
A = (a, b] kümesi tanım kümesi olduğunda a elemanı kümeye dâhil olmadığı için bir görüntüsü bulunmaz. Dolayısıyla f(a) = c ve f(b) = d olmak üzere görüntü kümesi B = (c, d] şeklinde oluşturulur. Yani uçların açıklığı-kapalılığı olduğu gibi karşı tarafa taşınır — artan bir fonksiyonda sıra da korunur.
Tanım veya görüntü kümelerinden biri verildiğinde fonksiyon kuralı kullanılarak diğeri bulunabilir. Bunun için kümelerin sınırlarını oluşturan elemanların görüntülerini bulmak yeterlidir. Eğer fonksiyon örten değilse, çift dereceli terim içeriyorsa veya parçalı verilmişse kritik noktaların görüntüleri incelenmelidir.
Periyodik olarak değişen iki fonksiyonun birbirine bağlı verildiği sorularda (örneğin f(x – a) – x · f(x) = 0) parantez içindeki ifadelerin durumuna göre x = 1, x = a gibi değerler için denklem sistemleri oluşturulur ve yok etme metodu, yerine koyma metodu vb. kullanılarak çözüm elde edilir. Kısacası: tek bir eşitlikten iki bilinmeyen çıkıyorsa, x'e uygun sayılar vererek ikinci bir denklem üretilir.
Her öğrencinin tam bir okul numarası vardır; iki numarası olan öğrenci yoktur. Bu yüzden "öğrenci → numara" bir fonksiyondur. Numaralar listesinde kullanılmayan numara kalması ise bu eşlemeyi bozmaz.
Her şarkının tek bir süresi vardır: "şarkı → süre" fonksiyondur. Ama "süre → şarkı" fonksiyon değildir, çünkü 3:24 uzunluğunda birden fazla şarkı olabilir — bir girdiden iki ok çıkar.
Kart bakiyen 150 lira, biniş 15 lira ise kalan bakiye f(x) = 150 – 15x fonksiyonudur. Burada x bağımsız değişken (kaç kez bindiğin), f(x) bağımlı değişkendir (kalan para). f(4) = 90 lira.
Her zaman anına tek bir şarj yüzdesi karşılık gelir; telefon aynı anda hem %40 hem %70 olamaz. "Zaman → şarj" bu yüzden fonksiyondur ve grafiği düşey doğru testini geçer (45. ünite).
Kantinde 4 çeşit tost var ve 3 arkadaş herkes bir tost seçecek. Kaç farklı sipariş listesi olur? Tam olarak nᵐ = 4³ = 64. Bu, "3 elemanlı kümeden 4 elemanlı kümeye kaç fonksiyon tanımlanır" sorusunun aynısıdır.
Doğru sayısı d, yanlış sayısı y iken net d – y/4 kuralıyla hesaplanır. Bir kâğıdın tek bir neti olduğu için bu bir fonksiyondur; aynı netin farklı kâğıtlardan çıkması fonksiyonluğu bozmaz.
Aylık 400 lira sabit + her ek ders 50 lira ise ücret f(x) = 50x + 400 olur. Kuraldaki 400 başlangıç değeri, 50 ise artış hızıdır — 43 ve 45. ünitedeki doğrusal fonksiyonun ta kendisi.
Okuldaki her dolabın bir anahtarı varsa "dolap → anahtar" bir fonksiyondur. Bir dolaba iki anahtar verilirse "yalnız bir" şartı bozulur; bir dolap anahtarsız kalırsa "her" şartı bozulur.
"Sepet tutarının %20 fazlasının yarısı" gibi bir kupon kuralı f(x) = 1,2x / 2 = 0,6x demektir. Sepete 250 lira koyarsan f(250) = 150. Parantezin içine ne koyarsan kural onu işler — 03. bölümdeki makine mantığı.
Fonksiyon tanımı ve iki şartı, tanım-değer-görüntü kümeleri, nᵐ fonksiyon sayısı, fonksiyon kuralıyla çalışma ve aralıklarda görüntü kümesi bulma üzerine 32 soru.
A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir.
A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f: A → B şeklinde gösterilir. Bu gösterimde x bağımsız değişken, y bağımlı değişken olarak adlandırılır. Fonksiyonlar genellikle f, g, h gibi küçük harflerle gösterilir.
f: A → B gösteriminde A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi adı verilir. A kümesindeki elemanların B kümesinde eşleştiği elemanların oluşturduğu f(A) kümesine ise görüntü kümesi adı verilir.
Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir. Değer kümesinde eşleşmemiş eleman kalması fonksiyonluğu bozmaz.
A ve B boş kümeden farklı birer küme ve s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı nᵐ ifadesi ile hesaplanır.
A = (a, b] kümesi tanım kümesi olduğunda a elemanı kümeye dâhil olmadığı için bir görüntüsü bulunmaz. f(a) = c ve f(b) = d olmak üzere görüntü kümesi B = (c, d] şeklinde oluşturulur.
Kümelerin sınırlarını oluşturan elemanların görüntülerini bulmak çoğu zaman yeterlidir. Ancak fonksiyon örten değilse, çift dereceli terim içeriyorsa veya parçalı verilmişse kritik noktaların görüntüleri incelenmelidir.
Fonksiyon kuralı x yerine bir cebirsel ifadeye bağlı verildiyse, fonksiyonun istenilen a değeri için parantez içindeki cebirsel ifadeyi a sayısına eşitleyen sayı kullanılarak işlem yapılır.
Sağ taraf çarpanlara ayırma kullanılarak parantez içindeki ifade cinsinden yazılabiliyorsa f(x) kuralına ulaşılabilir.