Sıra önemli
değilse…
Kombinasyon sayısı ile farklı gruplamaların sayısı kastedilir. Bir önceki ünitede diziliş sayıyorduk; burada sadece kimlerin seçildiği önemli. İkisi arasındaki bağ tek bir eşitlikte gizli: P(n, r) = C(n, r) ∙ r!
A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine A kümesinin r'li kombinasyonu denir. n, r ∈ ℕ, n ≥ r olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı (kısaca r'li) kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ya da (nr) ile gösterilir. Yani kombinasyon, 33. ünitede saydığın alt kümeleri eleman sayısına göre ayırarak saymaktan başka bir şey değil.
n, r ∈ ℕ, n ≥ r olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı permütasyonlarının sayısı ile r elemanlı kombinasyonlarının sayısı arasında P(n, r) = C(n, r) ∙ r! eşitliği vardır. Sebebi: önce r kişiyi seçersin (C(n, r)), sonra onları kendi aralarında sıralarsın (r!).
Kombinasyon sayısının hesaplanmasında kümenin elemanlarının sıralama sayısı değil bu elemanların seçilebilme sayısı önemlidir. "Komisyon, ekip, grup, takım, alt küme, doğru, üçgen" → kombinasyon; "başkan-yardımcı, sıraya dizmek, şifre, birinci-ikinci" → permütasyon.
Alt küme ünitesinde n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi olduğunu görmüştün. Şimdi aynı sayıyı başka yoldan buluyorsun: 0 elemanlı alt kümeler C(n, 0) tane, 1 elemanlılar C(n, 1) tane… hepsini toplayınca yine 2ⁿ çıkıyor. İki ünite aynı şeyi iki farklı yoldan sayıyor.
Problemlerde kombinasyon sayısı ile farklı gruplamaların sayısı kastedilir. "En az", "en fazla", "en çok" gibi ifadeler gördüğünde soruyu birbirini dışlayan durumlara ayırıp sonuçları toplarsın; her durumun içinde ise seçimler arka arkaya yapıldığı için çarparsın.
6 matematik, 4 fizik öğretmeni arasından en fazla 2 fizik öğretmeninin bulunduğu 4 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir? "En fazla 2 fizik" demek; 2 fizik, 1 fizik ya da hiç fizik öğretmeni bulunmaması demektir.
A = {a, b, c, d, 1, x, y} kümesi (7 elemanlı) için: 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında x bulunur? x sabitlenir, kalan 2 eleman diğer 6'dan seçilir: C(6, 2) = 15. Kaçında y bulunmaz? y dışarı çıkar, 3 eleman kalan 6'dan seçilir: C(6, 3) = 20. Kaçında x bulunup y bulunmaz? x sabit, y dışarıda, kalan 2 eleman 5'ten seçilir: C(5, 2) = 10.
Bir doğru iki noktayla, bir üçgen üç noktayla belirlenir — ve bu noktaları hangi sırayla seçtiğin önemli değildir. Bu yüzden geometrik sayma sorularının neredeyse tamamı kombinasyona iner.
n ∈ ℕ, n ≥ 3 olmak üzere herhangi üçü doğrusal olmayan n tane
farklı noktanın herhangi iki tanesinden farklı bir doğru geçer; bu noktalardan geçen toplam
doğru sayısı C(n, 2) olur.
Aynı mantıkla toplam üçgen sayısı C(n, 3),
toplam dörtgen sayısı C(n, 4) ve genel olarak
toplam r-gen sayısı C(n, r) olur (n ≥ r).
Paralel ise hiçbir noktada kesişmez. Çakışık ise sonsuz noktada kesişir. Paralel ya da çakışık olmayan iki doğru tek bir noktada kesişir. Aynı düzlemde bulunan ve farklı (çakışık olmayan) n tane doğru en çok C(n, 2) noktada kesişir.
20 kişilik sınıftan 4 kişilik proje grubu kaç farklı şekilde kurulur? C(20, 4) = 4845. Grupta kimin önce yazıldığı önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır.
10 kişiden 5 kişilik basketbol takımı C(10, 5) = 252 farklı şekilde seçilir. Ama takıma kaptan da seçilecekse sıra devreye girer ve sayı değişir.
8 kişi birbiriyle birer kez tokalaşırsa kaç tokalaşma olur? C(8, 2) = 28 — sen onunla tokalaşınca o da seninle tokalaşmış olur, ikili bir kez sayılır.
8 malzemeden 3'ünü seçeceksen C(8, 3) = 56 farklı pizza çıkar. Malzemelerin hangi sırayla konduğu pizzayı değiştirmez.
Sınavda "10 sorudan 8'ini cevaplayın" denirse C(10, 8) = C(10, 2) = 45 farklı seçim var. Simetri özelliği sayesinde 8'i seçmek yerine 2'sini elemeyi saymak çok daha kolay.
Turnuvada 12 takım tek devreli lig yapıyorsa C(12, 2) = 66 maç oynanır. Çift devreli olsaydı ev sahipliği önem kazanır ve sayı ikiye katlanırdı.
Bir çokgenin köşelerinden geçen doğru sayısı C(n, 2)'dir; bunların n tanesi kenar olduğu için köşegen sayısı C(n, 2) – n olur. Beşgende: 10 – 5 = 5 köşegen.
Herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan 6 nokta işaretlersen C(6, 3) = 20 farklı üçgen çizebilirsin. Üç noktayı hangi sırayla birleştirdiğin üçgeni değiştirmez.
Bir kafede 5 çeşit meyveden istediğin kadarını seçebiliyorsan toplam 2⁵ = 32 seçenek var — bu, bütün kombinasyonların toplamıdır: C(5,0) + C(5,1) + … + C(5,5) = 32.
Kombinasyon kavramı ve formülü, özellikleri, P(n, r) = C(n, r)·r! bağıntısı, kombinasyon problemleri ve kombinasyon-geometri ilişkisi üzerine 40 soru.
A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine A kümesinin r'li kombinasyonu denir. n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterilir.
n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı permütasyonlarının sayısı ile r elemanlı kombinasyonlarının sayısı arasında P(n, r) = C(n, r) ∙ r! eşitliği vardır.
n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı 1, 1 elemanlı alt küme sayısı n, n elemanlı alt küme sayısı 1'dir.
n, r ∈ ℕ, n ≥ r olmak üzere C(n, r) = C(n, n – r) eşitliği vardır. r büyükse n – r ile hesaplamak işlemi kısaltır.
n, r ∈ ℕ, n ≥ r + 1 olmak üzere bu eşitlik geçerlidir; Pascal üçgeninde her sayının üstündeki iki komşusunun toplamı olmasının sebebi budur.
n, bir kümenin eleman sayısı olmak üzere bütün kombinasyonların toplamı 2ⁿ olur; bu aynı zamanda kümenin alt küme sayısıdır.
Kombinasyon sayısı ile farklı gruplamaların sayısı kastedilir. Kombinasyon sayısının hesaplanmasında kümenin elemanlarının sıralama sayısı değil bu elemanların seçilebilme sayısı önemlidir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan n tane farklı noktadan geçen toplam doğru sayısı C(n, 2), oluşturulabilecek üçgen sayısı C(n, 3), dörtgen sayısı C(n, 4) ve r-gen sayısı C(n, r) olur.
Aynı düzlemde bulunan ve çakışık olmayan n tane doğru en çok C(n, 2), n tane çember en çok 2 ∙ C(n, 2), n tane üçgen en çok 6 ∙ C(n, 2), r kenarlı n tane çokgen en çok 2 ∙ r ∙ C(n, 2) noktada kesişir.