Kaç farklı
diziliş var?
Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı kastedilir. Sıra önemliyse permütasyon devreye girer: 5 kişiyi yan yana dizmek 120 farklı şekilde olur, ama aynı 5 kişiden 3'ünü seçip sıraya dizmek 60 farklı şekilde.
n ∈ ℕ olmak üzere 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n – 1) ∙ n olur. 0! = 1 ve 1! = 1 olarak kabul edilir.
Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = n! farklı şekilde sıralanabilir. Bir önceki ünitedeki saymanın temel ilkesinin doğrudan sonucudur: ilk yere n, sonrakine n – 1 seçenek kalır.
Faktöriyeli bir basamak açmanı sağlar: 10! = 10 · 9! gibi. Kesirli ifadelerde sadeleştirme yapmak için önce büyük faktöriyeli küçüğüne göre açarsın, sonra sadeleştirirsin.
Faktöriyel olarak verilen sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken sayı değeri küçük olan faktöriyele göre düzenlenip ortak paranteze alınarak işlemler yapılır. Yani 9! + 10! ifadesinde 9!'e göre düzenleyip 9!(1 + 10) yazarsın.
n! = ak ∙ t ifadesinde a asal sayısının en fazla kaç tane olduğunu bulmak için n sayısı kalanı a'dan küçük olana kadar a sayısına bölünür. Bölümler toplamı k'nın alabileceği en büyük değeri verir.
(9! – 8!) / (10! + 9!) işleminin sonucunu bulalım. Pay 8!'e, payda 9!'a göre düzenlenir:
n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n'nin r'li bir permütasyonu denir. Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı kastedilir.
n elemanlı bir kümenin r'li permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir. A = {a, b, c} kümesinin elemanlarını ikişerli seçerek yapılabilecek tüm sıralı ikililer (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) şeklindedir; üç elemanlı bir kümenin ikili permütasyonlarının sayısı 6'dır.
5 ∙ P(8, 3) = 8 ∙ P(n, 2) denklemini sağlayan n pozitif tam sayısını bulalım.
A = {11, 13, 17, 19, 23, 29} (iki basamaklı en küçük 6 asal sayı) kümesinin üçlü permütasyonlarından 11'in olmadıkları: 11 dışarı çıkar, kalan 5 elemandan P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60. 11'in olduğu permütasyonlar ise tümünden bunlar çıkarılarak bulunur: P(6, 3) – P(5, 3) = 120 – 60 = 60.
Permütasyonun tanımı "dizilişlerin her biri" der — yani (a, b) ile (b, a) ayrı sayılır. Soruda başkan-yardımcı, birinci-ikinci, sıraya dizmek, şifre oluşturmak gibi ifadeler geçiyorsa sıra önemlidir ve permütasyon kullanılır. Bir sonraki ünitedeki kombinasyonda ise sıra önemli değildir.
n₁ + n₂ + n₃ + … + nr = n olmak üzere n tane nesnenin n₁ tanesi özdeş (aynı büyüklük ve özellikte), n₂ tanesi özdeş, …, nr tanesi özdeş ise bu n tane nesnenin farklı permütasyonlarının sayısı n! / (n₁! ∙ n₂! ∙ … ∙ nr!) ile bulunur.
"ELEK" kelimesinin harflerinden herhangi 3'ünün kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. ELEK kelimesinden elde edilebilecek 3 harfli sıralanışların sayısı üç farklı durumda incelenir:
Kalan L, E, K harfleriyle 3! = 6
Kalan E, E, K harfleriyle 3!/(2!·1!) = 3
Kalan E, L, E harfleriyle 3!/(2!·1!) = 3
Buradan yazılabilecek tüm sıralanışların sayısı 6 + 3 + 3 = 12 olur. Üç durum birbirini dışladığı için toplandı — saymanın toplama kuralı.
5 arkadaş yan yana kaç farklı şekilde dizilir? 5! = 120. Birbirinden farklı n tane nesne n! farklı şekilde sıralanabilir — her fotoğrafta sıra değişince yeni bir diziliş olur.
8 kişilik yarışta ilk üç kaç farklı şekilde belirlenir? P(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336. Birinci-ikinci-üçüncü ayrı ayrı önemli olduğu için permütasyon kullanılır.
10 şarkıdan 4'ünü seçip sıraya koyacaksan P(10, 4) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 farklı liste çıkar. Aynı şarkılar farklı sırada başka bir listedir.
Rakamları tekrar etmeyen 4 haneli bir şifrede P(10, 4) = 5040 seçenek var. Tekrar serbest olsaydı 10⁴ = 10 000 olurdu — fark, her adımda seçeneğin azalmasından.
"ANNE" kelimesinin harfleri 4!/2! = 12 farklı şekilde dizilir; iki N özdeş olduğu için yer değiştirmeleri yeni bir kelime üretmez. Özdeş nesneler sayıyı böler.
3 altın, 2 gümüş madalyayı bir rafa dizmek 5!/(3!·2!) = 10 farklı şekilde olur. Aynı renk madalyalar birbirinden ayırt edilemez.
7 kişilik kulüpte başkan, sekreter ve sayman seçilecekse P(7, 3) = 210 farklı sonuç var — görevler farklı olduğu için kimin hangi göreve geldiği önemli.
6 grubun sunum sırası kurayla belirleniyorsa 6! = 720 farklı sıra mümkün. Senin grubunun ilk sırada çıkma ihtimalini bir sonraki ünitelerde olasılıkla hesaplayacaksın.
Üç şeritli bir bayrağı 5 renkten seçerek, aynı renk iki kez kullanılmadan P(5, 3) = 60 farklı şekilde boyayabilirsin. Şeritlerin sırası değişince bayrak da değişir.
Faktöriyel kavramı ve özellikleri, faktöriyelle işlem, asal çarpanın en büyük kuvveti, permütasyon P(n, r) ve tekrarlı permütasyon üzerine 40 soru.
n ∈ ℕ olmak üzere 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir.
0! = 1 ve 1! = 1 olarak kabul edilir. Ayrıca n! = n ∙ (n – 1)! özelliği sadeleştirmelerde kullanılır.
Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = n! farklı şekilde sıralanabilir.
Faktöriyel olarak verilen sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken sayı değeri küçük olan faktöriyele göre düzenlenip ortak paranteze alınarak işlemler yapılır.
a asal sayısının en fazla kaç tane olduğunu bulmak için n sayısı kalanı a'dan küçük olana kadar a'ya bölünür; bölümler toplamı k'nın alabileceği en büyük değeri verir. Örnek: 29! = A · 3ᵏ için 9 + 3 + 1 = 13.
n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n'nin r'li permütasyonu denir. Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı kastedilir.
P(n, 0) = n!/(n – 0)! = 1, P(n, 1) = n!/(n – 1)! = n ve P(n, n) = n!/(n – n)! = n! olur.
n₁ + n₂ + … + nr = n olmak üzere n tane nesnenin n₁ tanesi özdeş, n₂ tanesi özdeş, …, nr tanesi özdeş ise farklı permütasyonlarının sayısı bu formülle bulunur.
ELEK kelimesinin harflerinden 3'ünün sıralanışı üç durumda incelenir: L, E, K ile 3! = 6; E, E, K ile 3!/(2!·1!) = 3; E, L, E ile 3!/(2!·1!) = 3. Toplam 12 sıralanış olur.