İstenen
bölü hepsi.
Her bir çıktısının gelme şansı eşit olan örnek uzay E ve bu örnek uzayın bir olayı A olmak üzere P(A) = s(A) / s(E) dir. Bütün ünite bu tek kesrin üzerine kurulu — pay ve paydayı doğru saymak için önceki üç ünitenin sayma yöntemlerini kullanacaksın.
Olasılık hesaplamadan önce üç şeyi ayırman gerekiyor: yapılan iş (deney), elde edilen sonuç (çıktı) ve bütün sonuçların listesi (örnek uzay).
Tekrarlanabilen, farklı tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen süreçlere birer deney denir. Örneğin havaya bir madenî para atma bir deneydir.
Bir deneyde elde edilen sonuçların her birine o deneye ait çıktı denir. Havaya atılan bir madenî para yere düştüğünde üst yüzündeki "yazı" ya da "tura" sonuçları bu deneye ait çıktılardır.
Bir deneyin bütün çıktılarının kümesine o deneyin örnek uzayı denir. Örnek uzay, genellikle E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
E = { Y, T } · s(E) = 2
E = { YY, YT, TY, TT } · s(E) = 4
E = { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT } · s(E) = 8
n tane madenî paranın birlikte atılması deneyi ile bir madenî paranın n defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 2ⁿ elemanlıdır. n tane zarın birlikte havaya atılması deneyi ile bir zarın n defa havaya atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 6ⁿ elemanlıdır.
Olaylar örnek uzayın alt kümeleri olduğu için 34. ünitedeki bütün küme işlemleri burada aynen geçerli. Tek fark, kümelerin artık "olay" diye adlandırılması.
Ortak elemanları olmayan kümeler ile temsil edilen olaylara ayrık olaylar denir. A ve B ayrık iki olay ise A ∩ B = ∅ olur.
İki olayın ortak elemanı varsa bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir. A ve B ayrık olmayan iki olay ise A ∩ B ≠ ∅ olur.
Bir A olayının çıktılarının dışında örnek uzayın bütün çıktılarını içeren olaya A olayının tümleyeni denir ve A' ile gösterilir.
Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olay denir. Bir zarda 7 gelmesi imkânsız olaydır; olasılığı 0'dır.
Gerçekleşmesi kesin olan olaylara kesin olay denir. Bir zarda 7'den küçük bir sayı gelmesi kesin olaydır; olasılığı 1'dir.
Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir. Bu yüzden n elemanlı bir örnek uzayda toplam 2ⁿ farklı olay tanımlanabilir — 33. ünitedeki alt küme sayısıyla aynı.
Her bir çıktısının gelme şansı eşit olan örnek uzay E ve bu örnek uzayın bir olayı A olmak üzere A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile gösterilir: P(A) = A olayının eleman sayısı / örnek uzayın eleman sayısı = s(A) / s(E). Bu durum eş olası olmayan olaylar için geçerli değildir.
Bir A olayının olma olasılığı en az 0, en çok 1 olur. Olasılığı 0 olan olaylara imkânsız olay, 1 olan olaylara kesin olay denir. Bir soruda olasılık 1'den büyük ya da negatif çıkıyorsa mutlaka hesap hatası vardır.
Formül, örnek uzayın her bir çıktısının gelme şansının eşit olmasını gerektirir. Hileli bir zar ya da ağırlıkları farklı toplar söz konusuysa bu durum eş olası olmayan olaylar için geçerli değildir ve s(A)/s(E) kullanılamaz.
İki olayın en az birinin gerçekleşme olasılığı sorulduğunda, olayların ayrık olup olmadığına bakman gerekir. Bu, 34. ünitedeki s(A ∪ B) formülünün olasılığa çevrilmiş hâlidir.
A ve B ayrık iki olay ise A veya B olaylarının olma olasılığı bu olayların olasılıkları toplamıdır. Ortak çıktı olmadığı için çıkarılacak bir şey yok.
A ve B ayrık olmayan iki olay ise P(A veya B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) olur. Ortak çıktılar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır.
Örnek uzayın herhangi bir A olayının tümleyeni A' olmak üzere P(A) + P(A') = 1 olur. "En az bir" tipindeki soruların çoğu, tümleyeni ("hiçbiri") hesaplayıp 1'den çıkararak çok daha kolay çözülür.
6 grup arasından kura çekiliyorsa senin grubunun ilk sırada çıkma olasılığı 1/6'dır. Her grubun şansı eşit olduğu için doğrudan s(A)/s(E) kullanılabilir.
İki zar attığında toplamın 7 gelme olasılığı 6/36 = 1/6. Örnek uzay 6² = 36 elemanlı; 7 veren 6 farklı çıktı var. En sık gelen toplam budur.
Okul çekilişinde 200 biletten 5'ini aldıysan kazanma olasılığın 5/200 = 1/40. Kazanamama olasılığın ise tümleyenden: 1 – 1/40 = 39/40.
"3 para atıldığında en az bir yazı gelme olasılığı" doğrudan sayılırsa 7 durum çıkar; ama tümleyeninden ("hiç yazı gelmemesi") gitmek çok kolay: 1 – 1/8 = 7/8.
30 kişilik sınıfta 18 kız varsa rastgele seçilen birinin kız olma olasılığı 18/30 = 3/5. Erkek olma olasılığı tümleyendir: 2/5. İki olasılığın toplamı her zaman 1.
Aynı saatteki iki kulüpten birine seçilme olasılıkları toplanır çünkü olaylar ayrıktır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Saatler çakışmasaydı ortak üye olabilir ve kesişimi çıkarman gerekirdi.
"Yarın %70 yağmur" demek, yağmamasının olasılığının %30 olması demektir. İkisi tümleyendir ve toplamları her zaman 1'dir.
Hiç bilmediğin 4 şıklı bir soruda rastgele işaretlersen doğru yapma olasılığın 1/4. İki elediğinde 1/2'ye çıkar — payda küçülünce olasılık büyür.
Bir yüzü ağırlaştırılmış zarda yüzlerin gelme şansı eşit değildir; bu yüzden s(A)/s(E) formülü kullanılamaz. Formülün ön koşulu her çıktının eş olası olmasıdır.
Deney, çıktı ve örnek uzay, olay çeşitleri, olasılık kavramı ve sınırları, ayrık ve ayrık olmayan olaylarda toplama kuralı ile tümleyen üzerine 40 soru.
Tekrarlanabilen, farklı tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen süreçlere birer deney denir. Bir deneyde elde edilen sonuçların her birine o deneye ait çıktı denir.
Bir deneyin bütün çıktılarının kümesine o deneyin örnek uzayı denir, genellikle E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
n tane madenî paranın birlikte atılması ile bir paranın n defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 2ⁿ elemanlıdır. n tane zar için bu sayı 6ⁿ dir.
Ortak elemanları olmayan kümeler ile temsil edilen olaylara ayrık olaylar denir. İki olayın ortak elemanı varsa bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir.
Bir A olayının çıktılarının dışında örnek uzayın bütün çıktılarını içeren olaya A olayının tümleyeni denir ve A' ile gösterilir. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olay, gerçekleşmesi kesin olan olaylara kesin olay denir.
Her bir çıktısının gelme şansı eşit olan örnek uzay E ve bu örnek uzayın bir olayı A olmak üzere A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) = s(A)/s(E) dir. Bu durum eş olası olmayan olaylar için geçerli değildir.
Bir A olayının olma olasılığı en az 0, en çok 1 olur. Olasılığı 0 olan olaylara imkânsız olay, 1 olan olaylara kesin olay denir.
A ve B ayrık iki olay ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) olur. A ve B ayrık olmayan iki olay ise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) olur.
Örnek uzayın herhangi bir A olayının tümleyeni A' olmak üzere P(A) + P(A') = 1 olur. "En az bir" sorularında tümleyenden gitmek işlemi kısaltır.