Saymadan
saymanın yolu.
Tek tek yazmadan kaç seçenek olduğunu bulabilirsin: ayrık durumlar varsa topla, arka arkaya seçim varsa çarp. Bu ünitede sıralı ikili, kartezyen çarpım ve saymanın temel ilkesini öğreniyorsun — permütasyon ve olasılığın da temeli bu.
Her ikisi de boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinden bir a elemanı, B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve (a, b) şeklinde gösterilen ifadeye sıralı ikili adı verilir. Bu gösterimde a'ya birinci bileşen, b'ye ise ikinci bileşen adı verilir. Kümede {1, 2} ile {2, 1} aynıydı; sıralı ikilide değil.
a ve b birbirinden farklı ise (a, b) ve (b, a) sıralı ikilileri de birbirinden farklıdır. Sıralı ikililer yazılırken bileşenlerin yazılış sırası önemlidir. Kümelerde {a, b} = {b, a} iken sıralı ikilide (a, b) ≠ (b, a) olur.
(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir. Bu eşitlikte a = c ve b = d dir. Yani iki sıralı ikilinin eşitliği, iki ayrı denklem demektir.
Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve A×B ile gösterilir. Ortak özellik yöntemiyle A×B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} biçiminde yazılır.
A ve B birbirinden farklı iki küme ise A×B ≠ B×A olur. Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler oluştururlar. Eleman sayıları eşittir ama kümeler farklıdır.
Boş kümenin herhangi bir elemanı olmadığı için kartezyen çarpımının sonucu da yine boş küme bulunur. İkinci bileşeni seçecek eleman yoksa hiçbir sıralı ikili kurulamaz.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere s(A) = a ve s(B) = b ise s(A×B) = a ∙ b olur. Birinci bileşen a farklı, ikinci bileşen b farklı seçilebildiği için toplam a · b ikili çıkar.
Kartezyen çarpım grafiğinin dik koordinat sisteminde gösterimi için A×B kümesini oluşturan sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci bileşenleri ise y ekseni üzerinde bulunur. x eksenindeki bileşenlere düşey ve kesikli, y eksenindeki bileşenlere yatay ve kesikli doğrular çizilip kesiştiği noktalar işaretlenir. Bu şekilde elde edilen noktaların oluşturduğu grafik A×B'nin grafiğidir.
A = {2, 3, 4} ve B = {3, 5} için A×B kümesi {(2, 3), (3, 3), (4, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)} olur ve 6 nokta işaretlenir: s(A×B) = 3 · 2 = 6. Noktalar düzgün bir ızgara oluşturur — her x değeri her y değeriyle eşleştiği için satır ve sütunlar tam dolar.
Bir kümenin elemanlarını, pozitif tam sayılar kümesinin elemanları ile sıralı olarak bire bir eşleyerek bulma işlemine bire bir eşleme yoluyla sayma denir. Eleman sayısı büyüdüğünde tek tek saymak imkânsızlaşır; bu yüzden iki kısayol kullanılır.
Sonlu ve ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısını bulmak için bu kümelerin eleman sayıları toplanır. Bu yöntemle saymaya toplama yoluyla sayma denir. A ile B sonlu ve ayrık iki küme olmak üzere s(A ∪ B) = s(A) + s(B) olur. Dikkat: kümelerin ayrık olması şart.
A×B kümesinin elemanları olan (x, y) sıralı ikililerinin sayısı s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere m ∙ n adet olur. Sıralı ikililerin sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.
k tane olayın gerçekleştiği bir olaylar dizisinde birinci olay n₁ farklı biçimde, ikinci olay n₂ farklı biçimde ve bu şekilde devam edildiğinde k'ninci olay nk farklı biçimde gerçekleşiyorsa bu olayların tamamı n₁ · n₂ · n₃ · … · nk çarpımı kadar farklı biçimde gerçekleşir.
4 tişört, 3 pantolon ve 2 ayakkabın varsa kaç farklı kombin çıkar? 4 · 3 · 2 = 24 — her seçim bir öncekinden bağımsız olduğu için saymanın temel ilkesi doğrudan işler.
5 çeşit tost, 3 çeşit içecek varsa 5 · 3 = 15 farklı menü var. Tost ile içecek aslında bir sıralı ikili: (tost, içecek).
Otobüsle 4, minibüsle 3 farklı hat varsa 4 + 3 = 7 yol vardır — ikisini aynı anda kullanamazsın, yani durumlar ayrık. Ayrık durumda toplanır, arka arkaya seçimde çarpılır.
4 haneli, her hanesi 0-9 arası bir şifrede 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 seçenek var. Rakamlar tekrarlanabildiği için her adımda sayı azalmıyor.
30 kişilik sınıfta başkan ve yardımcısı seçilecekse 30 · 29 = 870 farklı sonuç çıkar — aynı kişi ikisini birden olamayacağı için ikinci adımda seçenek bir azalır.
6 saç, 4 kıyafet, 3 aksesuar seçeneği olan bir oyunda 6 · 4 · 3 = 72 farklı karakter kurulabilir. Oyun ekranındaki "kombinasyon sayısı" tam olarak bu çarpımdır.
Sinemada "F sırası, 12. koltuk" bir sıralı ikilidir: (F, 12). (12, F) diye bir koltuk yok — bileşenlerin yazılış sırası önemlidir.
Bir noktanın (x, y) koordinatı da sıralı ikilidir; (3, 5) ile (5, 3) haritada bambaşka iki yerdir. Kartezyen çarpımın grafiği bu yüzden koordinat sisteminde çiziliyor.
A grubundaki 5 takım ile B grubundaki 4 takım birer maç yapacaksa 5 · 4 = 20 maç oynanır — bu tam olarak A×B kümesinin eleman sayısıdır.
Sıralı ikililer, kartezyen çarpım ve özellikleri, A×B grafiği, toplama ve çarpma yoluyla sayma ile saymanın temel ilkesi üzerine 40 soru.
Her ikisi de boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinden bir a elemanı, B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve (a, b) şeklinde gösterilen ifadeye sıralı ikili denir. a birinci bileşen, b ikinci bileşendir.
a ve b birbirinden farklı ise (a, b) ve (b, a) sıralı ikilileri de birbirinden farklıdır. Sıralı ikililer yazılırken bileşenlerin yazılış sırası önemlidir.
(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir; bu eşitlikte a = c ve b = d dir.
Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni bir B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve A×B ile gösterilir.
A ve B birbirinden farklı iki küme ise A×B ≠ B×A olur. Boş kümenin herhangi bir elemanı olmadığı için A×∅ = ∅×A = ∅ bulunur.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere s(A) = a ve s(B) = b ise s(A×B) = a ∙ b olur.
Sonlu ve ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısını bulmak için bu kümelerin eleman sayıları toplanır; bu yönteme toplama yoluyla sayma denir.
A×B kümesinin elemanları olan (x, y) sıralı ikililerinin sayısı s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere m ∙ n adettir; sıralı ikililerin sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.
k tane olayın gerçekleştiği bir olaylar dizisinde birinci olay n₁, ikinci olay n₂ ve k'ninci olay nk farklı biçimde gerçekleşiyorsa bu olayların tamamı n₁ · n₂ · n₃ · … · nk çarpımı kadar farklı biçimde gerçekleşir.