Yarıçapı 1 olunca
oran koordinat olur.
Merkezi orijinde, yarıçapı 1 birim olan çemberde bir noktanın apsisi kosinüs, ordinatı sinüs oluyor. Bölme işlemi paydası 1 olduğu için ortadan kalkıyor; geriye sadece okunacak bir koordinat kalıyor.
Konu özetinin tanımı: merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. Eksenleri kestiği noktalar A(1, 0), B(0, 1), C(–1, 0) ve D(0, –1) dir.
Çember üzerindeki K(x, y) noktası için KOT dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır. Dik kenarlar |OT| = x ve |KT| = y, hipotenüs ise yarıçap yani 1 dir.
A(1, 0) sağda, B(0, 1) yukarıda, C(–1, 0) solda, D(0, –1) aşağıda. Bu dört nokta çemberi dört eşit yaya, düzlemi de dört bölgeye ayırır.
Dik üçgende sin α = karşı / hipotenüs tü. Hipotenüs yarıçap olduğu ve yarıçap 1 seçildiği için payda 1 olur ve bölme ortadan kalkar: sin α artık doğrudan y koordinatının kendisidir. Aynı sebeple cos α = x tir.
Konu özetinin verdiği düzen: birinci bölgede x ve y pozitif, ikinci bölgede x negatif y pozitif, üçüncü bölgede ikisi de negatif, dördüncü bölgede x pozitif y negatiftir.
İşaret bölgenin numarasına değil, koordinatın kendisine bakılarak bulunur. Tanjant ve kotanjant sütununu ezberlemek yerine x ile y nin işaretini çarp: ikisi aynı işaretteyse tanjant pozitif, farklı işaretteyse negatiftir. Kotanjant da tanjantın tersi olduğu için aynı işareti taşır.
Konu özeti y eksenine sinüs ekseni, x eksenine kosinüs ekseni diyor. K(x, y) noktası için x = cos α ve y = sin α dır; KOT dik üçgeninden de sin²α + cos²α = 1 elde edilir.
Çember üzerindeki her nokta için x ile y, –1 ile 1 arasındadır. Bu yüzden sinüs ve kosinüs hiçbir zaman 1 den büyük, –1 den küçük olamaz. sin α = 1,4 gibi bir değer veren soru çözümsüzdür.
sin²α + cos²α = 1 aslında x² + y² = 1 in başka bir yazılışıdır. Birini bilip ötekini bulmak için kullanılır: cos α = 3/5 ise sin²α = 1 – 9/25 = 16/25 ten sin α = ±4/5 tir; işareti bölgeye bakarak seçersin.
Konu özeti tanjant için x = 1 doğrusunu, kotanjant için y = 1 doğrusunu kullanıyor. Açının kolu uzatıldığında x = 1 doğrusunu N(1, p) noktasında keser ve p sayısı tan α dır; y = 1 doğrusunu R(r, 1) noktasında keser ve r sayısı cot α dır.
Tanjant ve kotanjantın değeri –1 ile 1 arasında kalmak zorunda değildir. Sinüs ile kosinüs çemberin üzerinden okunduğu için sıkışıktır; tanjant ile kotanjant ise çemberin dışındaki doğrular üzerinden okunur ve istediği kadar büyüyebilir. Açının kolu x = 1 doğrusuna paralel hâle geldiğinde (90° ve 270°) kesişme olmaz, tanjant tanımsızdır; y = 1 doğrusuna paralel olduğunda (0° ve 180°) kotanjant tanımsızdır.
Birim çember, "bir şey döndüğünde konumu nasıl değişir" sorusunun cevabıdır. Etrafında dönen ne varsa oradadır.
Akrep saat kadranında dönerken ucunun yüksekliği sinüs, sağa-sola konumu kosinüs gibi değişir. Aynı yüksekliğe günde iki kez gelmesinin sebebi budur.
Kabinin yerden yüksekliği, dönme açısının sinüsüyle değişir. En tepede sinüs 1, en altta –1 dir; ikisinin arasında yükseklik hep bu iki değer arasında kalır.
Pusula okunu çizen uygulama, yön açısını alıp ucunun ekrandaki x ve y konumunu cos ve sin ile hesaplar. Ok tam çemberin üzerinde kaldığı için hep aynı uzunlukta görünür.
Bir oyunda karakter 30° dönüp ilerlediğinde ne kadar sağa ne kadar yukarı gittiğini hesaplayan şey tam olarak (cos 30°, sin 30°) çiftidir.
Pedal tam öndeyken bastığın kuvvetin tamamı işe yaramaz; en verimli nokta pedalın yatayla olan açısına bağlıdır. Pedalın izlediği yol bir çemberdir.
Müzik uygulamasında gördüğün inip çıkan dalga, çember üzerinde sabit hızla dönen bir noktanın yüksekliğinin zamana göre çizilmiş hâlidir.
Kulüp toplantısında 8 kişiyi eşit aralıkla yuvarlak masaya oturtmak için açıyı 360° / 8 = 45° e bölersin; her koltuğun yeri (cos, sin) çiftiyle bulunur.
Güneş gün içinde bir yay çizer; öğlen tepede, sabah ve akşam ufka yakındır. Gölgenin uzayıp kısalması bu açının kosinüs ve sinüsüyle açıklanır.
Bir uygulamada dairesel menüdeki simgeler eşit aralıkla dizilirken her simgenin yeri açısının kosinüs ve sinüsünden hesaplanır; yarıçapı büyütmek düzeni bozmaz.
Birim çemberin tanımı ve x² + y² = 1 denklemi, bölgelere göre işaretler, sinüs ve kosinüs eksenleri, sin²α + cos²α = 1 özdeşliği ile tanjant ve kotanjant eksenleri üzerine 32 soru.
Merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir.
KOT dik üçgeninde Pisagor teoreminden elde edilir.
A(1, 0) · B(0, 1) · C(–1, 0) · D(0, –1).
x ekseni kosinüs eksenidir; noktanın apsisi kosinüsü verir.
y ekseni sinüs eksenidir; noktanın ordinatı sinüsü verir.
x² + y² = 1 in trigonometrik yazılışıdır.
1. bölgede x pozitif y pozitif; 2. bölgede x negatif y pozitiftir.
3. bölgede x negatif y negatif; 4. bölgede x pozitif y negatiftir.
Açının kolu bu doğruyu N(1, p) de keser; p sayısı tan α dır.
Açının kolu bu doğruyu R(r, 1) de keser; r sayısı cot α dır.
Sinüs ve kosinüs –1 ile 1 arasındadır; tanjant ve kotanjant için böyle bir sınır yoktur.
90° ve 270° de tanjant, 0° ve 180° de kotanjant tanımsızdır; kol ilgili doğruya paralel kalır.