İki kare toplanır,
üçüncüsü çıkar.
a² + b² = c² — dik üçgenin bütün hesabı buradan başlıyor. Öklid bağıntıları ise dik köşeden inen yüksekliğin hipotenüsü nasıl böldüğünü söylüyor: h² = p·k, c² = p·a, b² = k·a.
Konu özetinin ifadesi: bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Burada c hipotenüs, yani dik açının karşısındaki en uzun kenardır; a ve b ise dik kenarlardır. Formülde hangi harfin hipotenüs olduğunu şekilden okumak gerekir — kör körüne "a² + b² = c²" yazmak en sık yapılan hatadır.
Dik kenarlar 6 ve 8 iken hipotenüs 10 dur; ama hipotenüs 10 ve bir dik kenar 6 verilirse diğeri √(10² – 6²) = 8 olur, 10² + 6² değil. Verilen uzunluğun hipotenüs mü dik kenar mı olduğuna göre toplama ya da çıkarma yapılır.
Konu özetinin verdiği dört özel dik üçgen ve katları. Bunları tanımak, sınavda karekök almadan sonuca gitmeyi sağlar.
En çok kullanılanı: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 hep bu ailedendir.
10-24-26 ve 15-36-39 bu ailenin katlarıdır.
Hipotenüsü 25 olan tek tam sayı üçlüsü bu değildir; 15-20-25 de vardır.
Dördü içinde en az tanınanı ama sınavda düzenli çıkar.
Konu özeti üçgenleri 3k-4k-5k, 5a-12a-13a, 7b-24b-25b ve 8x-15x-17x biçiminde katsayılı yazıyor; çünkü her üçlünün bütün katları da dik üçgen verir. Sebebi benzerliktir: bütün kenarlar aynı k ile çarpılınca üçgen büyür ama açıları değişmez (62. ünite).
Açıları belli olan dik üçgenlerde kenar oranları sabittir; tek bir kenar verilince diğer ikisi doğrudan yazılır.
30° nin karşısındaki kenar a, 60° nin karşısındaki a√3, hipotenüs 2a dır. Eşkenar üçgenin yüksekliği çizilince tam bu üçgen çıkar.
İkizkenar dik üçgendir; iki dik kenar eşit (a), hipotenüs a√2 dir. Karenin köşegeni çizilince bu üçgen oluşur.
Konu özetinin verdiği bağıntı: hipotenüse ait yükseklik a iken hipotenüs 4a dır. Yani hipotenüs, kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.
30-60-90: kenarı 2a olan eşkenar üçgenin yüksekliği çizilir; taban ikiye bölünüp a olur, yükseklik Pisagor'dan a√3 çıkar. 45-45-90: kenarı a olan karenin köşegeni çizilir; Pisagor'dan köşegen a√2 çıkar. İkisi de ezber değil, çıkarım.
Konu özetinin verdiği iki bağıntı, Pisagor teoreminin dörtgen ve üçgen içindeki uygulamasıdır.
Bir dörtgende köşegenler birbirini dik kesiyorsa karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.
Bir noktadan bir doğruya dik inildiğinde oluşan parçalar arasında yine karşılıklı kareler toplamı bağıntısı yazılır.
Köşegenlerin kesişme noktasına O denip dört küçük dik üçgene Pisagor uygulanır. Her kenarın karesi, O ya olan iki uzaklığın kareleri toplamıdır; karşılıklı iki kenarın karelerini toplayınca dört uzaklığın karesi de ikisinde birden yer alır ve iki toplam eşit çıkar.
Konu özeti: Öklid geometri dünyasındaki seçkin yerini kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinenleri "Ögeler" adını verdiği kitabında toplaması nedeniyle elde etmiştir. Ögeler dilden dile çevrilmiş, yüzlerce kez kopya edilmiş, matbaanın icadından sonra da binlerce kez yeniden basılmıştır.
Öklid, derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koymuş, diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan elde etmiştir.
• İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
• Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
• Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
• Bütün dik açılar eşittir.
• Bir doğruya, bu doğrunun dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilir.
Bir dik üçgende dik açının olduğu köşeden karşı kenara indirilen dikme için ([AB] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC]) şu eşitlikler yazılabilir:
Burada p ve k, yüksekliğin hipotenüsü böldüğü iki parçadır; a hipotenüs, h ise hipotenüse ait yüksekliktir.
Konu özeti şunu ekler: Öklid teoremine ek olarak Pisagor teoreminden b² + c² = a² yazılarak |BC| bulunur ve ABC üçgeninin iki farklı alan bağıntısının eşitliğinden:
Yükseklik çizilince ortaya çıkan üç üçgen (ABC, HBA ve HAC) A.A. gereği birbirine benzerdir; çünkü hepsinde bir dik açı var ve birer dar açıyı ortak kullanıyorlar. Benzerlik oranları yazıldığında üç Öklid bağıntısı doğrudan çıkar — bu yüzden 62. ünite bu üniteden önce geliyor.
Pisagor, ölçemediğin köşegeni ölçebildiğin iki kenardan bulmanı sağlıyor.
Ekran boyutu köşegen ölçüsüdür. 80 cm × 60 cm bir ekranın köşegeni 100 cm dir; çünkü 60-80-100 üçgeni 3-4-5 in 20 katıdır.
Usta bir kenardan 3 m, diğerinden 4 m ölçer; aradaki mesafe tam 5 m çıkıyorsa köşe diktir. Buna 3-4-5 kuralı denir.
5 m lik merdivenin alt ucu duvardan 3 m uzaktaysa duvara 4 m yükseklikten değer. Uzaklaştırdıkça yükseklik hızla düşer.
Voleybol sahasının 18 m × 9 m olduğunu biliyorsan köşeden köşeye koşu mesafesi √(18² + 9²) ≈ 20,1 m dir.
Sırt çantasının çapraz kemeri, sırt yüksekliği ile omuz genişliğinin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür; ikisi ölçülünce kemer boyu hesaplanır.
Bir rampanın yatay uzunluğu ve yüksekliği biliniyorsa rampanın kendi uzunluğu Pisagor ile bulunur; 30-60-90 üçgeni burada sık karşına çıkar.
Kenarı a olan kare masanın köşegeni a√2 dir; 45-45-90 üçgeninin doğrudan sonucu. Örtüyü çapraz sermek istersen bu ölçüyü bilmen gerekir.
Dik açılı çatıda tepe noktasından tabana inen direk, hipotenüsü iki parçaya böler. Parçaların uzunlukları biliniyorsa direğin boyu Öklid'den h = √(p·k) çıkar.
Kuzeye 400 m, doğuya 300 m yürüdüysen başlangıç noktasına kuş uçuşu uzaklığın 500 m dir — yine 3-4-5 ailesi.
Pisagor teoremi, tam sayı kenarlı özel dik üçgenler, 30-60-90 / 45-45-90 / 15-75-90 üçgenleri, dik kesişen doğru parçaları bağıntısı, Öklid'in aksiyomları ve Öklid teoremi üzerine 36 soru.
Bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Hipotenüs verilmişse toplama değil çıkarma yapılır.
6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 hep bu ailedendir; 3² + 4² = 5² tir.
5a-12a-13a · 7b-24b-25b · 8x-15x-17x. Her üçlünün bütün katları da dik üçgen verir.
30° nin karşısı a, 60° nin karşısı a√3, hipotenüs 2a dır.
İkizkenar dik üçgendir; hipotenüs dik kenarın √2 katıdır.
Hipotenüs, kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.
Karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.
Yine karşılıklı kareler toplamı bağıntısı yazılır.
Öklid, bilinenleri "Ögeler" kitabında toplamış ve kanıt gerektirmeyen 5 aksiyom ortaya koymuştur.
Dik köşeden hipotenüse inen dikme için yazılan üç eşitliktir; p ve k hipotenüsün parçalarıdır.
İki farklı alan yazımının eşitliğinden hipotenüse ait yükseklik bulunur.