Açıyı bir
orana çevir.
Dik üçgende bir açının karşısındaki, komşusundaki ve hipotenüsteki uzunluklar birbirine bölününce dört oran çıkıyor: sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant. Üçgen büyüyüp küçülse de açı aynı kaldıkça bu oranlar değişmiyor.
Konu özetinin kurulumu: ABC dik üçgeninde m(Â) = 90° ve m(AĈB) = α olsun. Kenarlar karşılarındaki köşenin küçük harfiyle adlandırılır: a = |BC| (hipotenüs), b = |AC|, c = |AB|.
α açısının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranı. α = Ĉ olduğu için karşısındaki kenar |AB| = c, hipotenüs |BC| = a dır.
α açısının komşusundaki dik kenarın hipotenüse oranı. Komşu kenar |AC| = b dir.
Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı. Hipotenüs bu oranda hiç geçmez.
Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranı — tanjantın ters çevrilmiş hâli.
"Karşı" ve "komşu" açıya göre değişir, üçgene göre değil. Aynı dik üçgende diğer dar açıya geçtiğinde karşı ile komşu yer değiştirir; bu yüzden sinüs kosinüs olur. Hipotenüs ise hiç değişmez — o her zaman dik açının karşısındaki kenardır.
Konu özetinin KRİTİK BİLGİ kutusu: dik üçgende iki dar açı tümlerdir (α + β = 90°) ve bu yüzden birinin sinüsü ötekinin kosinüsü, birinin tanjantı ötekinin kotanjantı olur.
α için "karşı" olan kenar, β için "komşu" olandır — çünkü ikisi aynı dik üçgenin iki ayrı dar açısıdır ve aralarındaki kenarlar rol değiştirir. Hipotenüs ikisinde de aynı kaldığı için sinüs ile kosinüs birebir eşleşir. Örneğin sin 20° = cos 70° dir.
Konu özeti bu üç açının oranlarını iki özel üçgenden çıkarıyor: kenarları k, k√3, 2k olan 30-60-90 üçgeni ve kenarları k, k, k√2 olan 45-45-90 üçgeni.
Sinüs satırı 30° dan 60° a doğru büyüyor (1/2 → √2/2 → √3/2), kosinüs satırı aynı yönde küçülüyor. Tümler açı kuralının tabloya yansımasıdır bu: 30° ile 60°, 45° ile 45° tümlerdir, o yüzden sütunlar birbirinin tersten okunuşudur.
tan 30° = √3/3 tür, √3/2 değil. √3/2 sinüs-kosinüs sütununa ait bir değerdir; tanjantta hipotenüs hiç geçmediği için payda 3 olur. Aynı biçimde cot 30° = √3 tür ve tan 60° a eşittir.
İkizkenar ABC üçgeninde B, D ve C doğrusal; |AB| = |AC| = 13 cm, |BD| = 3 cm, |DC| = 7 cm. m(AD̂C) = α olduğuna göre tan α kaçtır?
Trigonometrik oran ancak dik üçgende yazılabilir. Soruda dik üçgen yoksa önce bir yükseklik indirilir. Burada ikizkenar üçgenin tepe açısından inen dikme aynı zamanda kenarortay olduğu için tabanı tam ortadan böler ve iki dik üçgen doğar.
Ortak nokta şu: bir uzunluğu ölçemiyorsan, ölçebildiğin bir uzunluk ile bir açıyı kullanıp onu hesaplayabilirsin.
Direğe tırmanmadan boyunu bulmak için 20 m geriye gidip tepesine bakış açını ölçersin. Açı 45° ise tan 45° = 1 olduğundan direk de 20 m dir; gözünün yerden yüksekliğini eklemen yeter.
Masa tutacağının açısını büyüttükçe ekranın masaya olan dik yüksekliği artar. Tutacağın kolu sabit uzunlukta olduğu için yükseklik = kol · sin(açı) dır.
Serbest atış çizgisinden potaya bakarken kafanı kaldırdığın açı hep aynıdır — çizgi ile pota arasındaki yatay mesafe ve potanın yüksekliği sabit olduğu için tanjant da sabittir.
Rampanın dikliği yükseklik / yatay uzunluk oranıdır, yani eğim açısının tanjantıdır. Aynı yüksekliğe daha uzun bir yatay mesafede çıkarsan rampa yumuşar.
Sınıfta projeksiyonu perdeye ne kadar yaklaştırırsan görüntü o kadar küçülür. Işık konisinin açısı sabit olduğundan görüntü genişliği mesafeyle doğru orantılıdır — yine tanjant.
Öğlen güneş yükseldiğinde gölgen kısalır. Boyun sabit, gölgen değişiyorsa değişen şey güneşin yükselme açısıdır: boy / gölge = tan(açı).
Panoya çapraz asılan afişin iki ucu arasındaki yatay ve dikey fark ölçülürse afişin duvarla yaptığı açı tanjanttan bulunur; simetrik asmak için iki ucun oranını eşitlemen yeter.
Tabelada "eğim %10" yazıyorsa bu, 100 m yatayda 10 m yükseldiğin anlamına gelir; yani tan(açı) = 0,10 dur. Yürüdüğün yol ise yataydan biraz uzundur.
Kamp çadırının ipi direğin tepesinden yere 60° ile iniyorsa, direk boyu ipin √3/2 katıdır. İpi uzatmadan direği yükseltemezsin.
Dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranları, tümler açı bağıntıları, 30° - 45° - 60° nin trigonometrik oranları ve oranlarla uzunluk bulma üzerine 32 soru.
Konu özetindeki kurulumda sin α = c / a dır.
Aynı kurulumda cos α = b / a dır.
İkisi birbirinin tersidir; çarpımları 1 eder.
sin α = cos β, sin β = cos α, tan α = cot β, tan β = cot α.
30° nin karşısı k, 60° nin karşısı k√3, hipotenüs 2k dır.
sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = cot 45° = 1 dir.
sin 30° = 1/2 · cos 30° = √3/2 · tan 30° = √3/3 · cot 30° = √3.
sin 60° = √3/2 · cos 60° = 1/2 · tan 60° = √3 · cot 60° = √3/3.
Üçgeni büyütüp küçültmek açıyı değiştirmez; benzer üçgenlerde oranlar aynı kalır.
Oran yazabilmek için dik üçgen gerekir; yoksa önce bir yükseklik indirilir.
Tepe açısından inen dikme aynı zamanda kenarortaydır, tabanı iki eşit parçaya böler.
Konu özetinin örneğinde |AH| bu üçlüden bulunur: 13² – 5² = 144 ⇒ |AH| = 12 cm.